14.Означення подвійного інтегралу.
D-обмежена гладкою кривою.
В кожній точці існує дотична.
В області D задана неперервна функція z=f(x,y)-неперервні в D
Розібємо
область В системами прямих,які паралельні
координатним осям на довільні прямокутники
із сторони
і
(елементарні
прямокутники).В кожному прямокутнику
виберемо довільну точку
;
)і
обчислимо f
;
)
f
;
)
-інтегральна
сума для функцій f(x,y),яка відповідає
вибраному розбиттю області D і вибраним
точкам.
Діаметром
розбиття області D називають найбільший
розмір елементарного прямокутника(
)
Границю
інтегральної сумипри
,якщо
така границя існує є скінчена і не
залежить ні від способу розбитя області
D на частини,ні від вибору точкок в
кожній частині,називають подвійним
інтегралом по області D від неперервної
функції f(x,y) і позначають символом :
.
.
Зауважимо що при f(xy)більше рівно 0 в D подвійний інтеграл може задавати об’єм циліндроїда.
15.Основні властивості подвійних інтегралів.
1.
.
2. .
3.
4.
Якщо D=
,де
.
16.Обчислення подвійних інтегралів.
Подвійний інтеграл від неперервної функції по простій області D дорів. Відповідному повторному інтегралу від заданої функції по цій області.
Наприклад.
17.Застосування подвійних інтегралів в геометрії.
До поняття подвійного інтегралу приводить наприклад задача про знаходження маси неоднорідної пластинки,яка займає область D на площині,в кожній точці якої задана неперервна функція густини.
Пластинка-«трьохмірне» тіло,товщиною якого ми нехтуємо,розглядаємо як двомірне плоске тіло.Ставиться задача знайти масу пластинки.
При
-площа
області D в декартових координатах.
18.Застосування подвійних інтегралів в механіці.
Знаходження статичних моментів та координат центру маси неоднорідної пластинки.
Має місце теорема Варіоньона : статичний момент неоднорідної пластинки відносно осі чисельно дорів. статичному моменту m,яке є центром маси пластинки,при умови що в цій точці зосереджена вся маса пластинки.
С(
-центр
маси
m-маса пластинки
OX:
;
19.Сполуки та їх обчислення.
Комбінаторика вивчає різні види сполук(обєднань елементів) із скінченої множини елементів довільної природи.
Існують сполуки:комбінації,розміщення,перестановки.
Нехай дано n-елементів.
Комбінації
із n-елементів по k-елементів(0≤k≤n)
називають сполуки,які містять рівно
по k-елементів і відрізняються між
собою,хоча б одним елементом.Позначають
комбінації
і обчислюють за формулою:
n
-скорочений
запис однієї дії.
n
Розміщення
із із n-елементів по k-елементів називають
сполуки,що містять рівно k-елементів і
відрізняються між собою або самими
елементами,або їх порядком і позначають
.
Наприклад:1,2,3.
1)Комбінації по 2 елементи:
13 12 23
2)Розміщення по 2 елементи:
13 12 23 31 21 32
Перестановками
із n-елементів називають сполуки,що
містять n-елементів і відрізняються
між собою порядком елементів
елементів.Позначають
.
Обчислють
за формулою:
Із
вищезгаданих формул:
.