00 Учебное пособие по курсу биометрия

в следующем виде (рис. 1.23). Ко второму классу относятся поверхности типа «стационарного возвышения» (см. рис. 1.22 в, г). В этом случае некоторые коэффициенты канонической формы близки к нулю.

Рис. 1.22. Типы поверхностей отклика в трѐхмерной системе координат.

а) б) в)

Рис. 1.23. Типы поверхностей отклика в двухмерной системе координат.

Имея дело с поверхностями отклика типа «стационарное возвышение» или «седло», исследователь должен пользоваться методами вычислительной математики и средствами вычислительной техники для нахождения условного экстремума критерия оптимальности с учетом ограничений, наложенных на влияющие факторы.

161

Рис. 18. Жизнеспособность черенков в зависимости от их влажности (η, %) и температуры (Т, °С). Скорость охлаждения – 0,1 °C/ч, отогрева – 70 °C/мин. Примечание: Номер, очерченный кругом, отражает показатель жизнеспособности черенков (in vitro), а пунктирной линией обозначен контур, ограничивающий одинаковые величины.

Рис. 19. Жизнеспособность (V, %) черенков в зависимости от их влажности (η, %) и температуры (Т, °С). Скорость охлаждения 0,1 °C/ч, отогрева 70 °C/мин.

164

Рис.20. Жизнеспособность черенков в зависимости от их влажности (η, %) и температуры (Т, °С). Скорость охлаждения – 0,1 °C/ч, отогрева – 70 °C/мин.

5.4. Оптимизация проведения многофакторного биологического эксперимента векторным методом

5.4.1 Принцип графического нахождения оптимума для двухфакторного эксперимента

При отсутствии специальных программ или навыков использования матричного исчисления, процедуру оптимизации проведения биотехнологических исследований можно значимо упростить следующим образом. Необходимо схему решения задачи оптимизации перевести из аналитической формы, требующей наличие регрессионных уравнений, в векторную. Наиболее простой способ представлен в следующем алгоритме:

1.Устанавливаем целевую функцию y(xi), которую необходимо привести

кминимуму (или к максимуму) посредством варьирования определяющих еѐ

параметров xi.

Поиск и построение поверхности отклика производится в системе абсолютных величин, а обобщение параметров, имеющих различную размерность, происходит благодаря вводу относительного показателя – коэффициента крутизны, определяющего шаг и направление изменения каждого параметра:

165

где аji – исследуемый параметр, представленный в относительной форме;

– максимальное значение исследуемого j-го параметра, выраженного в абсолютных единицах; xij – текущее значение исследуемого параметра; xmin – минимальное значение исследуемого параметра.

2. Проведение опыта начинается после определения исходных значений исследуемых параметров ai. Нулевой уровень выбирается по данным литературы, обеспечивающим наилучший результат. Если оптимальные значения ещѐ не установлены, то базовым уровнем можно считать значение целевой функции y0 xi при усредненных параметрах xi :

где xi max и xi min – максимально и минимально допустимые значения исследуемых параметров, которые могут быть заданы в данном опыте.

Предложенный способ также имеет преимущество в сравнении с существующими аналогами (кроме метода слепого перебора), заключающееся в отсутствии ограничений в выборе направления и величины последующего измерения. То есть, следующее измерение может быть как произвольным, так и регламентированным предложенным алгоритмом. В любом случае полученные значения способствуют нахождению искомого оптимума.

4. Выбор направления последующего поиска осуществляется следующим образом. Для осуществления первого шага, можно произвести изменения величины целевой функции, уменьшив y1 0,5аi или увеличив y1 1,5аi еѐ усреднен-

ные или выбранные параметры а i на половину. После проведения соответствующего опыта и установления величины y1 необходимо вычислить коэффициенты крутизны Ki(ai) для каждого исследуемого параметра по следующей формуле:

5.

где Ki – коэффициент крутизны подъема вектора i-го измерения. yi и

yi-1 – значения целевых функций, установленных в i-том опыте и в предшествующем – i-1; j – номер параметра.

Для двухпараметрической функции, когда исследуются только два параметра x1 и x2, формула имеет следующий вид:

166

Для двухпараметрической функции вектор подъема представляется следующим образом:

Вектор подъема для целевой функции, состоящей из 2–6 параметров, h i

при отсутствии программного обеспечения более удобно определять не аналитическим способом, а графическим (рис. 29).

Рис. 29. Построение планов при каждом проведении измерения в процессе движения к экстремуму по поверхности отклика векторным методом.

По осям координат представлены исследуемые параметры xi, а уровни поверхности отклика (значения целевой функции y), имеющие одинаковые величины, представлены пунктирными линиями по аналогии с построением геодезических карт, отражающих уровень местности. Номер, охваченный кругом, показывает последовательность проведения опыта, а треугольником – показатель «крутизны» подъема вектора ф. (8.4). Числа со штрихами обозначают проекции соответствующих векторов при их сложении.

Рассмотрим действие данного алгоритма на следующем примере. Параметры x1 и x2 представлены в относительной форме (a1 и a2) и изменяются от 0 до 1. Тогда для первого опыта параметры a1 и a2 составят а1 0,15и а 2 0,75 .

Величина y1=50. Для второго опыта y2=60, а разница составит y12=10, а1=0,19, и для изменяемого параметра отношение разницы целевых функций y12 к разнице параметра а1 дает коэффициент крутизны K2=53 ф.(8.4а). Положительная величина знака указывает направление вектора (треугольник на рисунке повер-

168

нут в сторону второго опыта). Подобным образом меняем параметр а2 для третьего опыта и получаем К3=33, y=6, а2=0,18. Графическое сложение векторов по правилу «параллелограмма» с учетом веса коэффициента К задает величины параметров а1=0,34 и а2=0,6 для проведения четвертого опыта. Величина целевой функции при этом составляет y4=65, а К4=65. Продолжая движение в направлении увеличения градиента, определим величины параметров а1 и а2 для пятого

опыта. Подобным образом выбираем следующее направление вектора подъема

h с учетом наибольшего коэффициента крутизны – К при установлении вели-

чин параметров а1 и а2. Поиск продолжается до тех пор, пока целевая функция y не выйдет на ограничения (6 опыт) или не примет максимальное значение, как это показано в восьмом опыте.

Если отдельные оптимальные значения функции отклика уже известны, то в данной области строится план (ПФЭ или ДФЭ) с целью подтверждения и описания поверхности отклика.

В качестве примера рассмотрим поверхности отклика, полученные в результате исследования зависимости показателя эффективности режима замораживания от скорости охлаждения в диапазоне медленных (рис. 30) и высоких скоростей (рис 31).

Рис. 30. Поиск максимальной величины сохранности деконсервированных спермиев быков при помощи предложенного векторного метода оптимизации, в процессе которого одновременно изменяются скорости оттаивания – Bот и замораживания – Bз: для Bот/Bз 10 и Bот/Bз 70. Параметры а1 и а2 являются относительными величинами скоростей оттаивания и замораживания.

169

Рис. 31. Контуры эффективности режима замораживания-оттаивания спермиев карпа, отражающие зависимость совместного влияния скорости охлаждения на первой ступени В1 (от 5 0С до - 20 0С) и на второй В2 (от - 20 0С до – 50). Параметры а1 и а2 являются относительными величинами скоростей замораживания на первой и второй ступени, соответственно ф. (8.2). Номер очерченный кругом выделяет показатель относительной сохранности Wz, а треугольником величину «крутизны» подъема вектора ф. (8.4). Пунктирной линией обозначены одинаковые уровни абсолютных и относительных величин сохранности.

5.4.2. Парная оптимизация параметров многофакторного эксперимента

При графическом решении поиска оптимума многопараметрической функции целесообразно по парно проранжировать ряд параметров, как это представлено на рис. 32 и 33, в соответствии с их рангом приоритетности (силой влияния на целевую функцию).

На первом этапе оптимум ищется для параметров x1 и x2 (при фиксированных x3 и x4) после нахождения, которого фиксируются оптимальные значения для первой пары и производится оптимизация для второй.

Поверхности отклика в графическом виде для четырехфакторного эксперимента (x1, x2, x3, x4) выполненного векторным методом строится в несколько этапов (рис. 34 и 35).

170