00 Учебное пособие по курсу биометрия

Опыт – это отдельная экспериментальная часть. План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов. Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (n) независимых переменных (Х1, Х2, …, Хn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости - Y=F(Х1, Х2, …, Хn), о которой мы имеем лишь общее представление. Величина Y – называется ―отклик‖, а сама зависимость Y=F(Х1,Х2, …, Хn) – ―функция отклика‖.

Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y. В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода - оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента.

Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые

можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть одно-

значными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию), их ранжирование и исключить малозначащие факторы.

Диапазоны изменения факторов задают область определения Y. Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, при n >3 - гиперкуб.

При выборе диапазонов изменения факторов нужно учитывать их совместимость, т.е. контролировать, чтобы в этих диапазонах любые сочетания фак-

81

торов были бы реализуемы в опытах и не приводили бы к абсурду. Для каждого из факторов указывают граничные значения

Ximin≤ Xi≤ Ximax, i=1,... n.

Регрессионный анализ функции отклика предназначен для получения ее математической модели в виде уравнения регрессии

Y=F(X1, X2,...,Xn; B1, B2,…, Bm) +e,

где В1, …, Вm – некоторые коэффициенты; е – погрешность.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);

планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ – Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране - в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и др.

В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных пакетах, широко представленных на рынке программных про-

дуктов, например: StatGrapfics, Statistica, SPSS, SYSTAT и др.

Представление результатов экспериментов. При использовании мето-

дов планирования эксперимента необходимо найти ответы на 4 вопроса:

Какие сочетания факторов и сколько таких сочетаний необходимо взять для определения функции отклика?

Как найти коэффициенты регрессии В0, В1, …, Bm?

Как оценить точность представления функции отклика?

Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений Y?

Геометрическое представление функции отклика в факторном простран-

стве Х1, Х2, …, Хn называется поверхностью отклика. Если исследуется влияние на Y лишь одного фактора Х1, то нахождение функции отклика - достаточно простая задача (рис. 32).

Рис. 32. Поверхность отклика одной переменной.

82

Таблица 15. Вариация параметров определяющих мощность работы асинхронного двигателя

торые называются параметрами состояния; wi - возмущающие воздействия.

Предполагается, что возмущающие воздействия не поддаются контролю и либо являются случайными, либо меняются во времени. Каждый фактор xi имеет область определения, которая должна быть установлена до проведения эксперимента. Комбинацию факторов можно представить как точку в многомерном пространстве, характеризующую состояние системы.

На практике целью многофакторного эксперимента является установление

зависимости y f x1 , x2 , ... xk , описывающей поведение объекта. Чаще всего функция строится в виде линейной зависимости

Целью эксперимента может быть, например, построение зависимости (6.2.1) при минимальном количестве измерений значений управляющих параметров xi.

На первом этапе планирования эксперимента необходимо выбрать область определения факторов xi. Выбор этой области производится исходя из априорной информации. Значения xi называются уровнями управляющего параметра.

Если выбрана линейная модель (6.2.2), то для построения аппроксимирую-

щей функции достаточно выбрать основной уровень и интервал варьирования

управляющего параметра xi.

84

Для линейной модели интервал варьирования можно определить как,

Для упрощения планирования эксперимента принято вместо реальных (натуральных) уровней xi использовать кодированные значения факторов. Для факторов с непрерывной областью определения это можно сделать при помощи следующего преобразования

где x i- натуральное значение фактора; Ii - интервал варьирования; xio - основной уровень; xi - кодированное значение.

В результате xi принимает значения на границах xi = ±1, на основном уровне xi =0. Основная проблема состоит в выборе области варьирования, поскольку эта задача является неформализованной.

Рассмотрим полный факторный эксперимент на примере линейной модели (6.2.2). Если число факторов k , то для проведения полного факторного экспери-

85

xij2 N

2)условие нормировки i 1 , то есть сумма квадратов элементов

каждого столбца равна числу опытов. Первые два свойства относятся к построению отдельных столбцов матрицыN

jn .

4)Ротатабельность. Это означает, что точки (значения факторов) в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания выходного параметра должна быть одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента (нулевого уровня) и не зависеть от направления.

Планирование экспериментов при помощи существующего программного обеспечения STATISTICA

Модуль Планирование экспериментов STATISTICA DOE предлагает ис-

черпывающий набор процедур для построения и анализа экспериментальных планов, используемых в промышленных исследованиях. Вниманию пользователя предлагаются 2**(k-p) факторные планы с блоками (для планов, содержащих более 100 факторов, имеются высокоэффективные алгоритмы для нахождения планов с минимальной аберрацией и максимально несмешанных планов, в которых пользователь может задавать эффекты взаимодействия, которые должны быть несмешанными), отсеивающие планы (для более 100 факторов предусмотрены планы Плакетта-Бермана), 3**(k-p) факторные планы с блоками (в том

86

числе планы Бокса-Бенкена), смешанные планы, (малые) центральные композиционные планы (или поверхности отклика), планы на Латинских квадратах, робастные планы Тагучи и ортогональные массивы, планы для смесей и тернарных поверхностей, вершины и центроиды для поверхностей и смесей с ограничениями, D- и A-оптимальные планы для факторных планов, поверхностей и смесей. Ниже представлено подробное описание доступных планов и методов их построения и анализа.

Таким образом, STATISTICA незаменима в сложных исследованиях, где требуется сочетание творческих и новаторских путей, в тех случаях, когда зависимые исследуемые переменные являются категориальными, или когда эффект предсказанных переменных не является линейным.

Убедившись в возможности реализации необходимого количества измерений в данном планируемом эксперименте, в ходе выполнения 1÷3 этапов построения его модели (табл. 1), можно приступать к проведению основных опытов. Моделирование основного эксперимента в ходе проведения поисковых опытов позволяет исследователю получить при завершении работы достоверный научный результат.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

1.Какова цель проведения поисковых опытов?

2.Из каких соображений устанавливается доверительная вероятность?

3.Какие факторы влияют на выбор уровня надежности?

4.От чего зависит количество значимых цифр в числе, с которым производятся требуемые операции?

5.Как определить доверительный интервал для случайных и систематических погрешностей?

6.Какие существуют особенности соотношения доверительных интервалов для случайных и систематических погрешностей?

7.Из каких составляющих состоит общая величина погрешности эксперимента?

8.Для какой цели производится оценка минимального количества измерений для одной выборки?

9.В чем заключается основное отличие объема выборок полученных при качественном и количественом методах проведения статистического анализа?

10.Какова необходимость оценки минимального количества измерений для двух сравниваемых выборок?

11.Напишите формулы приблизительной и точной оценки величины среднего арифметического и среднего квадратического отклонения.

12.Обоснуйте необходимость проведения 1÷3 этапов моделирования эксперимента.

87

Глава 4. Анализ экспериментальных данных

При изучении и анализе сложных и многообразных причинноследственных отношений между объектами и явлениями биотехнологу приходится учитывать целый комплекс внешних и внутренних факторов, от которых в конечном итоге зависят уровень и ход наблюдаемых процессов, те или иные биологические свойства живых организмов, их динамика и разнообразие. При этом зачастую важно оценивать не только роль одного из многочисленных внешних факторов, но и их взаимодействие при совместном влиянии на технологию или организм.

Идейная база для изучения действия факторов содержится уже в методе сравнения двух выборок. Биотехнологическим содержанием операции сравнения двух выборок, в конце концов, выступает поиск факторов, ответственных за смещение средних арифметических или усиление изменчивости признаков. Развивая это направление биометрического исследования, можно не ограничиваться только двумя «дозами» фактора, но изучить серию ситуаций, в которых фактор проявлял разную силу действия на результативный признак – от самого слабого до самого сильного. При этом каждому уровню фактора будет соответствовать отдельная выборка, и общая задача получит формулировку «сравнить несколько выборок». В терминах факториальной биометрии вопрос о влиянии фактора на признак звучит так: сказывается ли отличие условий получения разных выборок на качестве (значениях) вариант? В терминах статистики вопрос звучит несколько иначе: из одной ли генеральной совокупности отобраны все выборки, оценивают ли выборочные средние арифметические одну и ту же генеральную среднюю? Вариантов ответа может быть только два:

Все выборки отобраны из одной генеральной совокупности, условия возникновения вариант одни и те же.

Выборки отобраны из разных генеральных совокупностей, условия возникновения вариант выборок различаются.

В постановке вопроса можно уловить противоречие. Выше было сказано, что по условию задачи выборки формировались в разных условиях, и тут же предполагается, что условия были одинаковые. На самом деле противоречия нет, поскольку речь идет об определении чувствительности признака к действию фактора. Условия формирования выборок могут отличаться, но они могут никак и не сказаться на величине изучаемого признака, не отразиться на значениях вариант. Смысл статистического сравнения в том и состоит, чтобы оценить эффективность действия фактора на признак, доказать реальность реакции вариант выборок на разные условия их формирования. В сферу исследования можно вовлекать как один, так и два признака, как количественные, так и качественные характеристики. В каждом случае процедура анализа несколько отличается.

4.1 Изучение сходства (различий) двух выборок

В любых биологических экспериментах и наблюдениях особое значение имеют различия, на основании которых судят об эффективности действия тех или иных факторов, например, по разности между опытной и контрольной груп-

88

пами делают заключение о результатах опыта. При этом особенно важно оценить статистическую достоверность разности, т. е. определить, можно ли дан-

ное различие считать закономерным, характерным для всей генеральной со-

вокупности и рассматривать его как результат действия особенных факторов, или же оно случайно и является следствием недостаточного количества данных и в следующих опытах может не проявиться.

4.1.1. Статистическая проверка гипотез

Логика проверки гипотез в математической статистике (она напоминает логику доказательства от противного) состоит в следующем. Вначале предполагается, что проверяемая гипотеза (ее принято называть нулевой гипотезой и обо-

значать H0 ) верна. В предположении, что H0 верна, ищется распределение вероятностей некоторой функции g(x1, x2 ,..., xn ) от значений выборки, называе-

мой статистикой критерия (правило проверки гипотезы принято называть критерием), и в области значений этой статистики выделяется некоторая область, называемая критической областью, такая, что вероятность попадания выборочного значения статистики g в эту область не превосходит заданного

малого значения р, называемого уровнем значимости критерия (обычно полагают р равным 0,05 или 0,01). Если для данной конкретной выборки g попадает

в критическую область, то гипотеза H0 отвергается (говорят – «отвергается на уровне значимости р»), поскольку вероятность этого события, если в действительности верна H0 , мала. Если же g не попадает в критическую область W , то говорят, что «гипотеза H0 не отвергается на уровне значимости р» (или – «полученные данные не дают оснований отвергнуть гипотезу H0 на уровне значимости р»).

Очевидно, однако, что можно разными способами задать статистику критерия g(x1, x2 ,..., xn ) , а для заданной статистики можно разными способами выбрать критическую область. Поэтому следует выбирать g и критическую об-

ласть в некотором смысле наилучшими из возможных, а именно такими, чтобы полученный критерий был наиболее мощным.

Для определения понятия мощности критерия введем понятие альтернативной гипотезы H1 , т.е. гипотезы, которая выполняется, если не выполняется

нулевая гипотеза H0 . Тогда в терминах правильности или ошибочности принятия H0 и H1 можно указать четыре потенциально возможных результата применения критерия к выборке, как следующие

89