Центральное проецирование (коническое).

   Аппаратом центрального проецирования служит плоскость проекций П' и центр проецирования S.

 Свойства центрального проецирования:   

•  сохранение прямолинейности      и, как следствие, – 

•  Сохранение принадлежности. 

   Эти свойства следуют из рассмотрения Рис.2, иллюстрирующего получение центральной проекции объекта.

Рис.2

Здесь:  Пʹ и S – аппарат центрального проецирования. 

            [АВ] – объект;         SA  и   SB – проецирующие лучи;

            Аʹ = SA ∩ Пʹ;  B'= SВ ∩ Пʹ;     А'В' – центральная проекция отрезка АВ.

   Если рассматривать пересечение плоскостей Пʹ и плоскости, заданной тремя точками – Δ(АВS), то ясно, что

•проекцией прямого отрезка может быть только прямой отрезок. 

 

•если точка К принадлежала отрезку АВ, то и проекция Кʹ этой точки будет принадлежать проекции АʹВʹ.

Параллельное проецирование (цилиндрическое).

   Параллельная проекция – частный случай центральной, когда центр проецирования удалён в бесконечность. В этом случае вектором s задаётся направление проецирования, и все проецирующие лучи оказываются параллельными друг другу.

Рис.3

 Свойства прямолинейности и принадлежности сохраняются и для этого метода проецирования. К ним добавляется новое свойство – свойство сохранения параллельности, не характерное для центрального проецирования. Оно формулируется так: 

 

•если проецируемые отрезки параллельны в пространстве, то и их проекции будут параллельны. 

   Это следует из рассмотрения Рис.3,  если считать, что на нём две параллельные плоскости Δ(АʹА∩АВ) и Σ(СʹС∩СD) пересекают третью (Пʹ). 

   К тому же справедливым будет свойство сохранения пропорциональности деления отрезка: 

•если точка на отрезке делит его в каком-либо отношении, то и проекция этой точки делит проекцию отрезка в том же отношении.

Рис.4

При параллельном проецировании не оговаривается взаимное положение плоскости проекций и направления проецирования и считается, что оно произвольно. Если направление проецирования выбрать перпендикулярным к плоскости проекций, то получим частный случай параллельного проецирования – ортогональное проецирование.

Ортогональное проецирование.

 

   При, так называемом, ортогональном проецировании параллельные друг другу проецирующие лучи идут перпендикулярно к плоскости проекций. Естественно, что для него сохраняются все свойства, присущие параллельному проецированию:

•Сохранение прямолинейности

•Сохранение принадлежности

•Сохранение параллельности

•Сохранение пропорциональности деления отрезка

   К тому же появляется новая особенность: при ортогональном проецировании проекция отрезка не может быть больше самого отрезка. В крайних случаях: если отрезок параллелен плоскости проекций, то он отобразится в натуральную величину (Н.В.), если перпендикулярен, то проекция отрезка выродится в точку.

Рис.5

 В этом случае справедливо соотношение:   АʹВʹ = АВ • cos α .

ЗАМЕЧАНИЕ:

   Следует повторить, что если угол наклона отрезка окажется равным 90º, то его проекция отобразится в виде точки - это, так называемая, вырожденная проекция отрезка (или прямой).

   Именно этот метод – ортогональное проецирование - будет использоваться при рассмотрении всего последующего материала.