IDZ_V_matem_I_s_TM
.pdf19. A(2;2;3), B(3;1;3). |
20. |
A(0;7;3), B(4;7;−5) |
|
21. |
A(4;−3;2), B(1;2;3). |
22. |
A(5;1;1), B(6;2;1). |
23. |
A(0;4;2), B(3;6;−4). |
24. |
A(1;3;2), B(4;6;5). |
25. |
A(0;−2;1), B(2;0;3). |
26. A(2;−2;3), B(2;1;7) |
|
27. |
A(1;3;3), B(2;4;2). |
28. A(2;0 −1), B(4;2;0) |
|
29. |
A(1;3;−2), B(3;2;0). |
30. A(1;3;−1), B(3;1;0). |
|
.
.
.
Задание 7. Вычислите скалярное и векторное произведения векторов c1 = 2a −b и
c2 |
= −a +3b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
a{−2;1;1}, b{3;−2;4}. |
2. |
a{0;1;1}, b{−1;−3;0} |
|
|
|
|
|||
3. |
a{0;2;1}, b{2;1;−3} |
4. |
a{1;3;1}, b{3;1;−2} |
|
|
|
|
|||
5. |
a{2;−4;1}, b{3;1;−2} |
6. |
|
a{2;2;1}, b{−2;−3;0} |
|
|
|
|||
7. |
a{1;2;3}, b{0;0;−1}. |
8. |
a{5;2;−2}, b{3;3;4}. |
|
|
|
|
|||
9. |
a{1;0;−1}, b{−1;−3;0} |
10. |
a{1;0;−1}, b{−1;−3;0} |
|
|
|||||
11. a{−2;1;−1}, b{−1;3;0}. |
12. |
1 |
|
|
1 |
; |
3 |
|
||
|
|
a |
;1;−2 |
, b 1;− |
2 |
2 |
. |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
13. a{−1;−1;−1}, b{0;0;−1}.
15. a{1;0;−1}, b{0;3;−1}.
17. a{1;−1;0}, b{0;3;2}.
19. a{2;0;0}, b{−3;1;1}.
21. a{2;−1;3}, b{0;1;1}.
14. |
a{2;−1;4}, b{−1;0;0}. |
16. |
a{2;1;−1}, b{0;1;1}. |
18. |
a{2;1;0}, b{1;1;3}. |
20. |
a{2;1;−2}, b{−1;0;−1}. |
22.a{−1;0;−3}, b 1;0;− 23 .
23. |
a{1;−1;−1}, b{−2;3;−1}. |
24. |
a{−2;1;−2}, b{−1;0;3}. |
25. |
a{0;1;1}, b{−3;−1;1}. |
26. |
a{−2;1;2}, b{1;0;−1}. |
27. |
a{0;−1;−1}, b{1;2;−1} |
28. |
a{1;−1;0}, b{−2;1;0}. |
29. |
a{0;−1;−1}, b{1;−3;8}. |
30. |
a{0;1;1}, b{3;−1;0}. |
Задание 8.
1. |
|
|
|
|
А(7;3;-2), |
|
Вычислите проекцию вектора a ={−3;1;3} на направление вектора AB , где |
||||||
|
B(8;2;-2). |
|
|
= i + j +2k |
и b = 2i + j +k . |
|
2. |
Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам a |
|||||
3. |
При каком значении t |
векторы a ={6;0;12} и |
b |
={−8;13;t} |
будут |
взаимно |
перпендикулярны?
11
4.Докажите, что точки A(1;-1;1), B(1;3;1), C(4;3;1), D(4;-1;1) являются вершинами прямоугольника. Вычислите длину его диагоналей.
5.В прямоугольном треугольнике АВС углы при вершинах А и С равны 60 и 90 соответственно, а длина гипотенузы равна 2. Вычислите скалярное произведение векторов AC и AB +CB .
6.Даны точки А(0;-3;4), B(2;5;-1), C(-4;2;-2). Вычислите скалярное произведение векторов
3AB −2BC и CB + BA .
7.В треугольнике АВС заданы координаты вершин А(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Определите его внешний угол при вершине В.
8.Найдите координаты вектора p , коллинеарного вектору q ={3;−4;0}, если известно, что
вектор p образует осью 0x тупой угол и p =10.
9.Даны A(1;1-1), B(2;4;-1) и C(8;3;-1) – координаты вершин треугольника АВС. Выясните, каким он является: прямоугольным, остроугольным или тупоугольным.
10.Проверьте, будет ли треугольник АВС с вершинами в точках А(1;2;3), В(7;10;3), и С(-1;3;1) прямоугольным.
={4;−1;1} на перемещении s ={5;3;−2}.
12. |
Вычислите координаты вектора |
с , |
ортогонального |
|
|
векторам a = 2 j −k и |
||||
|
b = −i +2 j −3k и образующего тупой угол с осью 0у, если |
|
n |
|
= |
|
. |
|||
|
|
|
7 |
|||||||
|
|
|
||||||||
13. |
Найдите скалярное произведение векторов |
p = 2a −b и q = |
2b +a , если a = −i +3 j −7k |
|||||||
|
и b = 2i − j +5k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
Найдите угол между векторами a +b |
и a −b , если a =3i − j +2k |
и b = i + j −k . |
|||||||
15.Даны векторы a = mi +3 j +4k и b = 4i +mj −7k .При каком значении m векторы a и b перпендикулярны?
16. |
Найдите скалярное произведение векторов p = a −2b и q = 2a +b , если a = 2i −5 j −7k , |
|||||||||||||||
|
b =5i +2 j −5k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
Векторы a и b образуют угол |
π |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2, |
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
. Найдите длину вектора a −2b , если |
a |
|
b |
|
|||||||||||
18. |
При каком значении t векторы |
p = a +tb |
и q = a −tb будут взаимно перпендикулярны, |
|||||||||||||
|
если a = 6i +2 |
j −3k ,b =3i −4k. |
|
|
|
|
a |
=3i +10 j −5k. |
|
|
|
|
|
|||
19. |
Заданы точки |
A(−2;4;0), B(1;3;−5),C(0;−1;1) |
и |
вектор |
Вычислите |
|||||||||||
|
скалярное произведение векторов |
|
|
и a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2AB −3AC |
+2AC. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.Найдите координаты вектора p острый угол с осью 0x и p =3.
21.Найдите координаты вектора p , если он коллинеарен вектору a ={−4;3;2} и скалярное произведение его на вектор b ={−2;−3;3} равно 3.
22.Вычислите проекцию вектора p ={2;−1;2} на ось, образующую равные острые углы с координатными осями.
образуют угол 150 , a = 2, b =3. Вычислите a +b и a −b .a a }{
24.Вычислите работу, которую совершает сила f ={2;1;4} по перемещению материальной точки A(2;1;−2) в положение B(−1;−3;6) .
25.Вычислите проекцию вектора a ={5;2;5} на ось вектора b ={2;−1;2}.
12
26. |
Найдите скалярное произведение векторов (3a −2b ) |
|
и |
(5a −6b ), |
если |
|
a |
|
= 4, |
|
b |
|
= 6 и |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
угол между векторами a |
и b равен π3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
27. |
Вычислите |
проекцию |
вектора |
a ={−3;1;3} |
|
|
на |
направление |
вектора |
где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
AB , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A(7;3;−2), B(8;2;−2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
=3i |
+10 j −5k. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
28. |
Заданы |
|
|
точки |
A(−2;4;0), B(1;3;−5),C(0;−1;1) |
|
|
и вектор |
|
|
Вычислите |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
скалярное произведение векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(2AB |
−3CA) |
|
и (a +2AC). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2, |
|
=5, |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти работу силы f на перемещении |
s , если |
|
|
f |
s |
f |
^s= |
6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
30. |
Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах |
a |
+2b |
и |
a −3b , |
если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a = 6i +3 j −2k |
и b =3i |
−2 j +6k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задание 9. |
|
|
|
и b |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p , равного |
||||||||||||
1. |
Векторы a |
образуют угол 30o , |
|
|
|
= 6, |
|
|
=1. Найдите длину вектора |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
векторному произведению векторов (7 |
a −2b) |
|
и (2a +3b) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2. |
Сила |
f ={2;−4;5} приложена к |
точке |
A(4;−2;3). |
|
Определите |
момент |
этой |
силы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
относительно точки B (3;2;−1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a −b |
|
|
2b −a , |
|
|||||||||||||||||
3. |
Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах |
и |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
=3, |
|
b |
|
= 4, а угол между векторами a |
и b равен 150 . |
|
|
a ={0;−1;2} |
и b ={1;3;3} и |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Найдите |
|
|
|
вектор c , зная, что он перпендикулярен векторам |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
его скалярное произведение на вектор p =3i − j +2k равно 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5.Найдите длину высоты треугольника ABC , опущенной из вершины С на сторону АВ,
если A(2;3;4), B (4;3;2)C (1;1;1).
6. |
Даны векторы a ={3;1;−1},b ={−2;1;4}. Вычислите векторное произведение векторов b |
|||||||||||||||
|
и a −2i . |
|
|
|
|
(a +3b ) |
|
(3a +b ), если |
||||||||
7. |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах |
и |
||||||||||||||
8. |
|
a |
|
= |
|
b |
|
=1, |
а угол между векторами a и b |
равен 30 . |
|
|
|
a ={2;−1;5} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычислите |
площадь |
параллелограмма, |
построенного |
на |
векторах |
|
и |
|||||||||
|
b ={2;3;6} как на сторонах. |
|
|
|
и b =(1;−2;3) |
|
||||||||||
9. |
Найдите вектор c , зная, что он перпендикулярен векторам a =(2;3;−1) |
и |
||||||||||||||
|
скалярное произведение его на вектор p = 2i − j +k равно -6. |
|
|
и (a +b ), если |
||||||||||||
10. |
Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах (a −2b ) |
|||||||||||||||
11. |
|
a |
|
= |
|
b |
|
=1, |
а угол между векторами a и b |
равен 30 . |
|
|
|
a ={2;−1;5} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычислите |
площадь |
параллелограмма, |
построенного |
на |
векторах |
|
и |
|||||||||
|
b ={2;0;2} как на сторонах. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12. |
Найдите орт e , перпендикулярный векторам a ={1;−1;0},b ={2;1;−1}. |
|
|
|
||||||||||||
13
13. Вычислите |
векторное |
произведение |
векторов |
(4b −a),(2b +3a), |
если |
a = −i − j +3k ,b = 2i −7 j +k. |
|
|
|
|
|
14.Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам a ={3;−1;−1},b ={0;2;1}.
15.Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам a ={1;−1;−1},b = 2 j +k.
16.Заданы точки A(0;2;0), B (3;0;−4),C (3;0;0), D (−1;−1;−1). Вычислите векторное произведение векторов (AB −3BC) и (CD + AC).
17.Найдите вектор d , зная, что он перпендикулярен векторам a ={2;−3;1} и b ={1;−2;3} и
что его скалярное произведение на вектор p = i +2 j +7k равно 10.
18. Заданы точки A(1;0;−3), B (−2;1;−1),C (2;−1;0), D (3;−3;3). Найдите векторное произведение векторов (AB +3BC) и (DC − AC).
19.Найдите орт e , перпендикулярный векторам a ={2;0;−3},b ={3;−1;−1}.
20.Раскройте скобки и упростите выражение (2a +b )×(c −a)+(b +c )×(a +b ).
21.Раскройте скобки и упростите выражение (a +b +c )×c +(a +b +c )×b +(b −c )×a.
22. Вычислите |
площадь |
параллелограмма, построенного на |
векторах a и b , если |
a = p +4q ,b |
= 2 p −q, |
p = 7, q = 2, а угол между векторами p |
и q равен 30 . |
23.Раскройте скобки и упростите выражение i ×(j +k )− j ×(i +k )+k ×(i + j +k ).
24.Раскройте скобки и упростите выражение 2i ×(j k )+3 j ×(i k )+4k ×(i j ).
25. |
Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах |
2a +3b |
и |
a −2b , |
если |
||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
= 6, |
|
|
|
b |
|
=5 , а угол между векторами a |
и b равен |
60 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
26. |
|
При каких значениях α и β векторы 2i −α j +4k |
и βi −2 j +k |
коллинеарны? |
|
||||||||||||||||||
27. |
Вычислите площадь |
треугольника, построенного на векторах 2a −b |
и a +b |
если |
|||||||||||||||||||
|
a = i −2 |
j +3k ,b |
= −i |
− j +3k. |
построенного на векторах a −3b |
и 4a +b , |
|
||||||||||||||||
28. |
Вычислите площадь параллелограмма, |
если |
|||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
= |
|
b |
|
= 2 , а угол между векторами a и b равен 30 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
29. |
Вычислите площадь параллелограмма, |
построенного на векторах a +b |
и 2a −3b , |
если |
|||||||||||||||||||
|
a =3i + |
j −2k ,b |
= −2i − j +k . |
|
|
|
|
a |
= i + j −k и |
||||||||||||||
30. |
Найдите |
|
вектор |
c , |
если известно, |
что он ортогонален |
векторам |
||||||||||||||||
|
b = 4i − |
j +2k , и что скалярное произведение его на вектор p |
= −3i −2 j −k |
равно 3. |
|
||||||||||||||||||
Задание 10.
1.Лежат ли точки A(5;7;−2), B (3;1;−1),C (9;4 −4), D (1;5;0) в одной плоскости?
2.При каком значении k точки A(1;0;3), B (−1;3;4),C (1;2;1), D (k;2;5) лежат в одной
плоскости?
3. Вычислите объем треугольной пирамиды с вершинами в точках
A(0;0;1,), B (2;3;5),C (6;2;3), D (3;7;2).
14
4. |
Вычислите |
объем |
параллелепипеда, |
|
построенного |
на |
|
векторах |
|||
|
a = p −3q +r, |
b = 2 p +q −3r, |
c = p +2q +r , где |
p, q, r − |
взаимно |
перпендикулярные |
|||||
5. |
орты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислите |
объем |
треугольной |
пирамиды |
с |
вершинами |
в |
точках |
||||
|
A(0;0;2), B (2;3;5),C (6;2;3), D (3;7;2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Найдите |
объем |
параллелепипеда |
с |
вершинами |
|
в |
точках |
|||
|
A(2;2;2), B (4;3;3),C (4;5;4), D (5;5;6). |
a = i + j −mk ,b = j +i +(m +1)k ,c = i − j +mk |
|||||||||
7. |
При каком |
значении |
m |
векторы |
|||||||
|
компланарны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Лежат ли точки A(1;−2;2), B (1;4;0),C (−4;1;1), D (−5;−5;3) в одной плоскости?
9.Заданы точки A(1;2;−2), B (3;2;−1),C (0;1;−2), D (3;2;3). Найдите объем тетраэдра
ABCD .
10. Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD , если
A(5;2;0), B (2;5;0),C (1;2;4), D (−1;1;1).
11.Будут ли компланарны векторы a ={1;−2;−2},b ={−2;−1;−2},c ={0;−5;−6}?
12.Проверьте, лежат ли точки A(2;3;1), B (4;1;−2),C (6;3;7), D (7;5;−3) в одной плоскости.
13. |
Проверьте, |
лежат |
ли |
в |
одной |
плоскости |
точки |
с |
координатами |
||
|
A(1;1;1), B (2;3;1),C (3;2;1), D (5;9;8). |
|
|
|
|
|
|
||||
14. |
Найдите объем тетраэдра, построенного на векторах a ={1;2;2},b ={2;1;2},c ={4;8;9}. |
||||||||||
15. |
Найдите |
объем |
|
параллелепипеда, |
построенного |
на |
векторах |
||||
|
a ={6;3;4},b |
={−1;−2;−1},c ={2;1;2}. |
|
|
|
|
|
|
|||
16. |
Найдите |
объем |
|
тетраэдра, |
построенного |
на |
векторах |
||||
|
a ={−1;−2;−1},b ={4;3;6},c ={2;1;2}. |
|
|
|
|
|
|
||||
17. |
Какую тройку (левую |
или |
правую) |
образуют |
|
векторы |
AB, AC, AD , |
если |
|||
|
A(1;1;−1), B (2;3;1),C (3;2;1), D (5;9;8)? |
|
|
|
|
|
|
||||
18. |
Вычислите |
объем |
|
тетраэдра |
с |
вершинами |
|
в |
точках |
||
A(1;3;6), B (2;2;1),C (−1;0;1), D (−4;6;−3).
19.Проверьте, лежат ли точки A(5;2;0), B (2;5;0),C (1;2;4), D (−1;1;1) в одной плоскости.
20.Компланарны ли векторы a ={3;7;2},b ={−2;0;−1},c ={2;2;1}?
21.Проверьте, лежат ли точки A(−1;1;2), B (1;−1;0),C (0;−1;1), D (3;1;6) в одной плоскости?
22. Вычислите |
объем |
тетраэдра |
с |
вершинами |
в |
точках |
A(2;−1;−2), B (1;2;1),C (5;0;−6), D (−10;9;−7;).
23.Проверьте, лежат ли точки A(−1;2;1), B (0;1;5),C (1;2;−1), D (2;1;3) в одной плоскости.
24.Заданы точки A(1;0;1), B (2;3;5),C (6;2;3), D (3;4;2). Найдите объем тетраэдра ABCD .
25.Заданы точки A(1;4;0), B (−4;1;1),C (1;−2;−21), D (−5;−5;3). Проверьте, лежат ли они в одной плоскости.
26.Заданы точки A(0;0;1), B (2;3;5),C (6;2;3), D (3;7;2). Найдите объем тетраэдра ABCD .
27. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD , если
A(1;2;−2), B (−1;4;0),C (4;1;1), D (5;5;−3).
15
28. Проверьте, лежат ли точки |
A(−1;2;−1), B (−1;−4;0),C (4;−1;−1), D (2;5;−3) |
в одной |
|||||
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
29. Вычислите |
объем |
параллелепипеда, |
построенного |
на |
векторах |
||
a ={3;7;1},b {−1;−2;−1},c ={2;1;2}. |
|
|
|
||||
30. При |
каком |
значении |
m |
векторы a = i + j +mk ,b = − j +mi +k ,c = 2i + j +4k |
|||
компланарны? |
|
|
|
|
|
|
|
Задание 11. |
Напишите уравнения прямых, проходящих через точку M , одна из которых |
||||||
параллельна, а другая – перпендикулярна заданной прямой l . |
|
|
|||||
1.M (−2;1),l : 3x −2y +12 = 0. |
|
2.M (2;−1),l : x − y +1 = 0. |
|
|
|||
3.M (3;−3),l : x +2y −4 = 0. |
|
4.M (−1;4),l : 2x −5y +2 = 0. |
|
|
|||
5.M (−5;0),l : −x +2y −9 = 0. |
|
6.M (4;−1),l : x +4y −3 = 0. |
|
|
|||
7.M (1;−1),l : 2x +2y +1 = 0. |
|
8.M (2;0),l : −4x + y +2 = 0. |
|
|
|||
9.M (6;−1),l;2x −3y +4 = 0. |
|
10.M (1;−3),l : −3x − y +2 = 0. |
|
|
|||
11.M (1;1),l : x − y +10 = 0. |
|
12.M (3;−2),l : 2x −3y −2 = 0. |
|
|
|||
13.M (−1;1),l : x + y +2 = 0. |
|
14.M (2;2),l : 3x + y +4 = 0. |
|
|
|||
15.M (2;1),l : x +4y +1 = 0. |
|
16.M (−2;2),l : 4x + y −3 = 0. |
|
|
|||
17.M (3;−1),l : 3x − y +2 = 0. |
|
18.M (−2;−2),l : 2x +5y −2 = 0 . |
|
|
|||
19.M (1;−5),l :3x +3y +2 = 0. |
|
20.M (2;−3),l : −2x +5y −4 = 0 . |
|
|
|||
21.M (−3;−4),l : x −3y −5 = 0. |
|
22.M (5;1),l : −2x +5y −2 = 0. |
|
|
|||
23.M (−2;4),l : 4x +2 −7 = 0. |
|
24.M (1;6),l : −2x + y = 0. |
|
|
|||
25.M (0;−3),l : 2x −5y +21 = 0 . |
|
26.M (2;4),l : −x −5y −2 = 0. |
|
|
|||
27.M (−4;4),l : x +5y +13 = 0. |
|
28.M (−3;0),l : 4x − y +13 = 0 . |
|
|
|||
29.M (3;3),l : −4x + y −2 = 0. |
|
30.M (1;4),l : −2x +5y −2 = 0. |
|
|
|||
Задание 12. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку M и через точку пересечения прямых l1, l2 .
1.M (1;−2); l1 : 2x − y −1 = 0; l2 : x +3y −4 = 0 .
2.M (−4; 0); l1 : x + y −2 = 0; l2 : x −3y +2 = 0 .
3.M (1;−1); l1 : 7x −2y −5 = 0; l2 : x −5y +4 = 0 .
4.M (4; 3); l1 :5x −2y −1 = 0; l2 : 2x −3y +4 = 0 .
5.M (3;3); l1 : x −2y −1 = 0; l2 : x −7 y +4 = 0 .
6.M (4;4); l1 : 2x +2y −2 = 0; l2 : x −3y +5 = 0.
7.M (0;−3); l1 : x +4y −3 = 0; l2 : x +5y +4 = 0.
8.M (2;−2); l1 :3x +2y −1 = 0; l2 : x −3y −4 = 0 .
9.M (−2;0); l1 : 2x +3y +5 = 0; l2 : − x +4y +3 = 0 .
10.M (1;−2); l1 : 2x + y +6 = 0; l2 :3x +5y −15 = 0 .
16
11.M (2;1); l1 : 2x − y +3 = 0; l2 :3x +5y +11 = 0 .
12.M (−1;−3); l1 :3x +2y −5 = 0; l2 : x −2y +1 = 0 .
13.M (−1;1); l1 :3x +2y −5 = 0; l2 : x −2y +1 = 0 .
14.M (2;−3); l1 : x + y −2 = 0; l2 : x −2y −1 = 0 .
15.M (4;0); l1 : x +2y −5 = 0; l2 : x −2y +2 = 0 .
16.M (3;−2); l1 : x −2y +3 = 0; l2 :3x − y −1 = 0.
17.M (0;1); l1 : x +3y −7 = 0; l2 : − x + y −1 = 0 .
18.M (1;0); l1 : 4x − y −5 = 0; l2 : x +2y −8 = 0 .
19.M (−1;−4); l1 : 2x − y −5 = 0; l2 : x + y −7 = 0 .
20.M (2;−4); l1 :3x − y +10 = 0; l2 : − x − y −2 = 0 .
21.M (2;−5); l1 :3x −4y −5 = 0; l2 : 4x +3y −15 = 0 .
22.M (2;1); l1 : −2x + y −1 = 0; l2 : 2y +1 = 0 .
23.M (1;−4); l1 : −2x +2y −11 = 0; l2 : 2x +3 = 0 .
24.M (−2;4); l1 : − x +2y −1 = 0; l2 : −7x −4y +11 = 0 .
25.M (2;3); l1 : − x + y −4 = 0; l2 : −7x −4y −6 = 0 .
26.M (1;−4); l1 :3x −2y −8 = 0; l2 : −3x +4y +4 = 0 .
27.M (3;2); l1 : −3x +4y +1 = 0; l2 : 7x −9y −3 = 0 .
28.M (−3;3); l1 : −3x +4y +14 = 0; l2 : 7x −4y −6 = 0 .
29.M (1;7); l1 : −2x +5y +9 = 0; l2 :3x −4y −3 = 0 .
30.M (−1;5); l1 :5x +3y −1 = 0; l2 : 4x +5y +7 = 0 .
Задание 13. В треугольнике ABC составьте уравнения:
1)стороны BC ;
2)высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ;
3)медианы, проведенной из вершины C .
1. |
A(−3; 3), B (5;1), C (6; −2). |
2. |
A(2; −1), B (4; 5), C (−3; 2). |
3. |
A(2;0), B (5; 3), C (3; 7). |
4. A(−3; 3), B (5;1), C (6; −2). |
|
5. |
A(2;1), B (−1; −1), C (3; 2). |
6. |
A(0;1), B (−2; 2), C (3; −2). |
7. |
A(−2; −1), B (1;1), C (4; 0). |
8. |
A(3; −1), B (−3;1), C (1; 4). |
9. |
A(4; −2), B (1; 6), C (−3;1). |
10. A(4; 2), B (−1; 3), C (1; −2). |
|
11. |
A(0; 4), B (−3; −2), C (0;1). |
12. A(2; 0), B (−2;1), C (1; −1). |
|
13. |
A(−1;1), B (1; −2), C (3;1). |
14. |
A(1;1), B (−2; −3), C (2; 0). |
15. |
A(2; 4), B (1;1), C (4; 2). |
16. |
A(3; 2), B (−1; 3), C (1; −2). |
17. |
A(3; 4), B (2;1), C (5; 2). |
18. |
A(5; 4), B (4;1), C (7; 2). |
19. |
A(2; 2), B (1; −1), C (4; 0). |
20. |
A(2;1), B (1; −2), C (4; −1). |
21. |
A(2; 7), B (1; 4), C (4; 5). |
22. |
A(2; 0), B (1; −3), C (4; −2). |
23. |
A(2; 6), B (1; 3), C (4; 4). |
24. |
A(−1; 0), B (1; 5), C (4; −3). |
17
25. |
A(2; 5), B (1; 2), C (4; 3). |
|
26. A(−3; −2), B (2; 2), C (4; −1). |
27. |
A(−2; 2), B (1; −1), C (4;1). |
28. |
A(2; 7), B (−3; −3), C (3; −1). |
29. |
A(1; −4), B (3; 2), C (−3;1). |
30. |
A(2; 5), B (1; 2), C (4; 3). |
Задание 14. Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и постройте ее.
1.4x2 + y2 −8x +4y = 0.
2.9x2 −4y2 +54x +8y +41 = 0.
3.2x2 +3y2 +12x −6y +21 = 0.
4.4x2 − y2 +8x −2y +3 = 0.
5.9x2 +16y2 +36x −64y −44 = 0.
6.4x2 −25y2 +8x −10y +4 = 0.
7.9x2 +4y2 +36x −8y +36 = 0. 8. x2 −4y2 +10x +24y −7 = 0.
9.4x2 +25y2 −8x +100y +4 = 0. 10. x2 −4y2 +6x +8y +5 = 0.
11.2x2 +3y2 +8x −6y +11 = 0.
12.9x2 −4y2 +36x +8y +68 = 0.
13.4x2 +9y2 −32x +36y +64 = 0.
14.4x2 − y2 −8x −4y −16 = 0.
15.9x2 +4y2 +18x −8y +49 = 0.
16.4x2 − y2 +16x −2y +15 = 0. 17. x2 +25y2 +4x −150y +204 = 0.
18.4x2 −9y2 +16x +54y −101 = 0. 19.3x2 +2y2 +12x −16y +44 = 0.
20.9x2 −16y2 −36x −64y −172 = 0 .
21.4x2 +9y2 +32x −16y +37 = 0. 22.9x2 −4y2 −18x −16y −7 = 0. 23.4x2 + y2 −8x +4y +24 = 0. 24.4x2 − y2 −16x −6y +11 = 0. 25. x2 +4y2 +10x −24y +57 = 0.
18
26. x2 −4y2 +6x +8y +21 = 0. 27.4x2 +9y2 +32x −18y +109 = 0.
28.5x2 +3y2 −10x +12y +17 = 0.
29.9x2 −16y2 −54x −64y −127 = 0
30.4x2 +9y2 −40x +36y +100 = 0.
Задание 15. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку P и параллельной плоскости α .
1. |
P (2;1;1), α : 3x + y −2z −1 = 0 . |
2. |
P (2;1;3), α : x −4y +3z −3 = 0 . |
|||||
3. |
P (1;3;2), α : x + y − z −3 = 0. |
4. |
P (1;0;−1), α : |
2x + y −5z −1 = 0 . |
||||
5. |
P (3;−1;1), α : 3x + y −2z +1 = 0 . |
6. |
P (0;5;7), α : |
3x + y −2z −1 = 0 . |
||||
7. |
P (2;1;0), α : x + y −2z = 0 . |
8. |
P (3;2;1), α : x + y − z −1 = 0 . |
|||||
9. |
P (−3;4;1), α : 2x − y − z −1 = 0 . |
10. |
P (−1;1;1), α : 5y −4z +2 = 0 . |
|||||
11. |
P (2;1;2), α : x + y −2z = 0 . |
12. |
P (3;−4;1), α : x + y − z −1 = 0 . |
|||||
13. |
P (1;1;1), α : x + y +2z −3 = 0 . |
14. |
P (−6;1;1), α : x +3y −6 = 0 . |
|||||
15. |
P (0;2;1), α : x + y −2z −5 = 0 . |
16. |
P (5;2;−1), α : 3x − y + z −4 = 0 . |
|||||
17. |
P (1;−2;1), α : x −3y − z +7 = 0 . |
18. |
P (3;2;1), α : x + y − z −1 = 0 . |
|||||
19. |
P (3;2;1), α : 2x − y − z +2 = 0 . |
20. |
P (1;−3;1), α : x +2y − z +4 = 0 . |
|||||
21. |
P (0;1;1), α : 4x − y − z −6 = 0 . |
22. |
P (0;2;2), α : x −5y + z +1 = 0 . |
|||||
23. |
P (3;0;2), α : x +3y − z +2 = 0 . |
24. |
P (3;2;−1), α : −x − y + z +7 = 0 . |
|||||
25. |
P (2;−2;1), α : −x − y +5z = 0 . |
26. |
P (2;3;0), α : x − y +7z +4 = 0 . |
|||||
27. |
P (5;−2;1), α : x + y +4z +1 = 0. |
28. |
P (3;4;1), α : x −5y + z +1 = 0 . |
|||||
29. |
P (3;−4;1), α : |
2x + y − z +3 = 0 . |
30. |
P (0;1;−1), α : |
4x − y − z −7 = 0 . |
|||
Задание 16. Найдите расстояние от точки M до плоскости α . |
||||||||
1. |
M (1;0;−3), α : |
2x − y − z =1. |
2. |
M (1;2;−1), α : |
2x +3y −6z = 2. |
|||
3. |
M (1;−3;1), α : |
2x + y − z = 2 . |
4. |
M (3;−1;0), α : |
x +2y − z = 4 . |
|||
5. |
M (2;1;−4), α : |
5x + y −7z = 2 . |
6. |
M (0;−2;1), α : |
2x − y +2z =1. |
|||
7. |
M (1;2;−4), α : |
2x + y + z =5 . |
8. |
M (4;2;−1), α : |
2x − y − z =1. |
|||
9. |
M (−3;1;−2), α : −3x − y +2z =1. |
10. |
M (1;−1;2), α : 4x +4y −2z =3 . |
|||||
19
11. |
M (2;−2;1), α : |
x + y − z =3. |
12. |
M (1;−1;−1), α : 6x +2y −3z = 2. |
|
13. |
P (−2;1;3), α : |
4x + y − z =1. |
14. |
M (1;1;1), α : 2x +2y + z = 4. |
|
15. |
M (2;−1;−1), α : 2x + y − z =5. |
16. |
M (2;3;−3), α : |
3x −2y +6z =3 . |
|
17. |
M (4;0;1), α : 2x + y −2z =3. |
18. |
M (1;3;−4), α : |
3x −5y +4z = 0 . |
|
19. |
M (0;−3;4), α : x + y − z = 4 . |
20. |
M (0;3;6), α : 2x −3y −6z = 2 . |
||
21. |
M (5;1;−2), α : |
3x −4y −5z = 2 . |
22. |
M (4;0;−4), α : |
2x −2y +2z =1. |
23. |
M (3;1;−3), α : 3x −3y −3z = 7 . |
24. |
M (3;0;2), α : x −2y −2z = 4 . |
||
25. |
M (3;1;−4), α : |
2x −4y +5z =3. |
26. |
M (1;5;−1), α : x −2y −2z = 4 . |
|
27. |
M (6;1;−1), α : x − y −5z =3 . |
28. |
M (3;2;−1), α : x + y + z = 7 . |
||
29. |
M (−1;4;−1), α : 2x −2y + z =5 . |
30. |
M (1;0;3), α : 4x −2y −6z =5. |
||
Задание 17. Найдите угол между плоскостями α1, α2 .
1.α1 : − x +2y − z +1 = 0; α2 : y +3z −1 = 0 .
2.α1 : x + y −2z +4 = 0; α2 :2x − y + z −3 = 0 .
3.α1 : − x +2y − z +1 = 0; α2 :2x − y +3z −1 = 0 .
4.α1 : 2x + y −2z +3 = 0; α2 :x + y +6 = 0 .
5.α1 : −3x +4y −7 = 0; α2 :x + z −5 = 0 .
6.α1 : 3x −2y −4z +5 = 0; α2 :2y − z −3 = 0 .
7.α1 : x +2y −5z +2 = 0; α2 :2x +4y +2z −1 = 0 .
8.α1 : 3x +4y −7 = 0; α2 :2x + y +2z −1 = 0 .
9.α1 : x +2y − z +1 = 0; α2 :−2x −4y +2z −7 = 0 .
10.α1 : x +2y +3z +2 = 0; α2 :2x − y −9 = 0 .
11.α1 : 2x − y +2z −7 = 0; α2 :3x +4y − z −1 = 0.
12.α1 : x +2y +3z = 0; α2 :2x −4y +2z −5 = 0 .
13.α1 : x −2y − z −2 = 0; α2 :2x − y +2z −4 = 0 .
14.α1 : x −2y −2z +3 = 0; α2 : 4x −7z −5 = 0 .
15.α1 : x −2y + z −2 = 0; α2 : x − y − z +3 = 0 .
16.α1 : x −2y +2z −8 = 0; α2 :x + z −6 = 0 .
17.α1 : x +2y −5z −3 = 0; α2 :2x +4y +2z = 0 .
18.α1 : x −2y −4z −2 = 0; α2 :2y − z −3 = 0.
19.α1 : 2x + y +4z −1 = 0; α2 :x + y −2 = 0 .
20.α1 : 3x +2y − z = 0; α2 : − x −4y −3z −4 = 0 .
21.α1 : 2x + y +2z −5 = 0; α2 : −2x +4y − z +1 = 0 .
22.α1 : −2x +4y +3 = 0; α2 : − x +2z −4 = 0.
23.α1 : 2x − y −3z −2 = 0; α2 : − x + y −7 = 0 .
20