IDZ_V.matem._I.s_TM
.pdf
.
.
.
.
.
Задание 7. Вычислите скалярное и векторное произведения векторов 
и
.
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
. |
|
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. 
|
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
Задание 8. |
|
|
|
|
|
1. |
Вычислите проекцию вектора |
на направление вектора |
, где А(7;3;-2), |
||
|
B(8;2;-2). |
|
|
|
|
2. |
Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам |
и |
. |
||
3. |
При каком значении t |
векторы |
и |
будут |
взаимно |
|
перпендикулярны? |
|
|
|
|
4.Докажите, что точки A(1;-1;1), B(1;3;1), C(4;3;1), D(4;-1;1) являются вершинами прямоугольника. Вычислите длину его диагоналей.
5.В прямоугольном треугольнике АВС углы при вершинах А и С равны 60 и 
соответственно, а длина гипотенузы равна 2. Вычислите скалярное произведение векторов 
и 
.
6.Даны точки А(0;-3;4), B(2;5;-1), C(-4;2;-2). Вычислите скалярное произведение векторов 
и 
.
7.В треугольнике АВС заданы координаты вершин А(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Определите его внешний угол при вершине В.
8.Найдите координаты вектора , коллинеарного вектору 
, если известно, что
вектор образует осью |
тупой угол и |
9.Даны A(1;1-1), B(2;4;-1) и C(8;3;-1) – координаты вершин треугольника АВС. Выясните, каким он является: прямоугольным, остроугольным или тупоугольным.
10.Проверьте, будет ли треугольник АВС с вершинами в |
точках А(1;2;3), |
В(7;10;3), и |
|||||||
С(-1;3;1) прямоугольным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найдите работу силы |
на перемещении |
. |
|
|
|
||||
12. |
вектора |
, ортогонального |
|
векторам |
и |
||||
Вычислите координаты |
|
||||||||
и образующего тупой угол с осью 0у, если |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|||||||
13.Найдите скалярное произведение векторов 
и 
, если 
и 
.
14.Найдите угол между векторами 
и 
, если 
и 
.
15. Даны векторы |
и |
.При каком значении векторы и |
перпендикулярны? |
|
|
16.Найдите скалярное произведение векторов 
и 
, если 
, 
.
17. |
Векторы |
и образуют угол |
|
|
. Найдите длину вектора |
, если |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При каком значении t векторы |
|
|
и |
будут взаимно перпендикулярны, |
||||||||||||
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19.Заданы |
точки |
|
|
|
|
|
|
|
и |
вектор |
|
|
Вычислите |
|||
|
скалярное произведение векторов |
и |
|
|
|
|
|
|
||||||||
20. |
Найдите координаты вектора |
|
, если он коллинеарен вектору |
|
, составляет |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21. |
острый угол с осью |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдите координаты вектора |
, если он коллинеарен вектору |
|
|
и скалярное |
||||||||||||
|
произведение его на вектор |
|
|
равно 3. |
|
|
|
|
|
|
||||||
22.Вычислите проекцию вектора 
на ось, образующую равные острые углы с координатными осями.
23. Векторы и образуют угол |
, |
|
|
|
|
|
|
Вычислите |
|
|
|
и |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24.Вычислите работу, которую совершает сила 
по перемещению материальной точки 
в положение 
.
25. |
Вычислите проекцию вектора |
|
|
на ось вектора |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдите скалярное произведение векторов |
и |
, если |
|
|
|
|
|
|
и |
|||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угол между векторами |
и |
равен . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27. |
вектора |
на направление |
вектора |
|
|
, где |
||||||||
|
Вычислите проекцию |
|
|
|||||||||||
28.Заданы точки 
и вектор 
Вычислите скалярное произведение векторов 
и 
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти работу силы на перемещении |
|
, если |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
30.Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах |
|
и |
, если |
|||||||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Векторы |
и |
образуют угол |
, |
|
|
|
|
|
Найдите длину вектора |
, равного |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
векторному произведению векторов |
|
|
|
и |
. |
|
|
|
||||||
2. |
Сила |
|
|
приложена к |
точке |
. Определите |
момент |
этой |
силы |
||
|
относительно точки |
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Вычислите площадь треугольника, |
построенного на векторах |
и |
, |
если |
||||||
4. |
|
|
|
|
|
а угол между векторами и равен |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдите вектор , зная, что он перпендикулярен векторам |
и |
|
и |
||||||||
|
его скалярное произведение на вектор |
равно 8. |
|
|
|
||||||
5.Найдите длину высоты треугольника 
, опущенной из вершины С на сторону АВ,
если 
.
6. |
Даны векторы |
|
Вычислите векторное произведение векторов |
|||||||||||
|
и |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах |
и |
, |
если |
||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
, а угол между векторами |
и |
равен |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
как на сторонах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Найдите вектор , зная, что он перпендикулярен векторам |
и |
|
и |
||||||||||
|
скалярное произведение его на вектор |
|
равно -6. |
|
|
|
||||||||
10. |
Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах |
и |
, |
если |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
, а угол между векторами |
и |
равен |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11.Вычислите |
площадь параллелограмма, |
построенного на векторах |
|
|
и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
как на сторонах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
Найдите орт |
, перпендикулярный векторам |
|
|
|
|
||||||||
|
13. |
|
|
|
векторное |
произведение |
векторов |
, |
если |
|||||
|
Вычислите |
|||||||||||||
14. |
Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам |
|
. |
|
||||||||||
15. |
Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам |
|
|
|
||||||||||
16. |
|
|
|
точки |
|
|
|
Вычислите |
векторное |
|||||
|
Заданы |
|
|
|
||||||||||
|
произведение векторов |
|
и |
|
. |
|
|
|
||||||
17. |
Найдите вектор , зная, что он перпендикулярен векторам |
и |
|
и |
||||||||||
|
что его скалярное произведение на вектор |
|
равно 10. |
|
|
|
||||||||
18. |
|
|
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите |
векторное |
||||||
|
Заданы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
произведение векторов |
|
|
|
|
и |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19. |
Найдите орт |
, перпендикулярный векторам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
20. |
Раскройте скобки и упростите выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
21. |
Раскройте скобки и упростите выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
22.Вычислите |
площадь |
параллелограмма, построенного |
на |
векторах |
и |
, |
если |
||||||||||||||||||
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, а угол между векторами |
и |
равен |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Раскройте скобки и упростите выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
24. |
Раскройте скобки и упростите выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
25. |
Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах |
|
и |
, |
если |
||||||||||||||||||||
26. |
|
|
|
|
|
|
, а угол между векторами |
и |
равен |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
При каких значениях |
|
и |
|
|
векторы |
|
|
и |
|
|
коллинеарны? |
|
|||||||||||||
27.Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах |
|
и |
|
если |
|||||||||||||||||||||
28. |
Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
и |
, если |
|||||||||||||||||||||
29. |
|
|
|
|
|
, а угол между векторами |
и |
равен |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
и |
, если |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30.Найдите |
вектор , |
если |
известно, |
что |
он |
ортогонален |
векторам |
|
|
и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, и что скалярное произведение его на вектор |
|
|
равно 3. |
|||||||||||||||
Задание 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Лежат ли точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в одной плоскости? |
|
|
||||||||||
2. |
При каком |
значении |
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|
лежат в |
одной |
||||||||||||
|
плоскости? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3Вычислите. |
объем |
|
треугольной |
пирамиды |
с |
вершинами |
в |
точках |
|||||||||||||||||
|
Вычислите4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
объем |
|
|
параллелепипеда, |
построенного |
на |
векторах |
||||||||||||||||||
|
орты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
|
|
взаимно перпендикулярные |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5Вычислите. |
объем |
|
треугольной |
пирамиды |
с |
вершинами |
в |
точках |
|||||||||||||||||
.
|
Найдите6. |
|
|
объем |
параллелепипеда |
с |
вершинами |
в |
точках |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
7.При каком |
значении |
|
векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
компланарны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Лежат ли точки |
|
|
|
|
|
|
в одной плоскости? |
|
||||||
9. |
Заданы |
точки |
|
|
|
|
|
|
. Найдите объем |
тетраэдра |
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
объем |
параллелепипеда, построенного |
на |
векторах |
|
, |
если |
||||||||
|
Найдите |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
11. |
Будут ли компланарны векторы |
|
|
|
|
|
? |
|
|
||||||
12. |
Проверьте, лежат ли точки |
|
|
|
|
|
в одной плоскости. |
||||||||
13Проверьте. |
, |
лежат |
ли |
в |
одной |
плоскости |
точки |
с |
координатами |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
Найдите объем тетраэдра, построенного на векторах |
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
Найдите15. |
|
|
объем |
параллелепипеда, |
построенного |
на |
векторах |
|||||||
|
Найдите16. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объем |
|
тетраэдра, |
построенного |
на |
векторах |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
17. |
тройку |
(левую |
или |
правую) |
образуют |
векторы |
|
|
, |
если |
|||||
|
Какую |
|
|
||||||||||||
|
Вычислите18. |
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
объем |
|
тетраэдра |
с |
вершинами |
в |
|
точках |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
19. |
Проверьте, лежат ли точки |
|
|
|
|
|
в одной плоскости. |
||||||||
20. |
Компланарны ли векторы |
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|||||
21. |
Проверьте, лежат ли точки |
|
|
|
|
|
в одной плоскости? |
||||||||
|
Вычислите22. |
|
объем |
|
тетраэдра |
с |
вершинами |
в |
|
точках |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
23. |
Проверьте, лежат ли точки |
|
|
|
|
|
в одной плоскости. |
||||||||
24. |
Заданы точки |
|
|
|
|
|
|
. Найдите объем тетраэдра |
. |
||||||
25. |
Заданы точки |
|
|
|
|
|
|
. Проверьте, лежат ли они в |
|||||||
|
одной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
26. |
Заданы точки |
|
|
|
|
|
|
. Найдите объем тетраэдра |
. |
||||||
27.Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах |
|
, |
если |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
28.Проверьте, лежат ли точки |
|
|
в одной |
||
плоскости. |
|
|
|
|
|
Вычислите29. |
объем |
параллелепипеда, |
построенного |
на |
векторах |
|
|
. |
|
|
|
30. |
значении |
векторы |
|
|
|
При каком |
|
|
|
||
компланарны?
Задание 11. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку 
, одна из которых параллельна, а другая – перпендикулярна заданной прямой 
.
.
.
.
.
Задание 12. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку 
и через точку пересечения прямых 
.
1. |
. |
2. |
. |
3. |
. |
4. |
. |
5. |
. |
6. |
. |
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26. 
.
27. 
.
28. 
.
29. 
.
30. 
.
Задание 13. В треугольнике
составьте уравнения:
1)стороны 
;
2)высоты, опущенной из вершины 
на сторону 
;
3)медианы, проведенной из вершины 
.
1. |
. |
2. |
. |
3. |
. |
4. |
. |
5. |
. |
6. |
. |
7. |
. |
9. |
. |
11. |
. |
13. |
. |
15. |
. |
17. |
. |
19. |
. |
21. |
. |
23. |
. |
25. |
. |
27. |
. |
29. |
. |
8. |
. |
10. |
. |
12. |
. |
14. |
. |
16. |
. |
18. |
. |
20. |
. |
22. |
. |
24. |
. |
26. |
. |
28. |
. |
30. |
. |
Задание 14. Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и постройте ее.
.
Задание 15. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку 
и параллельной плоскости
.
1. |
, |
: |
|
. |
2. |
, |
: |
. |
3. |
, |
: |
. |
|
4. |
, |
: |
. |
5. |
, |
: |
|
. |
6. |
, |
: |
. |
7. |
, |
: |
. |
|
8. |
, |
: |
. |
9. |
, |
: |
|
. |
10. |
, |
: |
. |
11. |
, |
: |
. |
|
12. |
, |
: |
. |
13. |
, |
: |
|
. |
14. |
, |
: |
. |
15. |
, |
: |
|
. |
16. |
, |
: |
. |
17. |
, |
|
: |
. |
18. |
, |
: |
. |