00 Учебное пособие по курсу биометрия

лишь два противоположных (разнокачественных) значения (два класса, k = 2). В одной пробе (в одном наблюдении) содержится одна варианта (h = 1), одно из двух возможных значений. Вероятности каждого из них могут быть равны (W = U) либо не равны (W < U; W > U). Примеры: самцы и самки, больные и здоровые организмы, сработавшие и пустые ловушки на одной учетной линии, два варианта аллельных признаков, вакцинированные и невакцинированные пациенты среди заболевших и др. (рис. 10). Вычисления констант достаточно просты и не требуют построения вариационного ряда.

Рис. 10. Альтернативное распределение (два класса вариант). По оси ординат – частости (доли) этих групп

Важнейшей характеристикой является доля (W) вариант определенного вида (А), представленных общим числом nA в пределах выборки объемом n:

Если исходы отдельных испытаний выразить числами 0 или 1 (что аналогично отбору проб с объемом h = 1), доля вариант совпадает со средней арифметической, рассчитанной для всех значений:

M x . n

Например, результат отловов полевок из природных популяций показал, что в исследуемой группе (200 особей) было 120 самок и 80 самцов. В данном случае мы имеем дело с альтернативным признаком (самка – самец). Из 200 проб 120 содержат самок (значение 1), 80 – не содержат (значение 0), так получаем выборку n = 200:

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

1111111111111111111111111111111111111111.

Доля вариант со значением 1 составляет:

W nnA 120200 0.6 ,

что совпадает со средней арифметической для всего ряда:

Для альтернативного распределения могут применяться те же формулы расчета выборочных параметров, что и для биномиального распределения. Средняя (доля самок):

M = W = 0.6.

Стандартное отклонение для больших выборок (n>30) или при проведении

51

поисковых опытов можно рассчитывать при помощи упрощенных формул:

S W U 0.6 0.4 0.24.

Ошибка средней (ошибка доли самок):

Следует отметить, что формулы описательной статистики ф (5 – 11) можно применять при нормальном распределении исследуемого признака в выборке ф (11). В противном случае необходимо увеличивать количество опытов или преобразовывать выборку к нормальному виду.

2.5 Преобразование выборки к нормальному виду Гипотеза нормальности. В некоторых исследовательских проектах мож-

но сформулировать гипотезы относительно распределения рассматриваемой переменной. Например, переменные, значения которых определяются бесконечным числом независимых факторов, распределены по нормальному закону: можно предположить, что рост индивидуума является результатом воздействия многих независимых факторов, таких как различные генетические предрасположенности, болезни, перенесенные в раннем возрасте и т.д. Как следствие, рост имеет тенденцию к нормальному распределению в населении.

С другой стороны, если наблюдаемые значения переменной являются результатом очень редких событий, то переменная будет иметь распределение Пуассона (которое иногда называется распределением редких событий). Например, несчастные случаи на производстве можно рассматривать как результат пересечения ряда неудачных событий (на житейском языке стечением маловероятных обстоятельств), поэтому их частота приближенно описывается распределением Пуассона.

Другим обычным приложением процедуры подгонки распределения является проверка гипотезы нормальности до того, как использовать какой-либо параметрический тест. Как правило, при малом количестве измерений (n<30) биологического объекта (см. рис. 11) показатели моды близки к величинам первой или третей квартили (25-й или 75-й процентили). В таком случае полученное распределение не следует считать нормальным и применять общепринятые формулы описательной статистики. В таком случае рекомендуется использовать методы подгонки распределения выборки к нормальному виду. Универсальным способом преобразования к нормальному распределению является по-

строение выборки не из текущих значений, а из их средних показателей.

Рис. 11. Мода роста исследуемых особей — 35 см. 25-й и 75-й процентили отсекают чет-

52

верть самых низких и четверть самых высоких особей 25-й процентиль ближе к медиане, чем 75-й — это говорит об асимметричности распределения.

Для описания асимметричного распределения следует использовать моду и процентили.

2.5.1 Приведение к нормальному виду количественных признаков

Выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение есть оценки среднего и стандартного отклонения для совокупности, вычисленные по случайной выборке. Понятно, что разные выборки дадут разные оценки. Для характеристики точности выборочных оценок используют стандартную ошибку. Стандартную ошибку можно подсчитать для любого показателя, но сейчас мы остановимся на стандартной ошибке среднего, — она позволяет оценить точность, с которой выборочное среднее характеризует значение среднего по всей совокупности.

На рис. 12 представлено распределение особей по росту. Посмотрим, что получится, если оценивать средний рост по выборке объемом, скажем, 10 особей. Из 200 особей наугад выберем 10 и пометим их черными кружками. На рис. 12Б эта выборка изображена в виде, принятом в журнальных публикациях. Точка и два отрезка по бокам от нее изображают выборочное среднее ( = 41,5 см) и выборочное стандартное отклонение (s = 3,8 см). Эти значения близки, но не

равны среднему по совокуп-

Рис. 12. Три случайные выборки из одной совокупности дают три разных оценки среднего и стандартного отклонения.

Извлечем еще одну случайную выборку того же объема. Результат показан на рис. 12В. Выборочное среднее (36 см) по-прежнему близко к среднему по совокупности, хотя и отличается от него; что касается выборочного стандартного отклонения (5 см), то на этот раз оно совпало со стандартным отклонением по совокупности.

На рис. 12Г представлена третья выборка. Попавшие в нее особи изображены кружками с точками. Среднее и стандартное отклонение для этой выборки составляют соответственно 40 и 5 см. Теперь пора поставить добычу случайных выборок на промышленную основу. Рассмотрим совокупность средних для каждой из возможных выборок по 10 особей. Общее число таких выборок превышает 1016. Три из них мы уже обследовали. Средние по этим выборкам представлены на рис. 13 в виде заполненных кружков. Пустые кружки — это средние еще для 22 выборок. Итак, теперь каждому выборочному среднему соответству-

53

ет кружок, точно так же, как до сих пор кружки соответствовали отдельному объекту.

Рис. 13. Такое распределение мы получим, выбрав 25 раз по 10 особей из совокупности представленной на рис 12А, и рассчитав среднее для каждой выборки (средние для трех выборок показаны заполненными кружками).

Посмотрим на рис. 13. Набор из 25 выборочных средних имеет колоколообразное распределение похожее на нормальное. Это не случайно. Можно доказать, что если переменная представляет собой сумму большого числа независимых переменных, то ее распределение стремится к нормальному, какими бы ни были распределения переменных, образующих сумму. Так как выборочное среднее определяется именно такой суммой, его распределение стремится к нормальному, причем, чем больше объем выборок, тем точнее приближение. (Если выборки принадлежат совокупности с нормальным распределением, распределение выборочных средних будет нормальным независимо от объема выборок).

Если построить распpeделение средних для всех возможных выборок, оно окажется нормальным. Среднее этого распределения будет равно среднему той совокупности, из которой извлекаются выборки. Стандартное отклонение этого распределения называется стандартной ошибкой среднего. Поскольку распределение на рис. 13 нормальное, его можно описать с помощью среднего и стандартного отклонения.

Так как среднее значение для рассматриваемых 25 точек есть среднее ве-

личин, которые сами являются средними значениями, обозначим его x . Аналогично, стандартное отклонение обозначим s . Величины средневзвешенных средней и среднеквадратического отклонения вычисляются по формулам:

i 1

где: ni, x i и si – объем выборки, среднее значение и еѐ среднеквадратическое отклонение для каждой i -й группы, - число независимых выборочных групп.

54

По формулам для средневзвешенного среднего и стандартного отклонения

находим x = 40 см и s = 1,6см. Среднее выборочных средних x оказалось равно среднему μ всей совокупности из 200 особей. Ничего неожиданного в этом нет. Действительно, если бы мы провели исследования всех возможных выборок, то каждая из 200 особей была бы выбрана равное число раз. Итак, среднее выборочных средних совпадет со средним по совокупности.

Интересно, равно ли средневзвешенное стандартное отклонение s , среднеквадратическому отклонению σ совокупности из 200 особей? Стандартное отклонение для совокупности выборочных средних s равно 1,6 см, а стандартное отклонение самой совокупности — σ =5 см. Почему средневзвешенное s меньше, чем ? В общих чертах это можно понять, если учесть, что в случайную выборку редко будут попадать одни только коротышки и одни гиганты. Чаше их будет примерно поровну, и отклонения роста от среднего будут сглаживаться. Даже в выборке, куда попадут 10 самых высоких особей, средний рост составит только 50 см, тогда как рост самой высокой особи — 53 см.

Подобно тому, как стандартное отклонение исходной выборки из 10 особей s служит оценкой изменчивости роста особей, s является оценкой изменчивости значений средних для выборок по 10 особей в каждой. Таким образом, величина s служит мерой точности, с которой выборочное среднее x является оценкой среднего по совокупности μ. Поэтому s носит название стандартной ошибки среднего.

Чем больше выборка, тем точнее оценка среднего и тем меньше его стандартная ошибка. Чем больше изменчивость исходной совокупности, тем больше изменчивость выборочных средних, поэтому стандартная ошибка среднего возрастает с увеличением стандартного отклонения совокупности.

Так как возможные значения выборочного среднего стремятся к нормальному распределению, истинное среднее по совокупности примерно в 95% случаев лежит в пределах 2 стандартных ошибок выборочного среднего.

Как уже говорилось, распределение выборочных средних приближенно всегда следует нормальному распределению не зависимо от распределения совокупности, из которой извлечены выборки. В этом и состоит суть утверждения,

называемого центральной предельной теоремой. Эта теорема гласит следую-

щее.

независимо от распределения исходной совокупности, из которой были извлечены выборки.

е-

му исходной совокупности.

объема, называемое стандартной ошибкой среднего, зависит как от cтандартного отклонения совокупности, так и от объема выборки.

55

2.5.2 Приведение к нормальному виду качественных признаков

Если бы в наших руках были данные по всем членам совокупности, то не было бы никаких проблем связанных с точностью оценок. Однако нам всегда приходится довольствоваться ограниченной выборкой. Поэтому возникает вопрос, насколько точно доли в выборке соответствуют долям в совокупности. Проделаем мысленный эксперимент наподобие того, который мы провели в гл. 5.1, когда рассматривали насколько хорошей оценкой среднего по совокупности является выборочное среднее.

Предположим, что из всех 200 особей случайным образом выбрали 10. Распределение розовых и зеленых особей во всей совокупности неизвестное исследователям изображено в верх ней части рис. 14. Закрашенные кружки соответствуют особям, попавшим в выборку. В нижней части рис. 14 показана информация, которой располагал бы исследователь, получивший такую выборку. Как видим в выборке розовые, и зеленые особи поделились поровну. Основываясь на этих данных, мы решили бы, что розовых особей столько же, сколько и

зеленых, то есть их доля составляет 50%.

Рис. 14. А. Из совокупности особей, среди которых 150 зеленых и 50 розовых, извлекли случайную выборку из 10 особей. В выборку попало 5 зеленых и 5 розовых, на рисунке они помечены черным. Б. В таком виде данные предстанут перед исследователем, который не может наблюдать всю совокупность и вынужден судить о ней по выборке. Оценка доли розовых особей W = 5/10 = 0,5.

Исследователь мог бы извлечь другую выборку, например одну из представленных на рис. 15. Здесь выборочные доли розовых особей равны 30, 30, 10, и 20%. Как любая выборочная оценка, оценка доли (обозначим ее W) отражает долю W в сово купности, но отклоняется от нее в силу случайности. Рассмотрим теперь не совокупность особей, а совокупность всех значений W, вычисленных по выборкам объемом 10 каждая. (Из совокупности в 200 членов можно получить более 106 таких выборок). На рис. 5.6 приведены пять значений W, вычисленных по пяти выборкам с рис. 14 и 15 и еще 20 значений полученных на других случайных выборках того же объема.

56

Среднее этих 25 значений составляет 30%. Это близко к истинной доле розовых марсиан — 25%. По аналогии со стандартной ошибкой среднего найдем стандарт-

ную ошибку доли. Для этого нужно охарактеризовать разброс выборочных оценок доли, то есть рассчитать стандартное отклонение совокупности W. В данном случае оно равно примерно 14%.

Рис. 15. Еще 4 случайные выборки из той же совокупности особей. Оценки доли розовых особей: 30, 30, 10 и 20%.

Рис. 16. Нанесем на график оценки доли розовых особей, полученные по выборке с рис. 24 и четырем выборкам с рис. 25. Добавим к ним еще 20 выборочных оценок. Получилось распределение выборочных оценок W. Стандартное отклонение совокупности средних — это стандартная ошибка доли.

Среднее этих 25 значений составляет 30%. Это близко к истинной доле розовых — 25%. По аналогии со стандартной ошибкой среднего ф(14 и 15) найдем стандартную ошибку доли. Для этого нужно охарактеризовать разброс выборочных оценок доли, то есть рассчитать стандартное отклонение совокупности W. В данном случае оно равно 14%.

Из центральной предельной теоремы вытекает, что при достаточно большом объеме выборки выборочная оценка W приближенно подчиняется нормальному распределению, имеющему среднее W и стандартное отклонение σw. Однако при значениях W, близких к 0 или 1, и при малом объеме выборки это не так. При какой численности выборки можно пользоваться приведенным способом оценки? Математическая статистика утверждает, что нормальное распределение служит хорошим приближением, если использовать распределения средних значений малых выборок. Напомним, что примерно 95% всех членов нормально

57

58

Таблица 6. Распределение кроликов в группах по весу

В случае если усредняемые выборки разные по объему, то необходимо использовать формулы средневзвешенного значения.

Определение нормированного отклонения

Многие наблюдаемые явления подчиняются приблизительно нормальному закону распределения. По этой причине основная часть классической статистической теории предполагает нормальность рассматриваемой случайной величины. Важным теоретическим результатом относительно выборочных распределений является центральная предельная теорема. Вот одно из важных применений этой теоремы: если мы получаем случайную выборку объема n из генеральной совокупности с конечной дисперсией, то независимо от распределения нашей случайной величины Х распределение выборочного среднего М при больших n будет приблизительно нормальным [24].

Соблюдения условия нормальности распределения выборки позволяет использовать как все представленные в данной работе формулы, так и установление величины нормированного отклонения. Отклонение той или иной варианты от средней арифметической, отнесенной к величине среднего квадратического отклонения, называют нормированным отклонением:

59

Этот показатель позволяет "измерять" отклонение отдельных вариант от среднего уровня и сравнивать их для разных признаков. Иными словами, он характеризует индивидуальность признака и позволяет установить сопряженность связей между аргументами и величиной целевой функции. Так же оценку нахождения и развития любой как физической так и биологической системы можно произвести при помощи нормируемого отклонения (критерия Стьюдента – t). При t= 1 состояние системы находится в оптимуме - opt, t=+1 +2 - supopt состояние, t=-1 -2 - subopt состояние, t=+2 +3 -suppat состояние, t=- 2 -3 - subpat состояние (рис. 7).

Рис. 7. Стандартизованная форма нормальной кривой генерального распределения, включающего спектр отдельных составляющих его гармоник. P(t) - функция плотности вероятности распределения изучаемого явления t - нормируемое отклонение (критерий Стьюдента) 0, 1, 2 - отдельные составляющие гармоники.

Например, проведем сравнительный анализ существующих технологий криоконсервации биообъекта. Полагаем, что центральная теорема статистики утверждающая, что всякое распределение стремится к нормальному при повышении количества измерений, может служить методологическим постулатом целесообразности выбора приоритетности развития изучаемого явления. Различные направления исследований являются теми факторами, которые расширяют диапазон и приводят генеральное распределение к нормальному. Только та система будет развиваться, рост которой сбалансирован противоположно дополняющими началами. Односторонность развития приводит к обратным явлениям: деградации и распаду на отдельные составляющие гармоники общего распределения системы. Условия равновесия развития будут выполняться только тогда, когда система соответствует нормальному закону распределения составляющих еѐ гармоник. И как следствие, приоритетность развития каждой из них должна соответствовать весу еѐ плотности вероятности распределения в общей генеральной совокупности.

60