1.Поняття та способи задання функції двох змінних.

S=x*y S=S(x,y) V=x*y*z V=V(x,y,z). Нехай в кожній парі чисел х,у з деякої множини ставиться у відповідність відповідне єдине значення z(число), то кажуть, що на цій множині задана функція двох змінних. z=z(x,y) (х,у)–незалежні змінні, z–залежна змінна, значення функції. Функцію двох змінних позначають z=z(x,y) або z=f(x,y).

Способи задання. Функцію двох змінних можна задати таблично, графічно(функція двох змінних може задавати деяку поверхню в просторі), аналітично– у вигляді формули

2.Область визначення функції двох змінних.

Якщо функція задана аналітично, то під областю визначення функції розуміють ту множину значень х,у для яких аналітичний вираз існує. D(z)–область визначення функції z=z(x,y).

3.Частинні прирости, частинні похідні.

Z=f(x,y) (x,y) (x+x,y) y=const. x–змінна, приріст функції. хZ=f(x+x,y)-f(x,y)–приріст функції, який відповідає прирісту х. (х,у)-(x=const)(x,y+y)

yZ=f(x,y+y)-f(x,y). xZ,yZ–частинні прирости функції двох змінних по змінній х або у. Введемо поняття частинних похідних функцій двох змінних. Границя відношення частинного приросту до відповідного приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до 0, називають частинною похідною по відповідній змінній Z’x Z’y або f’x f’y або

Z’x= Z’y= При знаходженні частинних похіднихпо вибраній змінній, інша змінна вважається сталою, отже формально функція z залежить тількі від однієї змінної, значить, при знаходженні похідних мають місце всі правила та таблиці похідних, які були для функції однієї змінної.

4.Повний приріст, диференціал.

(x,y)(x+x, y+y) z=f(x+x, y+y)-f(x,y)–повний приріст функції. Якщо функція має частинні похідні то її повний приріст можна подати у вигляді z=

= ()-нескінченно мала величина матерії вищого порядку малини, х у.  0 Головну частину приросту функції, лінійну по відношенню до приростів аргументів х у називають головним диференціалом функції dz. Dz=

Для незалежних змінних диференціали та прирости співпадають. Dz==

5.Застосування повного диференціала для наближених обчислень.

З формули =  z=dz+() zdzf(x+x y+y)-f(x,y)dz. Наприклад обчислити наближено: ; x=4.05=4+0.05 y=2.93=3+(-0.07). x=4 x=0.05 y=3 y=(-0.07)

6.Частинні похідні вищих порядків.

Z=f(x,y). похідні ІІ порядку. Якщо існують похідні від частинних похідних І порядку то їх називають частинні похідні ІІ порядку по відповідній змінній від заданої функції. = тобто : = . Аналогічно = = , тобто . Частинні похідні починаючи з ІІ порядку називають частинними похідними вищих порядків.

7.Теорема про мішані частинні похідні ІІ порядку.

Частинні похідні по різних змінних називають мішаними похідними по різним змінним.

Якщо функція Z=f(x,y) в околі точки М0(х0 у0) має частинні похідні ІІ порядку і в точці М0 ці похідні неперервні, то в точці М0 мішані частинні похідні співпадають. = . Аналогічно теорема має місце і для інших мішаних похідних вищих порядків.

8.Диференціали вищих порядків.

Диференціал від диференціалу І порядку називають диференціалом ІІ порядку від функції двох змінних. Z=f(x,y). dz= + Диференціал І порядку. В умовах теореми про рівність мішаних частинних похідних ІІ порядку отримаємо . Аналогічно ;

9.Поняття точки max та min функції.

Z=f(x,y) Введемо поняття точок max та min функції. Z=f(x,y)в точці М0(х0 у0) набуває max значення(в максимумі), якщо значення в цій точці є більшим ніж значення функції в сусідніх точках з деякого околу т М0. f(x0 y0) M0точка max, якщо f(x0 y0)f(x y) (x y) є околом точки М0. Точка М1(х1 у1) є точкою min функції z=f(x y) якщо значення функції в цій точці є меншим за значення функції в сусідній точці з деякого околу в т М1. є околом точки М1. Точки max і min називають точками екстремуму функції двох змінних.