Внутренние и внешние (опоры) связи
Связи в расчетных схемах инженерных конструкций строительной механики, которые соединяют друг с другом отдельные ее части (стержни, пластины и т.д.) называются внутренними.
Виды внутренних связей:
- шарнирные (лишают двух степеней свободы) (рис. 1, а);
- шарнирно-подвижные (лишают одной степени свободы) (рис. 1, б).
Рисунок 1. Внутренние связи
Взаимодействие между рассматриваемым сооружением и другими инженерными конструкциями или фундаментом в расчетных схемах учитывается с помощью внешних связей – опор.
Виды внешних связей (опор):
- шарнирно-подвижная;
- шарнирно-неподвижная;
- жесткое защемление (заделка).
Кинематический анализ. Основная формула кинематического анализа
Внешняя нагрузка, воздействующая на сооружение, может вызвать большие перемещения отдельных элементов конструкции, в результате чего оно может быть разрушено, следовательно, перемещения сооружения должны быть очень малыми.
Кинематический анализ – это анализ геометрической структуры сооружения для того, чтобы не допустить возможности возникновения больших перемещений.
В строительной механике при выполнении кинематического анализа внешняя нагрузка не учитывается, а все элементы конструкции считаются жесткими.
В кинематическом анализе выделяют следующие типы расчетных схем:
1) Геометрически неизменяемая система – это система, элементы которой могут перемещаться только за счет своей деформации. Одним из вариантов такой системы является шарнирный треугольник (рис. 1, а).
2) Геометрически изменяемая система – это система, элементы которой могут перемещаться даже без деформаций. В качестве примера такой системы можно привести шарнирный четырехугольник (рис. 1, б).
3) Мгновенно изменяемая система – система, элементы которой могут получать только мгновенные перемещения (рис. 1, в).
Рисунок 1. Типы расчетных схем в кинематическом анализе
Кинематические свойства инженерной конструкции определяют путем расчета числа ее степеней свободы.
Число степеней свободы (W) – это минимальное количество координат, требуемое для определения места нахождения любого элемента конструкции.
Кинематические связи (внутренние и внешние) должны обеспечивать неподвижность конструкции относительно фундамента, а также неизменяемость ее внутренней геометрической структуры.
В случае, если при исключении одной связи из неизменяемой конструкция превращается в изменяемой, то эта связь называется необходимой.
В случае, если при удалении одной связи конструкция остается неизменяемой, то связь называется избыточной.
Число степеней свободы для плоской стержневой системы рассчитывается по формуле, называемой основной формулой кинематического анализа:
W = 3Д – 2Ш – С0 .
Диск (Д) – неизменяемая часть конструкции, представляющая собой жесткий неподвижный элемент;
Шарнир (Ш) – связь, позволяющая соединяемым ею дискам поворачиваться друг относительно друга;
Опорный стержень (С0) – число реакций, которые могут возникать во всех связях(внутренних и внешних) данной конструкции.
Шарнир, соединяющий два диска, называется простым шарниром (рис. 2, а).
Шарнир, соединяющий несколько дисков, называется сложным шарниром (рис. 2, б).
Сложный шарнир равен (k–1) простому шарниру, где k – число дисков, соединяемых данным шарниром.
Рисунок 2. Сложный и простой шарниры
При расчете по основной формуле кинематического анализа возможны следующие результаты:
1) W>0 – такая система является геометрически изменяемой и такая конструкция не может служить в качестве инженерного сооружения;
2) W=0 – в схеме введено необходимое число связей и если они введены верно, то система неизменяема и статически определима;
3) W<0 – в системе присутствуют избыточные связи если они введены верно, то система неизменяема и статически неопределима.
Внутренние усилия. Правила построения их эпюр.
Внешняя нагрузка, действуя на составные части любого строительного сооружения, приводят к возникновению в элементах конструкции внутренние напряжения и деформации. В строительной механике рассчитывают следующие характеристики напряжений и деформаций – внутренние усилия и перемещения.
В элементах стержневой системы на плоскости могут возникать три вида внутренних усилий: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. Положительные значения указанных усилий в зависимости от направления внутренних усилий определяются как на рисунке, приведенном ниже:
Правило знаков при построении эпюр
Изгибающий момент (М) – это сумма моментов, создаваемых силами, расположенными слева (или справа) относительно рассматриваемой точки (момент создается относительно оси z).
Поперечная сила (Q) – это сумма проекций всех сосредоточенных сил, расположенных слева (или справа) относительно рассматриваемой точки, на ось y.
Продольная сила (N) – это сумма проекций всех сосредоточенных сил, расположенных слева (или справа) относительно рассматриваемой точки, на ось x.
При построении эпюр для Q и N ординаты со знаком "+" откладывают вверх от нейтральной оси эпюры, а отрицательные – вниз. Эпюра М всегда изображается на стороне растянутого волокна балки, т.е. значения со знаком "+" откладываются вниз от нейтральной оси эпюры, а отрицательные – вверх.
Между эпюрами изгибающего момента (М) и поперечной силы (Q) существует прямая зависимость – поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки (теорема Журавского).
Q=dM/dx
Правила для проверки правильности построения эпюр:
1. На участках стержня, на которые действует равномерно распределенная нагрузка q эпюра изгибающих моментов М имеет вид выпуклой (вогнутой) кривой (выпуклость этой кривой направлена в ту сторону, куда направлена распределенная нагрузка), эпюра Q – наклонной прямой.
2. В местах расположения на стержне сосредоточенной силы P на эпюре поперечной силы Q всегда будет перепад на величину этой сосредоточенной силы. В месте расположения сосредоточенного момента на эпюре изгибающих моментов М также всегда будет перепад на величину этого сосредоточенного момента.
3. Если эпюра поперечной силы (Q) имеет один знак, то эпюра изгибающего момента (М) или возрастает или убывает (если знак Q "– " ординатами эпюры М слева на право увеличиваются).
4. Величина поперечной силы (Q) равна тангенсу угла между касательной к эпюре изгибающего момента (М) и нейтральной осью эпюры.
5. В точках балки, в которых эпюра поперечной силы (Q) пересекает нейтральную ось (Q=0) на эпюре изгибающего момента (М) располагается максимум или минимум.
6. По виду линии эпюры изгибающего момента (М) можно определить знак эпюры поперечной силы (Q). Для этого нейтральную ось эпюры M необходимо повернуть до совпадения с касательной к линии эпюры М. Если поворот будет по часовой стрелке, Q будет со знаком «+», а если против часовой стрелки, то со знаком «–». При этом угол поворота должен быть меньше 90°.
Расчет однопролетных балок
Задачи по определению внутренних усилий в однопролетных балках входят в курс предметов "Строительная механика" и "Сопротивление материалов".
Количество степеней свободы для плоской стержневой системы определяется по формуле, называемой основной формулой кинематического анализа:
W = 3Д – 2Ш – С0
При W=0 – система неизменяема и статически определима (т.е. может быть решена путем составления уравнений равновесия).
Для определения реакций в опорах применяется принцип освобождения от связей – систему можно освободить от связей, если эти связи (например, опоры) заменить реакциями. Далее составив уравнения равновесия для новой полученной системы определяют величины введенных реакций.
Уравнения равновесия для плоской системы можно составить в следующих видах:
В элементах стержневой системы на плоскости могут возникать три вида внутренних усилий: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. Положительные значения указанных усилий в зависимости от направления внутренних усилий определяются как на рис. 1:
Рисунок 1. Правило знаков для внутренних усилий
Методы определения усилий в статически определимых системах
Для определения усилий в строительной механике применяются различные методы: простых сечений, совместных сечений, вырезания узла и замены связей.
Метод простых сечений
При расчете этим метод внутреннее усилие рассматривают как внешнюю нагрузку и определяют его путем составления и решения уравнения равновесия.
Например, внутренние усилия балки (рис. 1, а).
Рисунок 1. Метод простых сечений
Алгоритм расчета данным методом:
1) провести через любую точку стержня разрез;
2) отбросить более сложную часть (где больше сил) и для дальнейшего расчета используют более простую часть стержня;
3) составить уравнения равновесия;
4) решая полученные уравнения, определить внутренние усилия M, Q, N;
5) построить эпюры M, Q, N по найденным значениям внутренних усилий.