Вопрос 16. Сднф и скнф. Законы логики. Упрощение логических выражений

Возможен переход от таблицы истинности к логической функции – это можно сделать, построив СДНФ и СКНФ.

СДНФ – совершенная дизъюнктивная нормальная форма. X&Y&Z˅X&Y&Z

СКНФ – совершенная конъюнктивная нормальная форма. (X˅Y˅Z)&(X˅Y˅Z)

называется нормальная форма в которой нет одинаковых элементарных и все состоят из одного и того же набора переменных, в которых каждая переменная входит только один раз (возможно с отрицанием).

Всякую элементарных называют .

Элементарной называется нескольких переменных взятых с отрицанием или без отрицания, причем среди переменных могут быть одинаковые

Алгоритм построения СКНФ/СДНФ

1. В таблице истинности выбрать наборы аргументов, при которых значение логической функции равно .

2. Для каждого такого набора записать всех входных переменных: переменная берется без отрицания, если имеет значение , и переменная берется с отрицанием, если имеет значение .

3. Все полученные объединяются знаками .

4. Если необходимо, то упростить полученное выражение используя законы логики.

5. Проверить полученный результат построив таблицу истинности для найденной функции и сравнить ее с исходной таблицей истинности.

В зависимости от того, каких значений в таблице истинности меньше будем строить либо СДНФ, либо СКНФ, если меньше единиц, то строим СДНФ, если меньше нулей, то строим СКНФ.

Законы логики

При решении многих логических задач возникает необходимость упрощать полученные при формализации их условий функции. Упрощение происходит на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на законы логики.

1. Закон тождества: A=A

2. Вторая форма закона не противоречия:

3. Закон исключенного третьего:

4. Закон двойного отрицания:

5. Свойства констант: , , A˅0=A, A&0=0, A˅1=1, A&1=A

6. Законы идемпотентности: A˅A=A, A&A=A

7. Законы коммутативности: A˅B=B˅A, A&B=B&A

8. Законы ассоциативности: A˅(B˅C)=(A˅B)˅C, A&(B&C)=(A&B)&C

9. Законы дистрибутивности: A&(B˅C)=A&B˅A&C, A˅(B&C)=(A˅B)&(A˅C)

10. Законы поглощения: A˅(A&B)=A, A&(A˅B)=A

11. Законы де Моргана: = , =

12. Правила замены операции импликация: AB= ˅B, AB= 

13. Правила замены операции эквивалентности: A˂=˃B=(A&B)˅( & ), A˂=˃B=(A& )&( &B), A˂=˃B=(AB)&(BA)

Вопрос 17. Логические элементы. Построение логических схем

Преобразователь, который получая сигналы об истинности определенных высказываний обрабатывает их и в результате выдает значение логического отрицания, конъюнкции или дизъюнкции этих высказываний называется логическим элементом.

1. Инвентор – логический элемент, который на выходе дает сигнал противоположный сигналу на входе.

2. Конъюнктор – логический элемент, на выходе которого получается 1 тогда и только тогда, когда на все входы поданы единицы.

3. Дизъюнктор – логический ээлемент, на выходе которого получается 1, если хотя бы на один из входов подается единица.

Логической (функциональной) схемой устройства называют схему соединения логических элементов реализующую функцию.

Алгоритм построения логических схем

1. Определить последовательность логических операций, поставив над каждой операцией ее порядковый номер.

2. Определить количество аргументов в логической функции, нарисовать соответствующие им линии и подписать их.

3. С помощью условных обозначений нарисовать логические элементы соединив их в установленном выше порядке.

4. Проверить правильность построения логической схемы выполнив сравнение значений таблицы истинности для логической функции и выходных значений логической схемы для конкретных наборов входных значений.