1.3.8.Оценка случайных погрешностей при небольшом числе измерений

Распределение результатов измерений мало отличается от нормального только при достаточно больших значениях n (n ). При этом невелико и различие между и . Однако на практике чаще всего ограничиваются небольшим числом измерений (n=3…5). В таких случаях значения могут значительно отличаться от . Для правильной оценки доверительных границ случайной погрешности при малом числе измерений вместо целочисленных коэффициентов t=1,2,…( , ,…) вводятся превышающие их дробные коэффициенты Стьюдента (t_ст). Особенностью распределения Стьюдента является то, что доверительный интервал с уменьшением числа измерений расширяется, по сравнению с нормальным законом распределения при той же доверительной вероятности. Доверительная граница случайной погрешности среднего арифметического оценивается по формуле

(19)

Величина коэффициента распределения Стьюдента зависит от числа измерений n и выбранного доверительного интервала или доверительной вероятности P. Определить коэффициенты Стьюдента (t_ст) можно с помощью таблицы 1 Приложения 3.

1.3.9. Грубые погрешности

Грубой называют погрешность измерения, существенно превышающую ожидаемую при данных условиях погрешность. Причинами появления грубых погрешностей могут быть кратковременные нарушения нормальной работы (сбои), резкие изменения условий проведения измерений, невнимательность или неправильные действия контролера. Грубые субъективные погрешности называют промахами. Типичными примерами промахов являются: ошибка отсчета на целый оборот барабана микрометра, неверное снятие отсчета из-за нечетко написанного деления шкалы (путают цифры 3 и 8, 6 и 8, 5 и 6), ошибки в реализации метода измерений.

Результаты с грубыми погрешностями Δ_г следует исключать из рассмотрения. Это предупреждает возможность значительного искажения результатов измерений. Отбраковывание результатов осуществляется либо отбрасыванием (цензурованием) явно нелепых значений, либо статистическим отбраковыванием отдельных экстремальных значений.

Результаты с грубыми погрешностями Δ_г следует исключать из рассмотрения отбрасыванием (цензурованием) явно нелепых значений, либо статистическим отбраковыванием отдельных экстремальных значений.

1.3.10.Погрешности косвенных измерений

При косвенном измерении значение искомой величины Y находят расчетом, в котором используют результаты прямых измерений величин х₁, х₂,…, х_n, связанных с Y известной зависимостью

y=f (х1, х2,…, хn).

(20)

В качестве иллюстрации косвенных измерений можно обратиться к исходным формулам данной работы для вычисления плотности (1-3).

Проведя серию прямых измерений величин х₁, х₂,…, х_n, можно найти их оценки, т.е. а также определить доверительные границы погрешностей результатов их измерений: х₁, х₂ ,…, _n. Наиболее вероятным значением y следует считать , которое получается, если в выражение (4.1) подставить

(21)

Погрешности аргументов приводят к погрешности определения величины у:

(22)

Погрешность можно представить в виде суммы

(23)

где - частная ошибка функции у по аргументу х_i, представляющая собой вклад в общую ошибку , обусловленный неточностью определения аргумента х_i. Если мала, то выражения (4.2) можно записать короче, используя методы дифференциального исчисления. В общем виде получим:

(24)

В качестве примера найдем выражения для погрешностей, возникающих при косвенном измерении объема цилиндра V по формуле (2), считая V функцией двух аргументов – d и h:

(25)

Видно, что вклад в результирующую погрешность V погрешностей прямых измерений d и h будет различным (даже при d=h).

Для функций, имеющих одночленную, логарифмируемую формулу вида у=х₁^х₂^…х_n^, можно легко найти относительную погрешность результата _у через относительные погрешности аргументов – . Если уравнение такой функции прологарифмировать, то получим , а после дифференцирования с учетом того, что :

(26)

Заменяя дифференциалы погрешностями, имеющими малые значения, получим

(27)

или: ,

т.е. относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей аргументов с коэффициентами, равными степеням аргументов в исходной логарифмируемой формуле.

Если х₁, х₂, …, х_n – случайные величины, то значения ,…, только суммируются.

Для перехода к абсолютной погрешности выполняется действие: .

Исходя из вышеизложенного, относительная погрешность определения плотности, вычисляемой по формуле (3), примет вид:

+

(27)