Алгоритм решения задач по теме: «Комбинаторика»

1. Используют часть элементов?

Да Нет (все) - перестановки

2. Порядок элементов имеет значение?

Да – размещение Нет – сочетание

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух правил – правила умножения и правила сложения.

Правило умножения: если из некоторого множества первый объект (элемент a) можно выбрать n способами, а второй объект (элемент b) – m способами, то оба объекта (a и∙ b) в указанном порядке можно выбрать n ∙ m.

Правило сложения: если некоторый объект (элемент a) можно выбрать n способами, а второй объект (элемент b) – m способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (a или b) можно выбрать n + m.

Существуют две схемы выбора m элементов из заданного множества: без возвращения, когда выбранные элементы не возвращаются в исходное множество, и с возвращением, когда выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

Примеры:

1. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из неё:

а) 3 гвоздики;

б) 6 гвоздик одного;

в) 4 красных и 3 розовых гвоздик?

2. В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых 2 детали бракованные?

Контрольная работа.

1 Тема: «комбинаторика»

ВАРИАНТ 1. ВАРИАНТ 2.

1. Вычислить: 1. Вычислить:

2. Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов, при которых в эту «пятерку» попадут:

А) одни девушки; А) 3 юноши и 2 девушки;

Б) 1 юноша и 4 девушки; Б) 5 юношей.

3. Для автомобильных номеров в СССР используются 10 цифр и 28 букв (кроме е, й, ь, ъ, ы). Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр (кроме сочетания цифр 00 – 00). Какое максимальное число машин может получить номера при такой системе?

4. Множество состоит из 6 элементов a, b, c, d, e, f. Сколько перестановок без повторений можно составить из элементов этого множества? Во скольких из них элемент a не будет расположен ни на первом, ни на последнем месте?

5. Сколько четных пятизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4 при условии, что каждая цифра входит в пятизначное число только один раз?

6. Сколько имеется пятизначных чисел, кратных пяти?

7. Во взводе 5 сержантов и 50 солдат. Сколькими способами можно составить наряд из одного сержанта и трех солдат?

8. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 9 дней. Сколькими способами это можно сделать, если известно, что последний экзамен он сдает на девятый день?

9. На собрании должны выступить 4 человека A, B, C и D. Сколькими способами их можно разместить в списке ораторов, если известно, что B не может выступать, пока не выступит A.

10. От двух спортивных обществ, в каждом из которых по 40 фехтовальщиков, надо выделить по 3 фехтовальщика для участия в соревнованиях. Сколькими способами можно сделать?

11. В кружке художественного слова занимаются 15 человек, в фортепьянном – 10, в вокальном – 13 и в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из 4 чтецов, 3 пианистов, 5 певцов и одного фотографа?

12. Собрание из 100 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов редакции комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

13. Сколько нечетных чисел можно составить из цифр числа 5498, если каждую цифру использовать не более одного раза?

14. На железной дороге 25 станций. На каждом билете печатаются станция отправления и станция назначения. Сколько всего различных билетов нужно оформить, если а) каждый билет действителен только в указанном направлении; б) каждый билет годен либо на поездку «туда», либо на поездку «обратно»?

Схема выбора без возвращений

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.

 Размещением из n элементов по k элементов (0 ≤ k ≥ n) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее k элементов.

Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по k обозначаются символом и вычисляется по формуле:

,

где n!=1∙2∙3…n, причем 1!=1, 0!=1.

 Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из n элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:

Сочетанием из n элементов по k (0≤ k ≤ n) называется любое подмножество данного множества, которое содержит k элементов.

Любые два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (т.е. отличаются только составом элементов). Число сочетаний из n элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле:

Для чисел (они называются биномиальными коэффициентами) справедливы следующие тождества:

(правило симметрии)

(правило Паскаля)

Схема выбора с возвращением

Если при упорядоченной выборке k элементов из n элементы возвращаются обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями. Число всех размещений с повторениями из n элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле:

. (1.4)

Если при упорядоченной выборке k элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по нескольку раз, т.е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из n элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле:

. (1.5)

Пусть в множестве из n элементов есть k разичных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется n₁ раз, 2-й – n₂ раз, …, k-й – n-й раз причем n₁+n₂+…+n_k=n. Тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями.

Число перестановок с повторениями (иногда говорят о числе разбиений множества) из n элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:

. (1.6)

13. Сколько нечетных чисел можно составить из цифр числа 5498, если каждую цифру использовать не более одного раза?

14. На железной дороге 25 станций. На каждом билете печатаются станция отправления и станция назначения. Сколько всего различных билетов нужно оформить, если а) каждый билет действителен только в указанном направлении; б) каждый билет годен либо на поездку «туда», либо на поездку «обратно»?