Значение корней функции Бесселя

n q	1	2	3	4
0	2,405	5,520	8,654	11,792
1	3,832	7,016	10,173	13,324
2	5,136	8,417	11,620	14,796
3	6,380	9,761	13,015	16,223

Табл. 2

Значение корней производной функции Бесселя

n q	1	2	3	4
0	3,832	7,016	10,173	13,324
1	1,841	5,331	8,836	11,706
2	3,054	6,706	9,969	13,170
3	4,201	8,015	11,346	14,586

Рассмотрим волны электрического типа. Отыскав решения уравнений (11) и (12), запишем решение уравнения (9)

(14)

Граничное условие (7) будет выполнено в том случае, когда поперечное волновое число будет удовлетворять соотношению:

(15)

Здесь n- номер функции Бесселя, q - порядковый номер корня уравнения .

Зная поперечное волновое число, можно из соотношения

определить фазовую скорость волны типа E в волноводе:

Величина называется групповой скоростью волны (с такой скоростью в волноводе осуществляется перенос энергии).

Из этих выражений видно, что фазовая скорость волн в волноводе всегда больше скорости света и изменяется (при изменении частоты) в пределах от бесконечности до . Частота, на которой фазовая скорость обращается в бесконечность ( ), называется критической частотой. Групповая скорость изменяется в пределах от нуля на критической частоте до на бесконечно большой частоте.

Волны электрического типа обозначаются E_nq. Физический смысл индексов: n - количество полных периодов поля по азимутальной координате (или количество максимумов одного знака), q - число максимумов поля по радиальной координате.

Волны типа H в круглом волноводе описываются уравнением типа (6) относительно продольной составляющей магнитного поля (в этом уравнении необходимо произвести замену E_Z на H_Z). Волна типа H имеет одну тангенциальную по отношению к ограничивающей поверхности компоненту электрического поля:

Чтобы выполнялось граничное условие (7), необходимо соблюдать граничное условие для волн типа Н:

(16)

16. является граничным условием для волн типа H.

Решение уравнения Гельмгольца относительно составляющей поля H_Z:

(17)

Для того, чтобы граничное условие (16) было выполнено, поперечное волновое число  должно определяться соотношением:

или

(18)

где - корень уравнения , n - порядок функции Бесселя, q - порядковый номер корня.

Фазовая и групповая скорости волн типа H определяются соотношениями, которые были получены для волн типа E, в них нужно лишь сделать замену .

Распределения полей волн в круглом волноводе

а) Волны типа E

Составляющие электромагнитного поля волн типа E, используя (3), можно записать в следующем виде:

(19)

Волны, у которых отсутствует зависимость составляющих поля от азимутальной координаты (n=0), называются симметричными. Из (19) видно, что поле симметричных волн типа E имеет только три составляющие: E_Z; E_r; H_:

Рис. 3

(20)

В формулах (20) учтено, что .

На рис.3 приведены структуры полей волн E₀₁; E₁₁; E₂₁.

б) Волны типа H

Составляющие электромагнитного поля волн типа H (3) в общем случае можно записать следующим образом:

(21)

Волны типа H также могут быть симметричными. В этом случае поле имеет три составляющие: H_z; H_r; E_.

Отметим, что в выражениях (19), (21) через обозначена производная по всему аргументу.

Структуры силовых линий полей волн типа H₀₁; H₁₁; H₂₁ приведены на рис.4. Рассматривая структуры полей E и H, можно отметить общие их особенности:

1. Поперечные составляющие электрического и магнитного полей синфазны и сдвинуты относительно продольных составляющих полей на . (О сдвиге фаз говорит множитель i перед поперечными составляющими.)

2. На стенке волновода касательные составляющие электрического поля равны нулю. Поэтому электрические силовые линии направлены перпендикулярно металлической поверхности.

Рис. 4

3. Магнитные силовые линии на стенках волновода имеют лишь касательные составляющие. Это можно пояснить следующим образом. Из-за действия в диапазоне СВЧ сильного скин-эффекта электромагнитное поле не проникает внутрь металла. Предположим, что на металлической поверхности нормальная составляющая вектора H не равна нулю. Тогда, в силу граничного условия , магнитное поле должно существовать внутри проводника, что на самом деле невозможно.