5. Правило Лопиталя

Теорема (Правило Лопиталя). Пусть функции и имеют в окрестности точки непрерывные производные и , и пусть и , в окрестности точки кроме, быть может, самой точки . Пусть существует . Тогда .

Если в окрестности точки функции и имеют вторые производные, причем и существует , то применяя правило Лопиталя к отношению , получаем:

Правило Лопиталя служит для раскрытия неопределенностей вида:

1. или для вычисления пределов вида

2. для вычисления пределов вида . Произведение следует преобразовать в частное: или , а далее применить правило Лопиталя.

3. для вычисления пределов вида . Разность следует преобразовать в частное:

,

а далее применить правило Лопиталя.

4. для вычисления пределов вида . Если функции и попадают в перечисленные случаи, нужно выполнить следующие действия:

• преобразовать выражение с помощью основного логарифмического тождества: ;

• вычислить предел произведения , которое во всех перечисленных случаях имеет неопределенность вида ;

• воспользоваться свойством непрерывности функции :

Пример. Вычислить пределы:

; ;

; .

Решение:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

;

5. .

Задания для самостоятельной работы

Найти производные данных функций:

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Найти производную 2-го и 3-го порядка:

. . .

. . .

Найти дифференциалы функций:

. .

. .

Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

.

.

.

.

81. Найти уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

82. Под каким углом наклонена к оси абсцисс касательная, проведенная к кривой в точке ?

83. В какой точке кривой касательная параллельна прямой ?

84. В какой точке параболы нужно провести касательную, чтобы она была перпендикулярна биссектрисе первого координатного угла?

85. Найти точки пересечения с осями координат касательной, проведенной к графику функции в точке

86. На кривой найти точку, касательная в которой параллельна прямой

87. Точка движется прямолинейно, согласно заданному закону движения , где S – путь (в м), t – время (в с). Найдите скорость в момент t = 2 с и ускорение в момент t = 3 с.

88. Точка движется прямолинейно, согласно заданному закону движения , где S – путь (в м), t – время (в с). Найдите тот момент времени, когда ускорение равно 0.

89. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением  (м). В какой момент времени скорость движения будет наибольшей? Какой путь будет пройден к этому времени?

90. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением . Найдите максимальную скорость движения этой точки.

Раскрыть неопределенности: