2.12. Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке , т. е. существует ; 2) имеет конечные односторонние пределы функции при слева и справа; 3) эти пределы равны значению функции в точке , т. е. .

Пример. Исследовать функции на непрерывность в точке : а)  , б) .

Решение: а) . При функция определена, , , , т. е. все три условия непрерывности функции в точке выполнены. Следовательно, функция в точке непрерывна.

б) . При функция не определена; ; . Таким образом в точке функция не является непрерывной, так как не выполнены первое и третье условия непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва:

устранимый разрыв – когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , равные друг другу: и они не равны значению или не существует. Например, . Односторонние пределы равны: , однако функция не определена в точке , т. е.  – точка устранимого разрыва. Этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию: ;

первого рода – когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , не равные друг другу: . Например, . Односторонние пределы равны: , т. е.  – точка разрыва первого рода для функции: ;

второго рода – когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует. Например, . Односторонние пределы равны: , т. е.  – точка разрыва второго рода.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

3. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке . Свойство можно записать: , т. е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения (теорема Вейерштрасса).

3. Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что . (Теорема Больцано-Коши.)

Пример. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции . Установить характер разрыва.

Решение: При функция не определена, следовательно, функция в точке терпит разрыв: , а . Так как односторонние пределы бесконечны, то   точка разрыва второго рода.