Нелинейная эмпирическая регрессия

Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравне­ниями регрессии не дает положительного резуль­тата. Нелинейность может проявляться как относительно переменных, так и относительно входящих в функцию коэффициентов.

Оценка параметров нелинейной регрессии по переменным, включенным в анализ, но линейным по оцениваемым параметрам, проводится с помощью МНК путем решения системы линейных алгебраических уравнений.

1. Степенные модели вида , где – параметры модели.

Р

ис. 2. Зависимость ,

Прологарифмируем выражение : и выполняем замену , , , . Тогда получим . Полученная модель является линейной. Коэффициент определяет эластичность пе­ременной Y по переменной X и является константой.

Данная модель легко обобщается на большее число переменных. Например, . Здесь коэффициенты и являются эластичноcтями переменной Y по переменным X₁ и X₂ соответственно.

2. Показательная модель , .

Рис. 3. Зависимость ,

Прологарифмируем выражение : .

Выполним замену , , , , получим линейную модель .

3. Логарифмические модели – это модели вида . Они сводится к линейной модели заменой .

Рис. 4. Зависимость

4. Обратная модель. Модель вида заменой , приводится к линейной модели . Модель вида заменой ; приводится к линейной модели .

_{Рис. 5}. Зависимость Рис. 6. Зависимость

Пример 4. По десяти районам за год известны доля расходов на покупку продовольственных товаров в общих расходах K(%) и средненедельная зарплата t одного работающего (ден. ед.). Получены следующие экспериментальные данные зависимости между и , представленные в табл. 4.

Таблица 4

t	5	5,6	6	6,4	6,8	7,2	7,6	8	8,4	8,8
K	10,4	14,4	17,1	22,5	25,9	33,1	40,4	50	59,2	74,1

Найти эмпирическую функциональную зависимость .

Решение.

На плоскости переменных и построим точки и соединим их плавной кривой (рис. 15).

Рис. 15. Диаграмма исходных данных

По виду полученной диаграммы предполагаем, что для данного случая можно использовать зависимости или .

Рассмотрим зависимость

.

Используя преобразование

,

зависимость преобразуем в линейную . Найдем значения новых переменных X и Y и результаты расчетов занесем в табл. 5.

Таблица 5

	5,0	5,6	6,0	6,4	6,8	7,2	7,6	8,0	8,4	8,8
	0,096	0,069	0,058	0,044	0,039	0,030	0,024	0,020	0,016	0,013

Построив на плоскости OXY точки , (рис. 16), мы видим, что они расположены вдоль некоторой кривой, а не прямой линии.

Рис. 16.

Предположим теперь, что зависимость описывается формулой . Используя преобразование , получим

.

Найдем значения новых переменных X и Y по формулам ; и запишем в табл. 6

Таблица 6

	5,0	5,6	6,0	6,4	6,8	7,2	7,6	8,0	8,4	8,8
	2,34	2,67	2,84	3,11	3,25	3,50	3,70	3,91	4,08	4,31

На плоскости XOY построим точки , . Как видно на (рис. 17), они расположены вдоль некоторой прямой линии, следовательно, выбранная зависимость лучше соответствует исходным данным.

Рис. 17.

Параметры и найдем МНК. Для вычисления коэффициентов системы составим табл. 7.

Таблица 7

5	10,4	5	2,3418	25	11,709
5,6	14,4	5,6	2,6672	31,36	14,936
6	17,1	6	2,8391	36	17,034
6,4	22,5	6,4	3,1135	40,96	19,926
6,8	25,9	6,8	3,2542	46,24	22,129
7,2	33,1	7,2	3,4995	51,84	25,197
7,6	40,4	7,6	3,6988	57,76	28,111
8	50	8	3,912	64	31,296
8,4	59,2	8,4	4,0809	70,56	34,28
8,8	74,1	8,8	4,3054	77,44	37,888
	∑	69,8	33,713	501,16	242,51

Составим нормальную систему уравнений

Решая ее, находим и . Отсюда получаем значение параметра . Таким образом, исходную зависимость можно описать функцией .