Изгиб

навантаження в перерізах балки виникає сумарний згинальний момент

(MxF + Mx ) . Робота двох сил визначиться як:

Порядок визначення переміщень за допомогою інтеграла МаксвеллаМора.

1.Прикладаємо зовнішнє навантаження, визначаємо опорні реакції, розбиваємо балку на ділянки, записуємо вирази (функції) згинаючого моменту MxF для кожної ділянки.

2.У точці, переміщення якої визначаємо, прикладаємо:

a)Одиничну силу при визначенні прогину (лінійного переміщення);

b)Одиничний момент при визначенні кутового переміщення.

Визначаємо опорні реакції й у такому ж порядку, як і для зовнішнього навантаження, на кожній ділянці записуємо вирази (функції) згинаючого

моменту Mx .

3.Підставляємо функції (вирази) MxF і Mx в інтеграл Максвелла-Мора та робимо відповідні обчислення.

41

4. Результат обчислень позитивний, якщо напрямок одиничного

навантаження, що прикладається, збігається з напрямком дійсного переміщення, і негативний, якщо напрямок одиничного навантаження, що прикладається, не збігається з напрямком дійсного переміщення.

Приклад 2. Консольна балка постійного поперечного перерізу (ЕIx=const) довжиною l навантажена на кінці зосередженою силою F(рис.3.4а). Визначити прогин VA та кут θA повороту на кінці консолі.

Рис. 3.4.

1.Запишемо функцію MxF = −Fz (рис.3.4а).

2. У точці A прикладаємо одиничну силу (рис.3.4б) та записуємо функцію Mx = −1 z .

42

4.Для визначення кутового переміщення у точці A

прикладаємо одиничний момент (рис.3.4в) та записуємо функцію

Результат обчислення прогину VA позитивний, тому що прикладена

одинична сила збігається з напрямком дійсного переміщення. Результат обчислення кута повороту θA негативний, тому що

прикладений одиничний момент по напрямку не збігається з дійсним напрямком кута повороту перерізу в точці A .

3.2.2Геометричний спосіб обчислення інтеграла Максвела-Мора. Спосіб перемножування епюр.

Рис. 3.5.

43

Правило Верещагіна. Використовуючи геометричну інтерпретацію визначення інтегралу як значення площі, інтеграл Мора для визначення переміщень у балках постійного перерізу можна обчислити за допомогою спеціальної операції над епюрами відповідних згинальних моментів.

В результаті одержимо:

де ωxF - площа вантажної (від зовнішнього навантаження) епюри MxF ;

MxC - ордината, узята з одиничної епюри Mx під центром ваги C

вантажної епюри.

Правило знаків. Якщо епюри, що перемножуються, лежать по одну сторону (обидві нагорі або внизу), добуток позитивний; якщо епюри, що перемножуються, лежать по різні сторони - добуток негативний.

Якщо епюра від зовнішнього навантаження кусочно-лінійна на ділянках, а одинична епюра завжди кусочно-лінійна, результат перемножування не залежить від порядку використання співмножників, тобто:

деωxF - площа епюри від зовнішнього навантаження; ωx - площа епюри від одиничного навантаження; MFC - ордината під центром ваги одиничної Mx

епюри, узята з епюри MxF від зовнішнього навантаження.

44

Якщо епюри MxF і Mx складаються з декількох ділянок, то перемножування здійснюється по ділянках, а результат підсумовується, тобто:

Відзначимо, що в розглянутих задачах епюри вантажних та одиничних згинальних моментів складаються з досить простих площ: прямокутник, трикутник, параболічний трикутник і т.д. У таблиці приведені площі ω та координати центрів ваги zc плоских фігур, що зустрічаються в епюрах.

При рішенні конкретних задач доцільно використовувати правило трапеції для перемножування лінійних епюр і правило СимпсонаКарнаухова для перемножування будь-яких епюр (у більшості випадків нелінійних).

45

Приклад 3. Для консольної балки, навантаженої зовнішніми силами, як показано на рис.3.7, визначити прогин та кут повороту на кінці консолі в перерізі A .

1.Визначаємо опорні реакції.

∑Fyi = 0 ; F −q 3a +R B = 0 R B = 2qa .

∑M Bi = 0 ; −F 6a +q 3a 3,5a −MB = 0 MB =1,5qa2 .

Перевірка:

∑MAi = −q 3a 2,5a −M + RB 6a −MB = qa2 (−7,5 −3 +12 −1,5) ≡ 0. 2.Записуємо вирази Qy і Mx , будуємо відповідні епюри.

0 ≤ z1 ≤ a : Q y = F = qa ; M x = F z1 = qa z1.

47

Тут на першій ділянці перемножування епюр виконано за правилом Верещагіна; на другій - Симпсона, на третій - трапеції. Знак мінус указує на те, що під дією зовнішнього навантаження переріз переміщується угору.

5.У точці A прикладаємо одиничний момент, будуємо епюру Mx =1.

Перемножуючи її по ділянках з вантажною епюрою, визначаємо кут повороту перерізу A.

Тут на першій ділянці перемножування виконане за правилом Верещагіна, на другій - Симпсона, на третій - трапеції. Результат обчислень позитивний, отже, напрямок кута повороту перерізу A збігається з напрямком одиничного моменту.

49