Уравнение трех моментов

 

Сплошная балка, перекрывающая несколько пролетов, не прерывающаяся шарнирами, называется неразрезной.

Степень статической неопределимости неразрезной балки определяется по формуле:

 

 n=C₀-3

 

Неразрезную балку обычно решают методом сил. В качестве основной системы выбирают балку с установленными над промежуточными опорами шарнирами. При таком выборе основной системы балка делится на отдельные однопролетные балки.

Если какой-либо конец балки имеет заделку (рис. 1), то в основной системе со стороны этого конца добавляется вместо заделки пролет длиной нуль. Консольные части балки (рис. 2) в основной системе отбрасываются, а их действия заменяются известными моментами.

 

Рисунок 1. Неразрезная балка

   

Рисунок 2. Неразрезная балка

 

Для каждой отдельной балки (участок между установленными шарнирами) строятся эпюры моментов от действия внешних сил, которые на ней расположены.

 Каноническое уравнение метода сил для балки постоянного сечения принимает вид уравнения трех моментов и содержит не более трех неизвестных:

 

 

 где M_n-1, M_n, M_n+1 – моменты на опорах n-1, n, n+1;

        l_n, l_n+1 – длины соответствующих пролетов;

        Bn^Ф, An+1^Ф – фиктивные опорные реакции.

 

 

где ω_n, ω_n+1 – площади эпюр моментов для простых балок; 

         a_n, b_n+1 – расстояние от центра тяжести соответствующей площади фигуры, ограниченной эпюрой моментов, до ближайшей левой опоры n или ближайшей правой опоры n+1.

 

 

 

Составляется столько уравнений трех моментов сколько лишних связей и, решив их, находятся неизвестные опорные моменты.

Строится эпюра опорных моментов М_оп –  полученные значения опорных моментовоткладываются от оси и соединяются прямыми в пределах пролетов.

Эпюра М для неразрезной балки равна сумме грузовых эпюр отдельных балок М_р и эпюры опорных моментов М_оп.

 

Пример задачи с решением.

 

С. Задача 1

 

Построить эпюру изгибающих моментов для неразрезной балки с помощью уравнения трех моментов.

 

  

 

Неразрезная балка

 

1) Составляется основная система неразрезной балки:

 

 

Основная система для способа уравнений трех моментов

 

 2) Строятся эпюры изгибающих моментов для отдельных балок, на которые действуют внешние нагрузки:

 

 

Эпюры изгибающих моментов для отдельных балок

 

Распишем построение эпюры для пролета L₂:

 

 и т.д. для остальных пролетов.

3) Составляются уравнения трех моментов:

 

 

 4) Определяются площади и центры тяжести соответствующих эпюр изгибающих моментов простых балок:

 

 

 

5) Преобразуем уравнения трех моментов:

 

 

 6) Решаем уравнения трех моментов:

 

 

 7) Строим эпюру моментов в опорах М_оп.

8) Строим итоговую эпюру моментов М, равную сумме эпюр моментов в опорах М_опи всех эпюр M_р, построенных для отдельных балок.

9) Выполняем проверку. Строим единичную эпюру от действия единичной силы в крайней правой опоре. Если произведение единичной эпюры на итоговую эпюру равно нулю, то расчет выполнен верно.

 

 

 

Расчет неразрезной балки с помощью уравнений трех моментов