Задания для самостоятельной работы
Найти области определения функций:
|
|
|
Найти:
Написать пять
первых членов последовательности
:
|
|
.
.
.
.
Для каждой из
заданных последовательностей записать
формулу для вычисления
-го
члена:
|
|
|
Доказать, пользуясь определением, что последовательность бесконечно малая:
|
|
|
|
|
.
.
Выяснить, какие из данных последовательностей ограничены:
|
|
|
Найти пределы последовательностей:
|
|
|
.Вычислить пределы:
|
|
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Вычислить односторонние пределы:
|
|
|
.
.
.
Найти точки разрыва и построить графики функций:
|
|
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3. Производные и дифференциалы
3.1. Понятие производной. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Непрерывность дифференцируемой функции
Пусть на некотором
промежутке
определена функция
.
Возьмем любую точку
.
Зададим аргументу
произвольное приращение
такое, что точка
также будет принадлежать
.
Функция получит приращение
.
Производной
функции
в точке
называется предел отношения приращения
функции в этой точке к приращению
аргумента при стремлении последнего к
нулю (при условии, что этот предел
существует), т. е.
.
Если для некоторого
значения
выполняется условие
или
,
т. е. пределы равны бесконечности, то
говорят, что в точке
функция имеет бесконечную
производную.
Если функция
имеет конечную
производную в каждой точке
,
то производную
можно рассматривать как функцию
,
также определенную на
.
Нахождение производной функции называется
дифференцированием
функции.
Если функция в точке
имеет конечную производную, то функция
называется дифференцируемой
в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках
промежутка
,
называется дифференцируемой
на этом промежутке.
Задача о
касательной. Пусть
на плоскости
дана непрерывная функция
и необходимо найти уравнение касательной
к этой кривой в точке
.
Уравнение прямой
по точке
,
принадлежащей этой прямой, и угловому
коэффициенту имеет вид:
,
где
,
(
угол наклона прямой).
Из
(рис. 6) найдем тангенс угла наклона
секущей
:
.
Рис. 6.
Если точку
приближать к точке
,
то угол
будет стремиться к углу
,
т. е. при
.
Следовательно,
.
Из задачи о
касательной следует геометрический
смысл производной:
производная
есть угловой
коэффициент
(тангенс
угла наклона) касательной,
проведенной к кривой
в точке
,
т. е.
.
Следовательно, уравнение касательной
к кривой
в точке
примет вид:
.
Нормалью
к кривой в данной точке называется
прямая, проходящая через данную точку,
перпендикулярная к касательной в этой
точке. Уравнение нормали к кривой
в точке
имеет вид:
.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение:
Придавая аргументу
приращение
,
найдем соответствующее приращение
функции:
.
Составим отношение:
.
Найдем предел этого отношения при
:
.
Механический
смысл производной.
Производная пути по времени
есть скорость точки
в момент
,
т. е.
.
Функция
называется дифференцируемой
в точке
,
если ее приращение
в этой точке можно представить в виде
,
где
–
некоторое число, не зависящее от
,
а
–
функция аргумента
,
являющаяся бесконечно малой при
,
т. е.
.
Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке.
Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируемой в данной точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Пример.
Доказать, что функция
недифференцируема в точке
.
Решение: Производная
функции (если она существует) равна
.
При
производная не существует, так как
отношение
т. е. не имеет предела при
(ни конечного, ни бесконечного).
Геометрически, это означает отсутствие
касательной к кривой в точке
.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.
Обратная теорема
неверна, если функция непрерывна в
данной точке, то она не обязательно
дифференцируема в этой точке. Так,
функция
непрерывна в точке
,
ибо
но, как было доказано ранее, недифференцируема
в этой точке.
Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие ее дифференцируемости.
Замечание: Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке , то функция называется гладкой на этом промежутке. Если же производная функция допускает конечное число точек разрыва, то такая функция на данном промежутке называется кусочно-гладкой.
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке
;
2) дифференцируема на интервале
;
3) на концах отрезка принимает равные
значения, т. е.
.
Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна точка
,
в которой производная функции равна
нулю:
.
Геометрический
смысл теоремы Ролля.
При выполнении условий теоремы внутри
отрезка
найдется точка
,
в которой касательная, проведенная к
графику функции
,
параллельна оси
(рис. 7). Таких точек на интервале
может быть и несколько, но теорема
утверждает существование по крайней
мере одной такой точки.
Замечание.
Пусть
.
Тогда
и
–
нули функции
,
и между ними найдется такая точка
,
что
.
Таким образом, из теоремы Ролля следует,
что между нулями дифференцируемой
функции находится хотя бы один нуль
производной (рис. 8).
Рис. 7. |
Рис. 8. |
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке
;
2) дифференцируема на интервале
.
Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна точка
,
в которой выполняется равенство:
.
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Геометрический
смысл теоремы
Лагранжа заключается в том, что при
выполнении условий теоремы внутри
отрезка
найдется точка
,
в которой касательная, проведенная к
графику функции
,
параллельна хорде
(рис. 9). Таких точек может быть и
несколько, но одна существует точно.
Рис. 9.
Следствие.
При выполнении условий теоремы Лагранжа
.
Эту формулу называют формулой
конечных приращений.
Производная функции может быть найдена по схеме:
дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции
;находим приращение функции ;
составляем отношение
;находим предел этого отношения при , т. е.
(если этот предел существует).