Разные задачи

Задача 1. (Тренировочная работа 13) 15 января планируется взять в кредит в банке на сумму 2,4млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Решение: S = 2400000. По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.

; ; ; …; . - размеры долгов (остаток по кредиту на конец месяца), тогда ежемесячная выплата процентов выглядит следующим образом:

; ; ; ; ...; - ежемесячный %

Находим размеры выплат:

1-й месяц: + =

2-й месяц: + ∙ =

3-й месяц: + ∙ = и.т.д . Замечаем, что выходит последовательность, которая уменьшается на 2. Тогда используя формулу n-го члена арифметической прогрессии а_n = а₁ + d(n - 1) при а₁=148, d= -2

находим 13-й месяц: а₁₃ = 148 - 2(13 - 1) = 126, т.е. и

24-й месяц: а₂₄ = 148 - 2(24 - 1) = 102S, т.е.

Выплата за последние 12 месяцев: + ...+

Вынесем за скобки общий множитель и воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии S_n = ∙n

S₁₂= = 1356.

= = 1356000

Ответ: 1356000рублей

Задача 2. (Тренировочная работа 12). В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 19000руб. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 руб. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение: Продать ценную бумагу нужно в тот момент, когда 10% от стоимости станут составлять не меньше 3000 рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 30000 рублей. это произойдет через (19+3+3+3+3=31) четыре года. И в этот момент 10% от стоимости этой бумаги будут равны 3100 рублей, т.е. больше чем, 3000 рублей. Т.е. надо продать бумагу и положить счет в банке. 2001 + 4 = 2005.

Ответ: 2005 году

2 способ решения: а_n =а₁+(n-1)d, а=19000

d=3000

Ему будет выгодно отдать деньги в банк в том случае, если 10% от а_n превышает d , т.е :

0,1 а_n›3000

0,1(19000+3000(n-1))›3000 :0,1

19000+3000n-3000›30000

3000n›14000

n› =4

n=5 т.е бумагу можно продать в течении пятого года(сразу после 4-х лет)

Ответ:2005

Задача 3. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн. рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 20 млн. рублей.

Решение:

Пусть первоначальный вклад составляет S млн. руб., тогда:

В конце первого года на вкладе будет 1,1 S млн. руб.,

В конце второго года на вкладе будет 1,1 S∙1,1=1,21 S млн .руб.,

В конце третьего года на вкладе будет (1,21 S+3)∙1,1=1,331 S+3,3 млн. руб.,

В конце четвертого года на вкладе будет (1,331 S+3,3+3)∙1,1=1,4641S+6,93 млн. руб.,

Далее необходимо решить неравенство:

1,4641S+6,93 > 20

1,4641S > 20-6,93

1,4641S > 13,07

S > 13,07:1,4641

S > 8,93

S = 9 млн.руб. так как по условию S — целое число.

Сделаем проверку:

В конце первого года на вкладе будет 1,1∙9 = 9,9млн. руб.,

В конце второго года на вкладе будет 9,9∙1,1 = 10,89 млн. руб.,

В конце третьего года на вкладе будет (10,89+3)∙1,1 = 15,279 млн. руб.,

В конце четвертого года на вкладе будет (15,279+3)∙1,1 = 20,1069 млн. руб.

Задача 4. (Вариант 19. Лаппо Л.Д. ЕГЭ 2018) В мае 2017 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере S млн. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый декабрь каждого года долг возрастает на 10%;

- с января по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в мае 2018, 2019 и 2020 годов долг остается равным S млн. рублей;

- выплаты в 2021, 2022 и 2023 годах равны между собой;

- к маю 2023 года долг будет выплачен полностью.

Найдите наибольшее целое S, при котором общая сумма выплат не превысит 13млн. рублей.

Решение: Сумма выплат за первые три года: 0,1S∙3 = 0,3S

Сумма выплат за последние три года: 3∙х = 3х

По условию сумма выплат не превысит 13 млн: 0,3S + 3х ≤ 13 (1)

За последние три года долг станет равным нулю, т.е.

Sp³ - p²x - px - x = 0, p=1,1

S∙1,1³ - 1,1²x - 1,1x - x = 0

1,331S - 1,21x - 1,1x - x = 0

x = Полученное выражение подставим в (1)

0,3S + 3∙ ≤ 13

S(0,3 + ) ≤ 13, S ≤ 8,63 Ответ: 8 млн.

24