Статистические игры

Под статистической игрой (игрой с природой) будем понимать парную матричную игру, в которой один игрок заинтересован в наиболее выгодном для него исходе игры, а второй игрок («природа») безразличен к результату игры.

В отличие от матричных игр, в которых участвует два игрока, с противоположными интересами (один игрок старается максимизировать плату, а другой – минимизировать), в реальных задачах, приводящихся к игровым, зачастую имеется не­определенность, вызванная отсутствием информации об усло­виях, в которых осуществляется действие (погода, покупатель­ский спрос и т.д.) и эти условия не зависят от сознательных действий другого игрока. Такие игры относят к играм с природой. Сознательный игрок в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос и т.д.) действует случайно.

Предположим, что в игре с природой сознательный игрок _А может использовать чистых стратегий , ,…, , а природа П может реализовать различных состояний , ,…, . Игроку А могут быть известны вероятности ,…, , с которыми природа реализует свои состояния, но он может и не знать их.

Действуя против природы, игрок _А имеет возможность использовать как чистые стратегии , так и смешанные стратегии. Если игрок А в состоянии оценить (величиной ) последствия применения каждой своей чистой стратегии при каждом состоянии природы, то игру можно задать матрицей:

= ,

которая называется платежной.

Решение статистической игры состоит из следующих этапов:

1. Выявление и отбрасывание дублирующих и доминируемых стратегий лица, играющего с природой; стратегии природы отбрасывать нельзя.

2. Построить и исследовать матрицу рисков.

3. Оценить выигрыш при различных игровых ситуациях: критерии Вальда, Байеса, Сэвиджа и Гурвица и др.;

4. Сделать вывод о выборе наилучшей стратегии.

Игры с природой, хотя и являются частным случаем парных матричных игр, обладают и некоторыми особенностями. Например, при упрощении платежной матрицы отбрасывать те или иные состояния природы нельзя, так как она может реализовать любое состояние независимо от того, выгодно оно игроку _А или нет. Кроме того, решение достаточно найти только для игрока _А, поскольку природа в рекомендациях «не нуждается».

Также в играх с природой смешанные стратегии имеют ограниченное значение: они приобретают смысл только при многократном повторении игры.

Таким образом, цель при решении статистической игры заключается в определении такой стратегии сознательного игрока (чистой или смешанной), которая при ее применении обеспечила бы наибольший выигрыш.

Риском игрока _А, когда он пользуется чистой стратегией при состоянии природы, называется разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, если бы точно знал, что природой будет реализовано именно состояние , и тем выигрышем, который он получит, используя стратегию:

,

где ― максимальный элемент -го столбца платежной матрицы. Элементы матрицы рисков, соответствующие стратегиям и характеризуют общую благоприятность или неблагоприятность для игрока А отдельных состояний природы. Матрица рисков имеет вид:

	П1	П2	...	Пn
A1
A2
…
Am