00 Учебное пособие по курсу биометрия

Применяя статистический анализ к решению практических задач, исследователь имеет дело с измерениями биологических объектов. Обычно измерения проводят с точностью до десятых, сотых или тысячных долей единицы. Более точные измерения проводят реже. Как показывает опыт, нет необходимости в точности измерений, когда эта точность практически не нужна. Данное положение относится и к измеряемым объектам, и к вычислениям, обобщающим статистические характеристики. Точность измерений и их последующих вычислений определяется установленной степенью надежности предполагаемых результатов.

Значения заданных надежностей т.е. вероятностей реализаций данных событий – Р представлены в таблице 7.

Таблица 7. Требуемые уровни надежности полученного значения, связанные с проведением конкретного рода исследования.

Определение количества значимых цифр. Чтобы избежать грубых оши-

бок в работе и получить сопоставимые результаты, необходимо неукоснительно соблюдать признанные правила записей и округления приближенных чисел. Относительная ошибка при проведении поисковых опытов не должна превышать 0,32 (уровень надежности Р1). При округлении трехзначного числа максимальное абсолютное значение погрешности составляет 5 единиц, а относительная ошибка при минимальном среднем значении 100 не превышает 5/100=0,05 т.е. относительная погрешность составляет р1<0,1. Для среднего уровня надежности р2=5/103=0,005 (р2<0,01); повышенного р3=5/104=0,0005 (р3<0,001) и высокого р4

=5/105=0,00005 (р3<0,0001).

Количество значимых цифр (минимальный порядок оперируемых чисел) обеспечивающее заданный уровень надежности, представлено в таблице 8.

Таблица 8. Количество значимых цифр, соответствующих заданному уровню надежности.

71

Последний знак значимого числа считается сомнительным и округление возможно только до этого знака. Установленный уровень надежности накладывает условия на общую величину погрешности эксперимента, которая не должна превышать требуемый уровень значимости. Величина погрешности эксперимента обусловлена величинами погрешностей проведенных опытов, которые в свою очередь складываются из ошибок отдельных измерений.

Для установления предельно допустимой величины погрешности эксперимента необходимо определить его общий доверительный интервал и, оценив необходимое количество измерений, которое нужно произвести, понизить погрешность до требуемого уровня значимости.

Определение доверительного интервала с учетом случайных и систематических погрешностей:

а) доверительный интервал для случайных погрешностей определяется из следующей формулы:

= tрm (18).

б) доверительный интервал для систематических погрешностей состоит из отдельных - погрешностей приборов и методов.

Погрешность средства измерения, используемого в нормальных условиях для конкретного прибора, устанавливается посредством данной формулы:

где: h – класс точности приборов, Хb – показание верхней границы прибора и Хn – нижней.

В случае если Хn=0, а Хb= 100, то = h, то есть класс точности прибора соответствует систематической погрешности в процентах.

Для косвенных измерений общая доверительная вероятность будет состоять из ряда частных:

где: k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. Коэффициент k принимают равным 1,1 при доверительной вероятности Р=0.95 [9, 10].

В случае если отношение величин систематической погрешности к случайной m 0,8 , то не исключенными систематическими погрешностями, по сравнению со случайными, пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата равна случайной погрешности = . Если же m 0,8 , то слу-

чайной погрешностью, по сравнению с систематическими, пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата равна систематической погрешности = .

72

При проведении измерений предпочтительно регистрировать не только полученные абсолютные значения исследуемых параметров аi, но и в отдельных случаях переводить их в относительные величины. Относительные показатели дают возможность сопоставлять измеренные величины, имеющие различные размерности, как это показано в нижеприведенных формулах, и переходить к относительной системе координат. Например, подобным образом осуществлена оценка влияния индивидуальных свойств деконсервированных ооцитов и эмбрионов млекопитающих на уровень их сохранности и установлен верхний порог данного показателя [8].

Элементарная логика и практический опыт показывают, что не разумно стремиться к неоправданно большому числу испытаний, если убедительный результат можно получить при минимально допустимом объеме выборки.

Установленная надежность накладывает условия на общую величину погрешности эксперимента, которая не должна превышать требуемый уровень значимости. Общая величина погрешности эксперимента состоит из погрешностей, возникающих при проведении отдельных опытов, которые складываются из ошибок отдельных измерений. Для установления предельно допустимой величины погрешности эксперимента необходимо определить его общий доверительный интервал и, оценив необходимое количество измерений, понизить величину погрешности до требуемого уровня значимости. Выбор величины доверительной вероятности является отправной точкой планирования эксперимента. Установив в ходе поискового опыта основные статистические величины изучаемых явлений, такие как среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение, можно приступать к планированию эксперимента.

3.2.2 Определение необходимого объема выборки Определение минимального количества измерений, обеспечивающего

достоверный научный результат для одной выборки. При всем разнообразии методов исследовательской работы задача планирования эксперимента сводится к тому, чтобы при возможно минимальных объемах наблюдений получать достаточно полную информацию об изучаемых объектах. Планирование эксперимента основывается на установленной надежности, которая обеспечивается за счет увеличения количества измерений и уменьшения их погрешностей. Представленные в литературе формулы оценки оптимального числа измерений имеют значительные численные расхождения [6, 7, 11]. Очевидно, что данные расхождения объясняются допущениями, вводимыми авторами в ходе вывода конечных формул. Количественная взаимосвязь представленных параметров выражена в предлагаемых формулах.

Оптимальная схема исследования основана на проведении минимального количества измерений при обязательном условии получения достоверного результата. Необходимая численность выборки - n, отвечающая точности получения среднего результата, зависит от величины ошибки выборочной средней и выводится из формулы вычисления средней квадратической ошибки среднего арифметического т формула (6) [1, 2, 3].

73

σ 2

n (21),

m

где – среднее квадратическое отклонение.

Домножив данное выражение, приведенное в скобках, на среднюю величину – М и критерий Стьюдента - t, произвели замену второго сомножителя на р- 1, и третьего сомножителя на коэффициент вариации – Сv.

Для уровня надѐжности Р=0,95 и величины критерия Стьюдента t=2, соответствующего выборке (n 30), значение формулы упрощается:

nо=0.16CV2 (21б).

Значения численности выборки, основанной на нормальном законе распределения признаков и имеющей количественную градацию в зависимости от коэффициента вариации при уровне надѐжности Р=0,95, представлены в таблице

9.

Пример. В случае если величина среднеквадратического отклонения исследуемого нами признака равна пяти ( =5), а среднее арифметическое двадцати (М=20), коэффициент вариации для данной выборки составляет двадцать пять процентов (Сv=(5/20)100=25%). Тогда минимальное количество измерений, обеспечивающее достоверный результат с уровнем надежности 0,95, равно сто (no=0.16 252 =100). Относительная погрешность измерения соответствует поставленному критерию надежности.

При альтернативной группировке данных, основанных на распределе-

нии признаков не имеющих количественных градаций, когда численность выборочных групп выражается в долях единицы, планируемый объем наблюдений определяется следующим образом:

74

Для выборки основанной на альтернативной группировке данных при-

знаков, при уровне надѐжности 0.95, оптимальное количество измерений представлено в таблице 10.

Таблица 10. Значение минимального объема выборки n в зависимости от средней вероятности W, для качественного анализа при Р=0.95.

Пример. В случае если вероятность изучаемого нами признака составляет восемьдесят пять процентов (W=85%), то величина среднеквадратического отклонения для данной выборки составит около тридцати шести измеряемых единиц ( =35,7). Таким образом, необходимо провести не менее двухсот восьмидесяти пяти измерений, чтобы получить достоверный результат с заданным уров-

нем надѐжности (no=1600(15/85)=285).

Обобщая полученные результаты, можно сделать следующее заключение: для уменьшения ошибки выборочной средней в К раз нужно увеличить объем выборки в К2 раз. Если величина количества измерений, обеспечивающего требуемую достоверность значения, настолько велика, что еѐ невозможно реализовать на практике, то в отдельных случаях следует планировать опыт, основываясь на оценке достоверности различия средних значений контроля и эксперимента.

2.2.2 Определение минимального количества измерений, обеспечивающего достоверный научный результат при сравнении двух выборок. Ми-

нимальное количество измерений, обеспечивающих достоверный результат, зависит от выбора методов измерения и проведения статистического анализа полученного результата. Если результат планируется сравнивать с данными, полученными в контроле при выполнении данного эксперимента, то необходимое количество измерений (n ) в каждой выборке можно определить из следующей формулы ф(17):

где: СV – коэффициент вариации выборки, - относительный показатель расхождения средних величин сравниваемых выборок, t – критерий Стьюдента

1,00 1,66 1,98 2,63 для уровней надежности Р 0,68 0,90 0,95 0,99 при до-

пустимых величинах погрешности вычисления р 0,32 0,10 0,05 0,01 , соответственно. Данная формула ф(13) позволяет установить минимальное количество измерений по каждой из сравниваемых выборок.

Значимая вариация биологических параметров (СV 15%) приводит к необходимости проведения большого количества повторов измерений (n) с целью получения достоверного результата (рис. 29).

75

Рис. 29. Зависимость минимального количества измерений, необходимых для получения достоверности различия двух сравниваемых выборок, от соотношения показателей коэффициента вариации (СV) и относительного показателя расхождения средних величин сравниваемых выборок ( ) при различных допустимых величинах погрешности вычисления (р).

Если для количественной оценки исследуемого показателя, как правило, достаточно малой выборки (n 30 при СV 15 %), то для качественной (метод альтернативного варьирования) количество повторов необходимо значимо больше (n 100 при 25 СV 300%, для вероятности полученного результата W 90(10) 50%, соответственно) (рис. 30).

При общепринятом в биологии уровне надежности (Р 0,95), когда допустимая величина погрешности вычисления не должна превышать пять процен-

В случае если различие между сравниваемыми выборками составляет больше семи процентов ( 7), то предпочтительно планировать схему проведение опыта она основе различия контроль-опыт, что обеспечивает сокращение количества измерений (n no). Данное заключение получено при решении системы состоящей из двух выражений (22а и 21б).

n

700

76

Рис. 30. Зависимость минимального количества измерений, необходимых для получения достоверности различия двух сравниваемых выборок, от относительного показателя расхождения средних величин сравниваемых выборок ( ) при различной вероятности реализуемого события (W) (метод альтернативного варьирования при уровне надежности 0,95).

Поскольку среднеквадратическое отклонение ( ) при использовании метода альтернативного варьирования зависит от средней величины (W), то и необходимое количество измерений связано с данным параметром, который может изменяться от 0 до 100 %. Данная зависимость представлена на рис 31.

Рис. 31. Зависимость минимального количества измерений, необходимых для получения достоверности различия двух сравниваемых выборок, от показателя расхождения средних величин сравниваемых выборок ( W) при различной вероятности реализуемого события (W) (метод альтернативного варьирования при уровне надежности 0,95).

3.2.3 Формулы приближенной оценки статистических показателей Исключение грубых ошибок. Один из критериев исключения промахов

основан на правиле трех сигм. Вероятность того, что ошибка измерения по абсолютной величине выйдет за пределы трех сигм, довольно мала. Поэтому величину 3 условно можно считать предельной границей ошибок измерений. Рассчитывают величину 3 и сравнивают ее с разностью между резко отклоняющейся вариантой и средней величиной x для данного ряда. Если xmax - x или x - хmin больше 3 , то такой результат считают грубой ошибкой и его исключают из выборки:

׀ x -xi׀ 3 (23).

77

Определение величины среднеквадратического отклонения. Рекомен-

дуется следующая формула приблизительного расчета стандартного отклонения (Ашмарин и др., 1975):

где xmax и xmin – минимальное и максимальное значение выборки, величина d взята из таблицы 11 (против соответствующего объема выборки, n).

Таблица 11. Зависимость коэффициента – d от количества измерений – n (P≥ 0,68).

Выборочное стандартное отклонение веса тела бурозубок (n = 63), рассчитанное по приведенной формуле, составляет: S = (11.9 - 7.3) / 4 = 1.15 г, что достаточно близко к точному значению, S = 0.89 г.

Использование экспресс-оценок стандартного отклонения значительно сокращает время расчетов, существенно не сказываясь на их точности при осуществлении планирования эксперимента. Отмечается лишь небольшая тенденция к завышению получаемых этим методом значений стандартного отклонения при небольших объемах выборок.

Определение минимального количества измерений, необходимое для приближенной оценки основных статистических показателей

1. Для количественного метода оценки исследуемых показателей, при проведении поисковых опытов, принято использовать малые выборки (n 30). Таким образом, основные статистические параметры можно выразить следующим образом:

а) среднее значение выборки x 0,5(xmax+xmin);

б) приближенная величина среднеквадратического отклонения определяется из ф(15) и таблицы (7) для n=4 1, если x – разность между максимальным

иминимальным значениями данной выборки x xmax-xmin:

0,5 x ;

_

в) коэффициент вариации – Cv =100 x из ф(5), следовательно:

_

Cv 50 х x ;

г) Уровень значимости оценки (относительная ошибка выборки – ) для

уровня надежности Р= 95% , соответственно для n=4 1 составляет величину

Сv/0,3.

78

д) Минимальное количество измерений, необходимое для получения достоверного результата в одной выборке – n0 и в двух сравниваемых выборках – n , при относительном показателе расхождения средних величин сравниваемых выборок – = 10%:

2. Для качественного метода оценки исследуемых показателей, при проведении поисковых опытов, применимы большие выборки (n 30), из табл. (12):

79

В случае если качественную оценку биообъекта можно разбить более чем на две группы и количественно определить их средние показатели, то это дает возможность применить количественный метод статистического анализа, а это в свою очередь позволяет значимо снизить объем выборки. Например, использование количественного метода статистической обработки для оценки жизнеспособности эмбрионов млекопитающих существует возможность сократить количество измерений более чем в десять раз, по сравнению с качественным методом, за счет уменьшения величины ошибки среднеквадратического отклонения при условии получения достоверного результата (табл. 14).

Табл. 14. Способы оценки технологии криоконсервации эмбрионов крупного рогатого скота при помощи различных методов статистического анализа.

n – количество измерений, необходимое для получения достоверного среднего

значения; n – количество эмбрионов в данном опыте, k – количество эмбрионов, пригодных к пересадке, M – средняя величина показателя; m – ошибка средней величины, Si – жизнеспособность эмбрионов различного качества отличного 95 5, хорошего 85 5, удовлетворительного 70 5.

В случае проведения многофакторного исследования, когда в одном опыте изменяется более одного параметра, принято использовать специальные методы планирования, основанные на применении математического моделирования.

3.3 Основы планирования многофакторного эксперимента

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.

80