«Воображариум» |
|
Тема 7. Оптимизационные задачи. Текстовые задачи с графическим решением
1. Оптимизационные задачи линейного программирования
Оптимизационной задачей называется задача нахождения экстремума (максимума или минимума) целевой функции при наличии некоторой системы линейных или нелинейных ограничений. Часто оптимизационные задачи задаются в виде текстовых задач, когда перед решением нужно сначала составить систему уравнений и неравенств. Такие задачи постоянно встречаются в ЕГЭ и на ДВИ.
Начнем рассмотрение темы со случаев, когда и целевая функция, и система ограничений заданы линейно.
В общем виде задача выглядит так:
Здесь числа а и с – произвольные числа. Задача может быть направлена как на максимум, так и на минимум. При этом ограничения могут быть как меньше или равны нулю, так и больше или равны нулю.
Пример 1. Оптимизационная задача с использованием понятия градиента
Найти наибольшее и наименьшее значение параметра а, при котором выполняется следующая система:
Важные термины:
Линии уровня - линии, которые может задавать уравнение целевой функции с учетом значений параметра.
Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis – шагающий, растущий) – вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой, а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.
Градиент
является вектором нормали, перпендикулярным
линиям уровня – линии уровня будут
двигаться вдоль этого вектора. Как мы
знаем из лекции 2, если уравнение прямой
задано в общем виде
,
то нормальный вектор задается как
.
2. Целочисленные оптимизационные задачи
Некоторая специфика появляется, когда дана текстовая задача с такими условиями, что неизвестные являются целочисленными.
Пример 2. Целочисленная оптимизационная задача
Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб. соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.
3. Задачи, которые сводятся к нахождению максимума/минимума квадратичной функции
В таких задачах необходимо использовать уже знакомые принципы нахождения максимального (или минимального) значения квадратичной функции: оно может достигаться в вершине параболы или в граничных точках ограничения, если оно есть.
И снова необходимо помнить, что если речь идет о текстовой задаче, на переменные могут быть дополнительные условия, связанные со смыслом – например, их неотрицательность, целочисленность.
Пример 3. Задача на максимум/минимум квадратичной функции
В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?