Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

прямокутних координат

x та

y

полярними

координатами

та

за

формулами: x cos ,

y sin . В цьому випадку якобіан дорівнює

x

y

cos

sin

J

.

(10.4)

x

y

sin

cos

Враховуючи, що

J

, маємо:

f (x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d .

(10.5)

D

D

Якщо область інтегрування обмежена промінями, що утворюють з

полярною віссю кути 1 та

2

( 1 < 2 ) і двома кривими

1( )

та

2 ( ) ( 1( ) 2 ( ) )

(рис.10.7),

а

функції 1( )

та

2 ( )

є

неперервними, однозначними та зберігають аналітичний вираз, то

2

2 ()

f (x, y)dxdy d

f ( cos , sin ) d .

(10.6)

D

1

1()

Інтеграл

у

правій

частині

цієї

формули

–

М2

повторний (двократний). У

1

внутрішньому інтегралі слід

розглядати як величину сталу,

а – змінну. Для визначення

М1

меж внутрішнього інтеграла за

2

1

2

змінною

(полярного

радіуса) проведемо з полюса О

0

будь-який промінь

const ,

Рис. 10.7

1, 2 . В точці входу M1

цього променя в область

1( ) ,

а в точці

M 2 виходу його із області

2

R

f (x, y)dxdy d f ( cos , sin ) d .

D

0

0

Приклад 1. Обчислити

xdxdy ,

якщо область D обмежена колом

D

x2 y2 ax .

Розв’язання. Рівняння кола в

a cos

полярній

системі

має

вигляд

2

a cos , або

a cos .

Кут

O

a

x

змінюється

від

/ 2

до

/ 2 .

При

кожному

фіксованому

значенні

Рис. 10.8

змінна змінюється

від 0

до

a cos

(рис.10.8). Тоді

/2

a cos

/2

a cos

xdxdy

d

cos d

cos d

2d

D

./2

0

/2

0

/2

/ 3 |a cos

a

3 /2

2a

3 /2

cos d 3

cos4 d

cos4

d

3

0

3

/2

/2

0

a

3

/2

a

3

/2

(1 2cos 2 cos2

2 )d

(3 / 2 2cos 2 cos

4 / 2)d

6

0

6

0

a3

3

sin 2

sin 4

/2

a3

0

;

6

2

8

8

Якщо f x, y 1,

то подвійний інтеграл чисельно дорівнює площі

області інтегрування.

Приклад

2.

Обчислити

площу

фігури,

що обмежена

лінією

Розв’язання. Рівняння кривої x2

y2 2

2a2 xy в полярних

координатах має вигляд 4 2a2 2 cos sin ,

y

або a

sin 2 .

Будуємо криву, беручи до уваги, що

0

або

sin 2 0 ,

тобто

4

a

sin 2

4

S 4 d

d 2 a2 sin 2 d a2.

0

0

0

2

2

Приклад 3. Обчислити I

1

x

y

dxdy ,

де область обмежена

2

2

D

a

b

еліпсом.

Розв’язання. Введемо так

звані узагальнені полярні координати:

x a cos , y b sin . Якобіан

перетворення за

формулою (10.3)

Оскільки 1

x2

y2

1 2 cos2

2 sin2 1 2 ,

a2

b2

то

2

1

2

1 1

2

3 / 2

1

2

I ab d 1 d ab 2

0

ab.

2 3/ 2

3

0

0

циліндрами y

x , y 2 x та площинами z=0, x z 6 (рис. 10.10).

z

y

y

x

D

y 2

x

y x

0

y 2 x

y

0

6

x

D

x

Рис. 10.10

Рис. 10.11

Розв’язання. Тіло обмежене зверху

площиною x z 6 ,

знизу

площиною z = 0 та двома циліндрами y

x і y 2 x , які проектують

y

x і y 2

x (рис. 10.11). При цьому змінна x змінюється від 0 до 6;

при будь-якому значенні x із вказаного проміжку

x y 2 x . Об’єм тіла

знаходимо за формулою V f x, y dxdy.

D

У даному випадку z f x, y 6 x . Тоді маємо

V 6 x dxdy

D

6

2 x

6

6

6 x dx dy 6 x y

2

x dx 6 x 2

dx

x

x

x

0

x

0

0

6

3 2

5 2

6

6

x

dx

6

x

x

72

48 6

.

x

x

24 6

6

0

3 2

5 2

0

5

5

y

y ln2 x

та площинами

z 0

та

y ln2 x

y z 1.

Розв’язання. Оскільки зверху

тіло обмежене площиною

z 1 y ,

а

циліндри

y ln x та

y ln2 x

є

0

x

проектуючими циліндрами на площину

y ln x

xOy, побудова просторової області не є

обов’язковою.

Рис. 10.12

Проекція тіла D на площину xOy

зображена на рис. 10.12. Для зведення

ln x ln2 x , або ln x 1 ln x 0;

x 1, x e .

Проекцією області D на вісь Oy є відрізок [0,1]. Об’єм тіла дорівнює

1

e y

1

e y dy =

V f x, y dxdy 1 y dxdy 1 y dy

dx 1 y e

y

D

D

0

ey

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1 e 1;

1

1

1

Тут ey dy e y

yey dy ye y

e y dy e e 1 1;

0

0

0

0

0

1

t, y t 2

1

y

e y dy

dy 2tdt

2 tetdt 2 ;

0

0

1

y t 2

1

y t,

y dy

(застосовуємо

формулу

ye

dy 2tdt

2 t3etdt 12 4e

0

0

циліндрами

x2 y2

x

та

x2

y2 2x ,

параболоїдом

z x2 y2

і

площинами x y 0,

x y 0, z 0 .

Розв’язання. Циліндричне

тіло

обмежене

зверху

поверхнею

z x2

y2 . Його об’єм

V f x, y dxdy zdxdy x2 y2 dxdy

D

D

D

y

y = x

Побудуємо

область

D,

яка

є

проекцією

тіла

на

площину

xOy

2cos

(рис. 10.13).

D

Область D обмежена колами

0.5

1

2

x

1

2

1 2

cos

x2 y2

x , або x

y2

;

2

2

y = – x

x2 y2

2x , або x 1 2

y2

1

Рис. 10.13

та прямими y x,

y x .

У полярних координатах рівняння кіл мають

вигляд

cos

та

2cos ; рівняння прямих

та

. Знаходимо

4

4

2 cos

4

2 cos

завдяки симетрії

4

4

3d

d

V d

області інтегрування

2

4

cos

0

cos

4

1

4

16cos4

cos4 d

15

4 1 cos 2 2