Разбор типовых вариантов заданий №12 егэ по математике профильного уровня

Найдите точку максимума функции:

Честно считаем производную, приравниваем её к нулю, находим стационарные точки – корни уравнения, среди этих точек и ищем точки максимума – проходя через них производная меняет знак с плюса на минус. отметим, что х = –4 не является допустимым значением аргумента.

Приравниваем полученное выражение к нулю. Дробь равна нолю, когда числитель равен нулю:

2x + 10 = 0

x = - 5

Ответ: -5

Разбор типовых вариантов заданий №13 егэ по математике профильного уровня

Решите уравнение:

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

Для решения первой части - тригонометрического уравнения необходимо воспользоваться формулами преобразования. Для тригонометрических уравнений в большинстве случаев, особенно в ЕГЭ, нужно пользоваться формулами в сторону упрощения. Под этим я подразумеваю преобразование двойного косинуса в разность квадратов косинуса и синуса одинарного угла, то есть представление тригонометрических функций двойных углов, разности углов и др. в арифметические комбинации простых (одинарных) углов. Есть ряд задач, где удобно построить решение через выражение через тангенсы и прочие комбинации, но в ЕГЭ такое встречается редко, поэтому рекомендую действовать предельно просто.

В данном случае применяем формулу косинуса двойного угла, формулу приведения (или даже определения ) косинуса.

После этого наше уравнение можно переписать в следующем виде:

Как мы все знаем, произведение равно нолю, когда хотя бы один из его множителей равен нолю:

А для второго задания необходимо посмотреть, сколько наших корней и каких умещаются в заданном промежутке:

Видим, что таких корней три, их и записываем в ответ: -7/6 π , - 11/6 π , -2 π.

Разбор типовых вариантов заданий №14 егэ по математике профильного уровня

Все рёбра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер АА1 и А1С1 соответственно.

а) Докажите, что прямые ВМ и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и АВВ1.

Итак, приступим. Доказательство того, что прямые перпендикулярны логично построить на утверждении, что треугольник BMN прямоугольный. Для этого же необходимо применить к нему теорему Пифагора.

Посмотрим на его гипотенузу BN, для этого рассмотрим прямоугольный треугольник BHN и применем к нему теорему Пифагора:

BN2 = (3√3)2+62=63

3√3 - это высота, медиана или биссектриса в равностороннем треугольнике со стороной 3

Теперь найдем стороны BM и MN:

BM2 = 32+62= 45

MN2 = 32+32= 18

Проверяем:

BM2 + MN2 = 45 + 18 = 63 = BN2

Значит, треугольник прямоугольный и прямые перпендикулярны!

Решаем вторую часть задачи:

Проводим перпендикуляр NP к прямой А1В1. Тогда NP А1В1 и NP А1А. Следовательно, угол NMP – линейный угол искомого угла. Длина NP равна половине высоты треугольника А1В1С1, так как треугольник в два раза меньше (N - середина стороны):

NP = 3√3/2

Далее переходим к синусу и арксинусу в прямоугольном треугольнике:

Ответ: arcsin√3/8