Изгиб
.pdf
Необхідний момент опору знаходиться з умови міцності
WX ≥ |
M X max |
(4.4) |
[σ] |
Підбір необхідних розмірів перерізів балки виконується таким чином:
для двотавра та швелера номер профілю визначається з порівняння знайденого моменту опору із даними сортаменту /ДСТ 8239-72, СТ СЕВ
2209-80, ДСТ 8240-72/.
для прямокутника осьовий момент опору визначається за розмірами сторін h та b як:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
WX = |
|
bh 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
де h – бік прямокутника, перпендикулярний осі X. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
b |
= k , |
|
|
/ k =2; 0,5 /, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
то b = h |
k |
і |
W |
X |
= h |
3 |
звідки |
|
h = 3 |
6kW |
X |
. Площа перерізу A = b × h ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
для |
кола |
|
WX = |
πd3 ≈ 0.1d3 , |
|
|
тоді d = 3 10WX , |
а площа |
перерізу |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A = πd |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
кільця |
WX |
= |
|
πD3 |
(1 − α4 )≈ 0.1D3 (1 − α4 ), де |
α = d |
D |
; |
d, |
D – |
|||||||||||||
32 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
внутрішній |
і |
зовнішній діаметри |
кільця відповідно. Площа |
кільця |
||||||||||||||||||||
|
A = |
πD2 |
(1 − α4 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначення запасу міцності складного перерізу:
61
1.По параметру L /табл.2/ та сортаменту стандартних профілів встановити характерні розміри перерізу і зобразити його, додержуючись масштабу.
2.Розбити переріз на такі прості складові частини, центр ваги яких і осьові моменти інерції відомі чи легко знаходяться.
3.Для кожної складової частини перерізу визначити і накреслити власні головні центральні вісі Xi, Yi.
4.Обчислити координати центру ваги складного перерізу:
|
|
|
N |
|
N |
|
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
∑SYi |
|
∑Ai XCi |
|
|
|
∑SXi |
|
∑Ai YCi |
|
|
|
X |
C |
= |
i=1 |
= |
i=1 |
, |
Y |
= |
i=1 |
= |
i=1 |
, |
(4.5) |
|
N |
N |
N |
N |
|||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∑Ai |
|
∑Ai |
|
|
|
∑Ai |
|
∑Ai |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
де SYi,SXi - статичні моменти i-ої складової частини перерізу відносно будь-якої фіксованої системи осей X0 , Y0 ; XCi , YCi - координати
центрів ваги i-ої складової частини перерізу у вибраній системі координатX0 , Y0 ; Ai- площа i-ої складової частини перерізу.
Підсумування у (4.5) проводиться за кількістю N складових частин перерізу.
5.Накреслити головні центральні осі X, Y складного перерізу.
6.Визначити осьовий момент інерції IX поданого перерізу, враховуючи наступне:
якщо головні центральні осі Xi, Yi складової частини перерізу паралельні головним центральним осям X, Y, то
(I |
X |
) |
= I |
Xi |
+ a 2 A |
i |
, |
(4.6) |
|
i |
|
i |
|
|
де ai-відстань між осями X та Xi;
62
IXi- момент інерції складової частини перерізу відносно власної осі Xi; момент інерції складної фігури відносно головної центральної осі дорівнює сумі моментів інерції її складових частин відносно тієї самої осі:
N |
|
IX = ∑IXi |
(4.7) |
i=1
Таким чином,
IX = ∑N (IXi + a i2 Ai ) |
(4.8) |
i=1
7.Максимальні напруження знайти за формулою (4.1).
8.Запас міцності складного перерізу підрахувати згідно (4.9).
n T |
= σT |
σmax |
(4.9) |
|
|
|
|
Графіки розподілу нормальних і дотичних |
напружень достатньо |
||
збудувати тільки для балки двотаврового перерізу. Епюри нормальних напружень σ визначити у перерізі, де діє MXmax , а розподіл дотичних напружень τ знайти для перерізу з максимальною за модулем поперечною силою QYmax. На епюрі σ зазначити зони розтягу та стиску, а на епюрі τ - напрям вектора дотичних напружень. Підрахунок дотичних напружень провести за формулою Д.І.Журавського (4.10) для характерних точок перерізу:
-найбільш віддалених від нейтральної осі;
-що лежать на стику полки двотавра зі стінкою;
-що лежать на нейтральній осі перерізу.
63
|
|
Q |
Y max |
Sвідс |
|
|
|
τ = |
|
X |
, |
(4.10) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
b IX |
|
||
тут QYmax |
- максимальне за модулем внутрішнє зусилля у балці; |
|
||||
SXвідс |
- статичний момент відсіченої частини площі перерізу на тому |
|||||
|
рівні, де визначається дотичне напруження відносно |
|||||
|
нейтральної осі X; |
|
|
|
|
|
IX |
- осьовий момент інерції перерізу; |
|
||||
b |
- ширина площі перерізу на рівні, де визначається дотичне |
|||||
напруження.
9. Переміщення (прогин) в балках знаходяться згідно з енергетичним методом за допомогою інтеграла Мора:
__
V = ∫ M X × Mi dz ,
l EIX
який можна обчислити за правилом Верещагіна.
|
|
__ |
|
M X × Mi |
|
V = |
|
|
|
EIi |
|
|
|
|
У співвідношенні (4.12)
MX- епюра згинального моменту від зовнішніх сил;
(4.11)
(4.12)
__
Mi - епюра “фіктивного” згинального моменту від одиничної сили, прикладеної в перерізі, де знаходиться прогин.
Слід прийняти до уваги, що вираз (4.12) можна підрахувати графоаналітичним способом згідно з формулами, наведеними на рис.4.1 ,
__
при цьому загальні епюри згинальних моментів M X , Mi треба розбити на
64
такі частини, в межах яких зазначені функції залишаються незмінними.
10. Вибір припустимого значення зовнішньої сили виконати згідно з умовами міцності для складного перерізу з урахуванням різних властивостей чавуну на розтяг та стискання.
Рис. 4.1
65
Додаток 1
Зразок виконання завдання
Вихідні дані: nT = 1.5, L = 10 см Матеріал балок №1-4– сталь
σT = 300 МПа
E = 2·105 МПа Матеріал балки №5- чавун КЧ 30 – 6
σТ+ =190МПа
σТ− = 210МПа
E=1.55 105 МПа
66
Розрахунок на міцність балки 4: 1. Визначення реакцій опор
∑MA = 0; |
F3 1 − q2 2 |
1 − M2 + R B 3 = 0; R B = (−20 1 |
+ 20 2 1 +10) / 3 =10 kH; |
∑MB = 0; |
F3 4 − R A 3 |
+ q2 2 2 − M2 = 0; R A = (20 4 |
+ 20 2 2 −10) / 3 = 50 kH; |
Перевірка: ∑Fiy =0; RA +RB −F3 −q2 2 =0; 50+10−20−20 2 =0.
2. Визначення поперечних зусиль QY та моментів згину MX
0 ≤ Z1 ≤1м |
Qy (z1 ) = −F3 = −20 kH; M x (z1 ) = −F3 z1; |
|
|
M x|z =0 |
= 0; M x|z =1м = −20 kHм; |
|
1 |
1 |
1м≤ z2 ≤ 3м Qy (z2 ) = −F3 + RA − q2 (z2 −1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Qy|z2 =1м = −20 + 50 = 30 kH; Qy|z2 =3м = −20 + 50 − 20 2 = −10 kH; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
M |
x |
(z |
2 |
) = −F z |
2 |
+ R |
A |
(z |
2 |
−1) − |
q2 (z |
2 −1)2 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M x|z |
=1м = −20 1 = −20 kHм; M x|z |
=3 |
м = −20 3 + 50 2 − 20 |
2 |
2 |
= 0; |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
M |
x |
′(z |
2 |
) =Q |
y |
(z |
2 |
) = −F + R |
A |
− q |
2 |
(z |
−1) = 0; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z |
|
= (−F |
+ R |
A |
+ q |
2 |
1) / q |
2 |
= 2.5 м; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M x|z2 =2.5м = −20 2.5 + 50 1.5 − 20 |
1.5 |
2 |
= 2.5kHм; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 ≤ z3 ≤1м |
Qy (z3 ) = −RB = −10 kH; M x (z3 ) = RB z3; |
|
|
M x|z =0 |
= 0; M x|z =1м =10 kHм |
|
3 |
3 |
3. Підбір перерізів з умови міцності
σ |
max |
= |
MX max |
≤[σ]; W ≥ |
MX max |
; |
[σ] = |
σT |
= |
300 |
= 200 МПа ; |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
WX |
|
X |
[σ] |
|
nT |
1.5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W |
≥ |
20 103 |
106 |
=100 см3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X |
|
|
200 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приймаємо Ι №16: I |
x |
=873см4, W =109см3, |
A=20.2см2, |
||
|
|
|
x |
|
|
S |
=62.3см3, |
h =16см, d=5мм, |
t =7.8мм, b=81мм. |
||
xmax |
|
|
|
|
|
[ №16а: W =103 см3 |
, A =19.5 см2. |
x |
|
67
h |
|
|
h |
h2 |
|
|
|
= 2, |
Wx = 2 |
=100 см3 |
, |
||||
|
|||||||
b |
6 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
h = 3 12 100 =10.6 см, b =5.3 см.
h |
= |
1 |
, W x |
= |
2h h 2 |
, |
b |
2 |
= 100 см3 |
||||
|
|
|
6 |
|
h = 3 3 100 = 6.7 см, b = 13.4 см.
Wx = πd 3 ≈ 0.1d 3 =100 см3, 32
d = 3 10 1000 =10 см.
W =πD3 (1−α4 ) ≈0.1D3 |
(1−α4 ) =100см3, |
|
x |
32 |
|
|
|
|
D =3 |
10 100 =12см, |
|
|
(1−0.84 ) |
|
d =αD =0.8 12 =9.6 см.
|
|
|
|
|
|
|
А,с |
20.2 |
56 |
90 |
78 |
40 |
19.5 |
м2 |
|
|
|
|
|
|
Аi/ |
1 |
2.8 |
4.5 |
3.9 |
2 |
0.9 |
АI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
Продовження додатку 1
4. Напруження у двотавру
20 103
σmax = 109 10−6 106 =180 МПа;
τ1,5 = 0;
τ2,4 = 30 103 81 10−3 7.8 10−3 7.51 10−2−3 −8 6
81 10 873 10 10
=2МПа;
τ=30 103 81 10−3 7.8 10−3 7.51 10−2 2′,4′ 5 10−3 873 10−8 106
=33МПа;
τ3 |
= |
|
30 103 62.3 10 |
−6 |
= 43 МПа. |
|
|
10−3 873 10−8 |
106 |
||||
|
5 |
|
||||
5. Визначення коефіцієнта запасу міцності nT0 складного перерізу Витяг з сортаменту для швелера №10 дає:
I x =174 см2 , I y = 20.4 см4 , A =10.9 см2 , b = 46 мм, z0 =1.44 см, h =10 см.
Тоді для складного перерізу маємо:
xc =0; yc =102 6.44−2(2 8 7.44) =5.14см; 10.9+102 −2 2 8
69
Продовження додатку 1
|
2 |
104 |
2 |
|
2 |
|
2 83 |
2 |
|
4 |
|
|
Ix = (20.4 + 5.14 |
|
10.9) + ( |
|
+1.3 |
10 |
|
) − 2( |
|
+ 2.3 |
16) =971см |
|
; |
|
12 |
|
12 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
.=8.3см; σ |
= |
20 103 8.3 10−2 |
|
=171МПа; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
н.в |
max |
|
|
97110−8 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
=6.3см σ |
= |
|
20 103 6.3 10−2 |
|
=129МПа; n |
0 |
= |
|
σT |
= |
300 |
=1.75; |
|
|
97110−8 106 |
T |
σmax |
171 |
||||||||||
в.в. |
в.в. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. Розрахунок допустимої зовнішньої сили для балки складного перерізу
(див. п. 5)
Матеріал – чавун КЧ 30 – 6,
σТ+ =190 МПа, σТ−. |
= 210 МПа, nТ =1.5, |
a = 1.2 м, b = 2.8 м, c = 1 м. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначення реакції опор |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑M A = 0; |
M 0 + qb(a + |
b |
) + RB (a + b) − |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F0 (a + b + c) = 0; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (a +b +c) −qb(a + |
b |
) − M |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RB = |
|
|
|
|
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a +b |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3qa(a +b +c) −qb(a + |
b |
) −2qa2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
=1.96q; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a +b |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∑M |
B |
= 0; |
M |
0 |
− R |
A |
(a + b) − q |
b2 |
− F c = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевірка ∑F y = 0 : RA + RB − qb − F = q(−1.16 + 2.8 +1.96 − 3 1.2) ≡ 0.
70