2.3. Графическое изображение электромагнитных полей

Для того чтобы наглядно представить электромагнитное поле, используют силовые линии поля. Силовой линией или линией поля называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора поля. Таким образом, одна силовая линия несет информацию только о направлениях вектора поля. Величина поля отображается густотой силовых линий: в тех областях пространства, где поле (модуль вектора) больше, количество линий на единицу длины увеличивается, где поле меньше, количество линий берется меньшим.

В обобщенной криволинейной системе координат уравнение силовой линии (линии поля)

(22)

где q₁, q₂, q₃, - координаты в обобщенной криволинейной системе координат, h₁, h₂, h₃ - коэффициенты Ламе по соответствующим координатным направлениям, - проекции вектора на соответствующие координатные направления.

В цилиндрической системе координат, уравнения силовых линий поля и имеют вид:

(22)

В случае однородно заполненного волновода для самых низкочастотных волн, имеющих достаточно простую структуру электромагнитного поля, качественно структуру силовых линий полей и можно построить, проанализировав поведение составляющих поля (19) и (21). Однако для волн достаточно высоких порядков (большие индексы n и q) такая процедура уже становится затруднительной.

В случае волноводов сложной формы или неоднородно заполненных волноводов построение даже качественной структуры поля на основе анализа выражений для их компонент становится практически невозможным. Поэтому для построения структуры поля прибегают к интегрированию уравнений силовых линий. Современные средства вычислительной техники позволяют весьма эффективно осуществлять такую процедуру. Кратко опишем процедуру расчета на ПЭВМ структуры силовых линий поля.

На первом этапе необходимо определить поперечное волновое число (15) для волны типа E и (18) для волны типа H соответственно. Для решения уравнений силовых линий в поперечном сечении волновода приведём выражения (22) к виду:

(23)

Подставив (19) и (21) в (23), получаем уравнения, для решения которых используем численный метод Рунге-Кутта. Значение радиуса волновода полагаем равным единице. Затем в поперечном сечении волновода выбирается произвольная точка, которая используется в качестве начальной при решении численным методом уравнения силовой линии. Численное интегрирование уравнения (23) продолжается до тех пор, пока силовая линия не достигает границ волновода. Если силовая линия попадает на металлическую стенку волновода, интегрирование уравнения (23) заканчивается.

2.4. Описание принципа действия экспериментальной установки

Как уже отмечалось, структура электромагнитного поля может быть получена путем моделирования полей.

В области пространства, где отсутствуют объемные заряды, функция, описывающая распределение потенциала, удовлетворяет уравнению Лапласа

,

которое в цилиндрической системе координат записывается как

(24)

Как было показано выше, у волн типа E продольная составляющая E_Z удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

(25)

Сравнивая уравнения (24) и (25), можно заметить, что по форме они совпадают: первые три члена уравнений аналогичны, множитель в последнем уравнении соответствует множителю в уравнении (24).

Поэтому при выполнении на экранирующей поверхности условия распределение потенциала будет аналогично распределению продольной компоненты поля волны типа E, а при выполнении граничного условия распределение потенциала будет аналогично распределению продольной компоненты поля волны типа H. Граничное условие можно реализовать на поверхности идеального металла, а граничное условие - на поверхности идеального диэлектрика.

Таким образом, в электролитической ванне с металлическими стенками можно производить моделирование волн типа E, а в ванне с диэлектрическими стенками - волн типа H.

Покажем, что силовая линия магнитного поля волны типа E совпадает с линией . Уравнение силовой линии в поперечном сечении волновода

(26)

Приведем это уравнение к виду

(27)

Подставляя в (27) выражения для H_r и из (3), получаем:

(28)

Выражение (28) является полным дифференциалом E_Z. Он будет равен нулю в геометрическом месте точек, где функция E_Z не изменяется. То есть силовая линия магнитного поля в поперечном сечении совпадает с линией const. Поэтому форма эквипотенциальных линий, снятых в ванне с металлическими стенками, будет совпадать с формой магнитных силовых линий в волне типа E. Аналогично можно доказать, что форма эквипотенциальных линий в ванне с диэлектрическими стенками совпадает с силовыми линиями электрического поля волн типа H.