Область определения функции с логарифмом
Если некоторая функция содержит
логарифм 
,
то в её область определения должны
входить только те значения «икс», которые
удовлетворяют неравенству
.
Если логарифм находится в знаменателе: 
,
то дополнительно накладывается
условие 
(так
как 
).
Пример 7
Найти область определения функции
Решение: в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:
Графическое решение:
Ответ: область определения: 
Пример 8
Найти область определения функции
Решение:
решим неравенство 
.
Парабола 
касается
оси 
в
точке 
,
причём, ветви параболы направлены вверх.
Таким образом, функция
не
определена в единственной точке.
Ответ:
область определения 
Пример 9
Найти область определения функции
Решение: в данной функции у нас присутствует и корень и логарифм.
Подкоренное выражение должно быть
неотрицательным: 
,
а выражение под знаком логарифма –
строго положительным: 
.
Таким образом, необходимо решить
систему:
Исследуя расположение параболы 
относительно
оси 
,
приходим к выводу, что неравенству 
удовлетворяет
интервал 
(синяя
штриховка):
Неравенству
,
очевидно, соответствует «красный»
полуинтервал 
.
Поскольку оба условия должны
выполняться одновременно, то
решением системы является пересечение
данных интервалов. «Общие интересы»
соблюдены на полуинтервале 
.
Ответ: область определения: 
Пример 10
Найти область определения функции 
Решение: составим и решим систему:
Ответ: область определения: 
Пример 11
Найти область определения функции
Решение: составим и решим систему:
Изобразим на числовой прямой интервал,
соответствующий неравенству 
и,
согласно второму условию, исключим две
точки:
Значение 
оказалось
вообще не при делах.
Ответ: область определения 
Пример 12
Найти область определения функции
y=
Решение: Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, т.е.
x-1
0.
Но т.к.
находится в знаменателе, то это выражение
должно быть отлично от нуля, т.е. x-1>0.
Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля (по определению логарифма), т.е. x>0 .
Составляем
систему:
Ответ:
D(y) = (1; +
)
Области определения функций с тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами
Если в некоторую функцию входит 
,
то из её области определения исключаются точки
,
где Z – множество целых
чисел.
В частности, у функции 
выколоты
следующие значения:
То есть, область определения тангенса: 
.
Пример 13
Найти область определения функции
Решение: в данном случае 
и
в область определения не войдут следующие
точки:
Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:
В результате 
:
Ответ: область определения: 
.
В принципе, ответ можно записать и в виде объединения бесконечного количества интервалов, но конструкция получится весьма громоздкой:
Аналитическое решение полностью
согласуется с геометрическим
преобразованием графика: если аргумент
функции умножить на 2, то её график
сожмётся к оси 
в
два раза. Заметьте, как у функции
уполовинился
период, и точки
разрыва участились в два раза.
Если в некоторую функцию входит 
,
то из её области определения исключаются
точки 
.
В частности, для функции 
автоматной
очередью расстреливаем следующие
значения:
Иными словами: 
Пример 14
Найти область определения функции
Решение: область определения функции задаётся системой:
Ответ: 
Если в некоторую функцию входит 
или 
,
то на её область определения накладывается
ограничение в виде двойного неравенства: 
.
Пример 15
Найти область определения функции
Решение: составим двойное неравенство:
Действия с двойным неравенством очень похожи на действия с «обычным» одинарным неравенством. Конечная цель преобразований – добиться, чтобы в середине остался только «икс».
Сначала избавимся в средней части от константы, для этого вычтем из каждой части неравенства «тройку»:
Умножим все три части неравенства на –1. Поскольку множитель отрицателен, то знаки самих неравенств необходимо «развернуть» в противоположную сторону:
Умножим все части неравенства на :
Запишем ответ, переставив знаки неравенств в привычном порядке – справа налево.
Ответ: область определения: 
или 