34. Средняя квадратическая ошибка функций измеренных аргументов
В практике измерений
возможны случаи, когда искомая величина
является функцией непосредственно
измеренных величин (произведением
измеренной величины на постоянный
коэффициент, суммой или разностью,
произведением или частным от деления
двух или нескольких измеренных величин,
линейной функцией или функцией общего
вида). Например, P=πr^2
где P-радиус окружности
(измеренный аргумент) π-const.
В общем случае имеем функции: U=f(x,y,z,…,w)
(39), где x,y,z,…,w
– непосредственно измеренные
аргументы. На основании свойств случайных
ошибок можно записать
,
где dU- бесконечно
малая ошибка функции (её полный
дифференциал); dx,dy,…,dw-
бесконечно малые ошибки аргументов
(их дифференциал);
;
;
-
частные производные от функции f
по каждому из аргументов – постоянные
величины.
Переходят от
дифференциалов dU,dx,dy,dz,…,dw
к элементарным неизбежным ошибкам
ΔU,
Δx,
Δy,…,
Δw,на
основании формулы Гаусса имеем (см29)
(40), где
-
суть квадраты коэффициентов;
– квадраты средних квадратических
ошибок аргументов. В выражении (40)
отброшены удвоенные произведения
и т.д.
На основании третьего
свойства случайных ошибок удвоенные
произведения являются величинами
ничтожно малыми, т.к. Δx,
Δy
и т.д. имеют
знаки и (+), и (-) и будут неизбежно
компенсироваться, а при делении на n,
стремиться к нулю. Таким образом, формула
(40) вытекает из формулы Гаусса (см29) и
является общей при оценки точности
любых функций. Для функции вида U=kx
(41), где x-
измеренная величина, k-
постоянный
коэффициент, имеем
, т.к.
;
dU=kdx
или
ΔU=kΔx.
СКО произведения постоянного коэффициента
на аргумент равна произведению постоянного
на СКО аргумента.
Средняя квадратическая
относительная ошибка измерения расстояний
нитяным дальномером равна 1/700. В.Функция
имеет линейный вид
(42), где
-
постоянные коэффициенты; x,y,…,w-
независимые аргументы, измеренные со
средними квадратическими ошибками
.
По аналогии с функцией (41) на основе
формул (39),(40) имеем
Квадрат СКО
линейной функции равен сумме произведений
квадратов постоянных на квадраты СКО
соответствующих аргументов.
Квадрат СКО алгебраической суммы
аргументов равен сумме квадратов СКО
аргументов.
35. Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического
Определим СКО
арифметической середины:
перепишем это выражение в виде:
по формуле (42) при
;
имеем
обозначив окончательно получим:
СКО арифметической середины меньше
СКО одного измерения в
.
Это доказывает, что арифметическое
среднее из ряда измерений – наиболее
надежный результат. Ткаим образом,
увеличивая число измерений в разумных
пределах, можно повысить точность
окончательного результата (арифметического
среднего). Но если и дальше увеличивать
число n, то случайные
ошибки могут сравняться с состематическими
и даже будут меньше их и тогда последующее
увеличение числа измерений (приемов)
не даст желаемого повышения точности,
ибо систематические (постоянные) ошибки
не уменьшаются с увеличением n,
а остаются теми же и могут играть
определяющую роль в оценке результатов
измерений.