10.Необхідні умови екстремуму. Стаціонарні точки.

Якщо в точці М0 функція z=f(x y) має екстремум, то в цій точці частинні похідні І порядку =0. . Точки, які є розвязком системи(тобто в яких частинні похідні І порядку =0) називають стаціонарними точками. Стаціонарні точки–є точками можливого екстремуму. Наявність екстремуму в стаціонарній точці досліджуємо користуючись достатньою умовою екстремуму. Нехай М0(x0 y0)– стаціонарна точка функції z=f(x y). Вважаємо, що в цій точці існують частинні похідні ІІ порядку і вони неперервні. Позначимо . Складемо визначник ІІ порядку = . Якщо >0 то в точці М0 є екстремум, а саме при А>0–min; A<0–max. Якщо <0, то екстремуму не має, якщо =0,–ознака не працює.

11.Достатні умови екстремуму.

Стаціонарні точки є точками можливого екстремуму.

Наявність екстремуму в стаціонарних точках досліджуємо користуючись достатньою умовою екстремуму:

Нехай   -стаціонарна точка функції

Вважаємо,що в цій точці існують частинні похідні 2-го порядку і вони неперервні.

Якщо Δ>0,то в т. є екстремум,а саме при А>0(або С>0)-мінімум;при А<0-максимум.

Якщо Δ0,то екстремуму немає.

Якщо =0,-ознака не працює.

12.Поняття простої(складної) області на площині.

Область D називають простою в напрямку осі OY,якщо:

1)будь-який промінь,що проходить через внутрішню точку області в напрямку осі OY перетинає контур області рівно в 2-ч точках,на лінії входу та на лінії виходу;

2)лінія входу та лінія виходу задаються тільки одним окремим рівнянням(тільки своїм).

В протилежному випадку область є складною.

Зауважимо що будь-яку складну область можна розбити на прості частини.

Область D-проста в осі OY.

+ +D=0 D:x=

x+y-2=0 x=

y=2-x y=C;y=d

x=2-y D-проста в напрямку OX.

13.Поняття повторного інтегралу на простій області.

Нехай область - D проста в напрямку осі OY. D-f(x,y)-задана неперервна функції в області D/

Повторним інтегралом від функції f(x,y) по прямій області D називають інтегралом виду

Обчислення повторного інтегралу починають із внутрішнього інтегралу по змінні y,при цьому іншу зміну «х» вважають сталою.

Отриману інтегральну функцію,яка залежить тільки від х інтегрують ще раз зовн. інтегралом(визн інтеграл виду

В результаті отримаємо деяке число.

Для зручності запису повторний інтеграл(1) записують у вигляді

Але розуміють його як один,тобто

Нижня межа внутр.. інтегралу-це значення зміної інтегрування інтегралу,отриманої з рівняння лінії входу;

Верхня межа внутр.. інтегралу-з означенням змінох інтегрування інтегралу,отриманої з рівняння лінії виходу.

Щоб отримати межі інтегрування в зовн. інтегралі,потрібно спроектувати область D на вісь із заміною інтегрування цього інтеграла і взяті крайні точки в напрямку осі.

Межі інтеграла в повторному інтегралі починаємо рзписувати із внутр. Ігтерала згідно вказаних вижче.

Аналогічно,повторний інтеграл який поширюється на область D,просту в напрямку осі OX: