Теоретический минимум «Экономико-математические методы и модели» Задачи и этапы экономико-математического моделирования

Под экономико-математической моделью исследуемого экономического объекта (или процесса) будем понимать его математическое описание. Экономико-математическое моделирование – это исследование таких процессов посредством их математических моделей.

Экономические процессы, как правило, управляемы, т.е. могут осуществляться различными способами, в зависимости от принятой стратегии их реализации. В связи с этим возникает задача нахождения наилучшей (в определенном смысле) из всех возможных стратегий управления этим процессом. Такую стратегию называют оптимальным (в заданном смысле) управлением, а саму задачу – оптимизационной.

Каждая экономико-математическая оптимизационная задача (модель) необходимо включает следующие принципиальные моменты:

1. Математическое описание исследуемого экономического объекта и/или соответствующих экономических процессов, т.е. входных (экзогенных) и выходных (эндогенных) переменных, переменных текущего состояния объекта и переменных, которыми можно управлять – управлений, а также существующих между переменными зависимостей.

2. Ограничения на управления – описание множества возможных управляющих воздействий – класс допустимых управлений.

3. Ограничения на переменные (планы, реализации, фазовые траектории), вытекающие из экономического смысла задачи.

4. Цель управления – критерий качества – выбранный количественный показатель эффективности управления, обычно представляющий собой функцию (целевую) экзогенных переменных.

В экономико-математическом моделировании рассматриваются следующие основные задачи:

1. Анализ экономических объектов и процессов.

2. Экономическое прогнозирование развития экономических процессов.

3. Выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.

Обычно экономико-математическое моделирование реализуется в несколько этапов.

1. Анализ законов, описывающих связи основных объектов (переменных) модели.

2. Теоретическое исследование построенной математической модели – решение прямой задачи и, как следствие, исследование свойств эндогенных переменных и их сопоставление с реальными наблюдениями изучаемых явлений.

3. Проверка адекватности модели, т.е выяснение того, удовлетворяет (согласуется) ли гипотетическая математическая модель с моделируемым экономическим процессом.

4. Последующий анализ и уточнение (модернизация) математической модели с учетом накопленных данных об изучаемом экономическом процессе.

На промышленных предприятиях накоплен немалый опыт решения экономико-математических задач, результаты которых успешно используются на отдельных предприятиях. К ним можно отнести модели формирования производственной программы предприятия, оптимального использования производственных мощностей, оптимизацию состава промышленных смесей и раскроя материалов и др.

Модели оптимального планирования в промышленности и апк.

В современных экономических условиях критериями эффективности использования трудовых, материальных и денежных ресурсов, а также критериями оценки хозяйственной деятельно­сти предприятия могут служить чистый доход, понимаемый как разность между стоимостью продаваемой продукции и затра­тами на ее производство; показатель прибыли; рентабельность; показатель реализованной продукции; производительность труда, определяемая как выпуск товарной продукции, приходящийся на одного работника; показатель загрузки оборудования, его имеет смысл применять лишь тогда, когда на предприятии установлено дорогостоящее оборудование и простои его нежелательны.

Система ограничений экономико-математической модели задачи определения производственного плана предприятия должна учитывать производственные ресурсы и специфические условия работы предприятия; народнохозяйственные потребности в его продукции.

В зависимости от вида целевой функции и ограничений соответствующая оптимизационная задача называется:

1. Линейной, если ограничения и целевая функция линейны относительно переменных и нелинейной в противном случае.

2. Задачей целочисленного программирования, если параметры управления могут принимать лишь целые значения.

3. Задачей параметрического программирования, если исходные параметры задачи могут изменяться в заданных пределах.

4. Задачей динамического программирования, если процесс выработки решения развертывается во времени или имеет многошаговый характер. Методами динамического программирования могут решаться задачи планирования, управления производством, поставками и запасами в условиях изменяющегося спроса, распределения ограниченных ресурсов, в частности, размещения капитальных вложений, замены оборудования, обновления и восстановления элементов сложных систем и т. д.

После построения модели осуществляется поиск оптимального решения. В зависимости от вида оптимизационной модели используются различные методы математического программирования.

Задача оптимизации производственной программы предприятия

Предприятие выпускает несколько видов продукции П , , имея ограниченный запас ресурсов Р , . Известны нормы затрат ресурса Р на производство единицы продукции П – . Требуется найти такой план производства продукции, который обеспечивает максимум эффекта от выпуска (максимум выручки от реализации, минимум затрат), если — эффективность единицы продукции (например, цена).

Сформулируем математическую модель задачи. Определим переменные модели: – объем производства продукции -го вида .

В этих обозначениях задача оптимизации производственной программы запишется в следующем виде:

максимизируется выручка от реализации

при ограничениях на запас -го ресурса:

, ,

и условии неотрицательности переменных:

, .

Пример. Пусть предприятие выпускает два вида изделий и располагает следующими ресурсами (в расчете на сутки): фонд рабочего времени производственных рабочих — 780 чел.-ч, фонд сырья — 850 ед., электроэнергии –790 ед. Нормы расхода ресурсов в расчете на одно изделие представлены в таблице.

Ресурс	Изделие
	I вид	II вид
Рабочее время, чел.-ч	2	4
Сырье, ед.	1	5
Электроэнергия, ед.	3	4

Цена изделия I вида — 6 у.е., II вида — 7 у.е.

Требуется определить оптимальную производственную программу предприятия с учетом получения максимальной прибыли.

Решение. Математическое описание исследуемого объекта или процесса начинается с выбора переменных модели. Так как в рассматриваемом примере требуется построить модель для определения оптимальной структуры производственной программы по выпуску изделий I, и II видов, введем переменные: – суточный объем производства продукции I вида, – суточный объем производства продукции II вида.

Запишем ограничения на ресурсы.

Рабочее время. Так как нормы расхода рабочего времени для производства единицы продукции I и II вида составляют 2 чел.-ч. и 3 чел.-ч соответственно, то для производства изделий I вида в объеме , изделий II вида в объеме требуется (чел.-ч). С другой стороны, объем использования оборудования не должен превышать имеющегося суточного фонда рабочего времени – 780 чел.-ч. Таким образом, получаем ограничение:

.

Аналогично составляются ограничения для оставшихся видов ресурсов.

Сырье: .

Электроэнергия: .

Кроме того, объем производства изделий каждого вида не может быть отрицательным: , .

В данном примере целью управления (критерием качества) является получение максимальной прибыли, что приводит к экономико-математической оптимизационной модели – задаче максимизации целевой функции:

.

при ограничениях:

,

,

,

, .

Сформулированная модель является задачей линейного программирования.