Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

.pdf

Скачиваний:

230

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

4.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Якщо область V є неправильною, то її розбивають на скінченне число правильних областей та обчислюють інтеграл, використовуючи властивість адитивності потрійного інтеграла.

Якщо областю інтегрування є прямокутний паралелепіпед,

обмежений	площинами x a, x b	a b ,	y c,	y d c d ,
z m, z n	m n , то межі інтегрування будуть постійними, тобто

f (x, y, z)dV dx dy f (x, y, z)dz.

випадку,

якщо

f x, y, z 1, то

потрійний

інтеграл

чисельно

дорівнює об’єму області інтегрування.

Приклад 1. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями

y x ,

y x2 , z x2 y2 ,

z 2 x2 y2

y=x

Розв’язання. Тіло

обмежене

площиною y x ,

циліндром

y x2

y=x

та

параболоїдами

обертання

z x

, z 2 x

. Нехай D –

Рис. 10.17

проекція тіла на площину xOy. В

даному

випадку

проектуючими поверхнями

тіла

площина

y x та

циліндр y x2 (рис. 10.17). Тоді об’єм тіла

2 x2 y2

y2 dy

V dv dx dy

dz dx z

x2 y2

dy dx

x2 x2 y2

4x3

x2 y

Приклад 2. Обчислити масу тіла,

обмеженого

циліндром

x2 2 y і

площинами

z 0 ,

2y z 2 ,

якщо в кожній його точці об’ємна

густина

чисельно

дорівнює

аплікаті цієї точки.

Рис. 10.18

Розв’язання.

Циліндричне

тіло (рис.10.18) обмежено зверху площиною z 2 2y , яка перетинається

з площиною			z 0			по прямій					y 1.					Масу тіла,										що займає область V ,
обчислюють за формулою									m (x, y, z)dxdydz ,																	де (x, y, z,) –				об’ємна
											V
густина. У даній задачі (x, y, z) z і
									22 y
			1					2 y	22 y						1										2 y		1
m zdxdydz dy dx											zdz 2 (1 y)2 dy																dx 4 (1 y)2
m zdxdydz dy dx											zdz 2 (1 y)2 dy																dx 4 (1 y)2			2 ydy

	V		0				2 y		0						0							2 y					0
1			3			5					3					5				7
1
1
4		( y 2 2 y			y			)dy 4				2	y				4	y			2	y		)		1		64 2	.
				2			2							2					2				2
	2									2(
	2									2(
0											3					5				7						0	105
0

10.5. Потрійний інтеграл у циліндричній та сферичній системах координат

У багатьох задачах обчислення потрійних інтегралів зручніше проводити в циліндричній, сферичній або інших системах координат.

Питання про заміну змінних у потрійному інтегралі вирішується таким самим чином, як і у випадку подвійного інтеграла, тобто якщо

функція

f x, y, z неперервна в області V та формули

x u,v, w ;

y u,v, w ,

z u,v, w

встановлюють взаємно однозначну відповідність між точками

M x, y, z

області V та точками M ' u,v, w області V ', то

f (x, y, z)dxdydz f ( u,v, w , u,v, w , u,v, w )

dudvdw ,

V '

де

– абсолютна величина якобіана:

(10.7)

У циліндричній системі координат положення точки визначається полярними координатами , та аплікатою z, (рис. 10.19, а) (формули, що зв’язують прямокутні та циліндричні координати мають вигляд x cos ; y sin ; z=z), модуль якобіана (10.7) дорівнює J .

f (x, y, z)dxdydz f ( cos , sin , z)ρd d dz .

	V		V '
z			z
	М
				М
0	z
		y		y

x			x
Рис. 10.19, а			Рис. 10.19, б
У системі циліндричних координат координатні поверхні const ,
const ,	z const	являють	відповідно кругові	циліндри з віссю Oz,

полуплощини, що виходять із осі Oz та площини, паралельні площині xOy. Тому якщо область інтегрування є круговим циліндром з віссю Oz, то потрійний інтеграл по цій області в циліндричній системі координат буде

мати сталі межі за всіма змінними, тобто

	2	R	H
f x, y, z dV d			d f cos , sin , z dz
V	0	0	0

Сферичні координати точки M області V позначаються як , , , де

– відстань від початку координат до точки M, 2 x2 y2 z2 , – кут між віссю Ox та проекцією радіус-вектора OM на площину xOy, а – кут між додатним напрямком осі Oz та радіус-вектором OM (рис. 10.19, б).

Вочевидь, що ( 0, 0 , 0 2 ) . Тут координатні	поверхні	є
такими: = const – сфери з центром на початку координат,	const	–

полуплощини, що виходить із осі Oz, const – кругові конуси з віссю Oz. Сферичні координати , , пов’язані з прямокутними координатами співвідношеннями

x sin cos , y sin sin , z cos ,

а модуль Якобіана (10.7) дорівнює J 2 sin .

	Перехід у потрійному інтегралі до сферичних координат
здійснюється за формулою
f (x, y, z)dxdydz f ( sin cos , sin sin , cos )ρ2sinθd d d
V	V

Вочевидь, що якщо область інтегрування є кулею з центром на початку координат та радіуса R, то потрійний інтеграл по цій області в сферичній системі координат буде мати сталі межі інтегрування за всіма змінними, тобто

		2	R
f x, y, z dV sin d d 2 f sin cos , sin sin , cos d .
V	0	0	0

Нижче на конкретних прикладах проілюстровано правила розставлення меж інтегрування в циліндричній та сферичній системах координат і показано їх геометричні та фізичні застосування.

Приклад 1. Обчислити xyzdxdydz , де V є частиною області,

обмеженої

сферою x2 y2

x2+y2=3

Рис. 10.20

z2 4 та параболоїдом

x2 y2 3z ,

розташованими у першому октанті

(рис.10.20).

Розв’язання. Перший спосіб.

Обчислення інтеграла в декартовій системі координат.

Перш ніж проектувати область V на площину xOy, знайдемо лінію перетину сфери та параболоїда. Для цього розв’яжемо сумісно ці два рівняння

x	2	y	2	z	2
x		y		z		4	z2 3z 4	0
	x2 y2						z2 3z 4	0
	x2 y2				3z

z 1 x2 y2 3.

Тобто поверхні перетинаються по колу радіуса R 3 , що лежить у площині z 1. Об’єм V проектується на площину xOy як чверть кола даного радіуса, що знаходиться у першій чверті.

Таким чином, будемо мати

																	2								2					2																	2
																	2								2					2																	2
							3						3 x											4 x			y											1		3						3 x
																								4 x			y																							2			4 x2 y2
																																																		2			4 x2 y2
xyzdxdydz xdx																		ydy														zdz									xdx							yz					x2 y2	dy
xyzdxdydz xdx																		ydy														zdz						2			xdx							yz					x2 y2	dy
D							0							0											x2 y2															0						0
D							0							0											x2 y2															0						0						3
																									3

	1	3				3x																	(x2 y2 )2
	1	xdx					y(4 x2							y2									(x2 y2 )2												)dy
		xdx					y(4 x2							y2																					)dy
2		0				0																					9
		0				0

1		3						x	2	y	2			y	4						x	4	y		2			x		2		y	4					y	6
		x(2 y2																																							)	0 3x			2	dx

	2								2					4							18							18									54
		0

	1	3		13								x5					x7									27
	1		(	13	x 2x3							x5					x7			)dx						27
			(		x 2x3															)dx
2		0	4								4						54								32				.
		0																											.
			Другий спосіб. Обчислення інтеграла в циліндричній системі
координат
	I xyzdxdydz 3 sin cos zd d dz , де																																										V	–			область змінення
			V											V !
циліндричних координат точок області V.
			Після визначення меж інтегрування одержимо
																																																					4
																		42
		2									3							42																		2						3			3	(4			2
I sin cos d 3d																								zdz							1 sin									2						(4					9 )d				27	.
I sin cos d 3d																								zdz							2			2																	9 )d					.
		0									0								2												2			2						0		0												32
		0									0								2																					0		0
																		3
			Приклад								2.						Обчислити																	об’єм																		z		y
частини								кулі												x2			y2 z2												R2 ,																	z		y
частини								кулі												x2			y2 z2												R2 ,																			= /
розташованої всередині циліндра																																																						= /
розташованої всередині циліндра
x2		y2 R2 x2									y2 z 0 (рис.10.21).
			Розв’язання. Напрямну циліндра,
що обмежена лемніскатою, побудуємо,
переходячи								до					полярних														координат																						0							x
x cos ,						y sin .												Полярне рівняння

цієї			кривої							R						cos 2 .											Крива												є								Рис. 10.21
симетричною відносно осей Ox та Oy та																																															Рис. 10.21
симетричною відносно осей Ox та Oy та
при зміненні від 0 до 4																									поточна точка , опише четверту частину

кривої. Шуканий об’єм в циліндричній системі координат обчислюють так:

														R 2 2
								4		R	cos 2			R 2 2		4 R	cos 2
V d d dz 4 d											d			dz		4 d			R2 2 d
		V1						0			0		0			0	0
	4			1	2		R2 2 3 2			R d		4	4		1 1 cos2 3			2 d
	4												4
4														R3
4														R3
		0		2	3					0	3		0
				2	3					0	3

						5 4
	4		3			5 4		2
		R	3

	3			4			3		.
	3			4			3

Приклад 3. Обчислити об’єм тіла, що обмежене поверхнями:

параболоїдом x 1 2 y2 z та площиною						2x z 2 (рис. 10.22).
	Розв’язання.	Знайдемо рівняння проекції лінії перетину поверхні
	z		x 1 2 y2 z з площиною 2x z 2 на
	z
			площину xOy. На лінії перетину аплікати
	M2	y	збігаються, тоді будемо мати
		y		x 1 2 y2 2 2x, x2 y2 1.
				x 1 2 y2 2 2x, x2 y2 1.
M1				Оскільки область V проектується на
				Оскільки область V проектується на
			коло	D	: x2	y2 1,		доцільно перейти до
				xy
			циліндричних координат. Рівняння границі
			циліндричних координат. Рівняння границі
		x Dxy в циліндричних координатах
	Рис. 10.22			2 cos2 2 sin2 1 1;
	Рис. 10.22		рівняння			площини		z 2 1 cos ;
			рівняння			площини		z 2 1 cos ;
рівняння параболоїда z x2			2x 1 y2		z 2 2 cos 1.
	При кожному значенні , : 0 1,					0 2 змінна z змінюється
від z	2 2 cos 1 (в точці M1 – точці входу в просторову область V)
1
до z2 2 1 cos		(в точці M2 – точці виходу з області V). Об’єм тіла в
циліндричній системі координат
	2	1	2 1 cos		2	1
	2	1			2	1	2 1 cos
V d d dz d d				dz d z

							2 2 cos 1 d
							2 2 cos 1 d
v	0	0	2 2 cos 1		0	0
2	1				2	1		d
d 2 2 cos 2 2 cos 1 d d 3								d
0	0				0	0

2	2	4	1	1		1


				2			.

0
0	2	4			2	4	2
	2	4	0		2	4	2
			0

Приклад 4. Обчислити об’єм тіла, що обмежене поверхнею

x2 y2 z2 2 a3 x, a 0.

Розв’язання. В цьому випадку доцільно перейти до сферичних координат, оскільки в сферичних координатах рівняння даної поверхні суттєво спрощується. Дійсно, оскільки

					x2 y2 z2											2 cos2 sin2 2 sin2 sin2 2 cos2 2 ,
то рівняння поверхні, що обмежує тіло, буде мати вигляд
					4 a3 cos sin або 3																					a3 cos sin a3												.
					4 a3 cos sin або 3																					a3 cos sin a3										cos sin		.
					Оскільки									з рівняння поверхні														випливає,					що		x 0		(ліва частина
рівняння невід’ємна ) отримаємо, що																																; при цьому					0 . Тоді
																												2		2

																											a 3 cos sin
																											a 3 cos sin
v 2 sin d d d sin d 2																										d					2d
																									2
				v													0												0

									3				a 3 cos sin																									z
													a 3 cos sin																									z
								2										d
sin d										3								d
	0							2		3			0
	0	3						2	2				0
	a	3							2
	a			sin d								cos sin d
	3			sin d								cos sin d
	3		0								2
											2																										0		y
	a3									2										a3			1 cos 2														0		y
						2				2
																																2
				sin				d						cos d															d sin			2
	3			sin				d						cos d					3							2			d sin
	3		0																3			0				2							2			x
											2
	a3						sin 2										a3					1							a3


														2										sin 2						.
														2										sin 2						.
	6							2						0			3					2							3								Рис. 10.23
														0																							Рис. 10.23
					Приклад 5. Обчислити об’єм тіла, що обмежене
																	3					a6 z2
поверхнею x2											y2					z2											, a 0. (рис. 10.23)
поверхнею x2											y2					z2					x2 y2						, a 0. (рис. 10.23)
																					x2 y2
					Розв’язання. В сферичних координатах рівняння поверхні має вигляд
															a6 2 cos2
										6					a6 2 cos2								a6ctg2 a6									ctg2		.
										6													a6ctg2 a6									ctg2		.
																2 sin2

Таким

чином,

маємо

lim a6 ctg

2 lim a

6 ctg2 ;

0 . Через

симетрію поверхня має вигляд, зображений на рис. 10.23

Об’єм тіла дорівнює

a 3 ctg

V d 2 sin d

2d 2

02 2 sin d 3

4 a3

2 sin ctg d

4 a3

sin

4 a3

Приклад 6. Обчислити об’єм тіла, що

обмежене сферою x2 y2

4Rz 3R2

та

конусом

z2 4 x2 y2

(мається на

увазі частина кулі, що лежить всередині

R R

конуса) (рис. 10.24).

Розв’язання.

Перетворимо рівняння

x2 y2 z 2R 2

R2 .

сфери:

	Рис. 10.24	Центр сфери (0,0,2R), радіус дорівнює
	Рис. 10.24	R. Знайдемо проекції ліній перетину конуса
		R. Знайдемо проекції ліній перетину конуса

та сфери на площину xOy. Для цього запишемо рівняння поверхонь у циліндричних координатах та прирівняємо аплікати.

z2 4 x2 y2 z2 4 2 , z 2

x2 y2 z 2R 2 z 2R R2 2

2R R2 2 2

R2 2 4 2 8R 4R2 5 2 8R 3R2 0 ;

Спочатку обчислимо об’єм частини кулі, що знаходиться зовні

конуса:

2 2R

V1 d d

dz 2

R2 2

2R R2 2

5 R

			R																																										R
																																													R

2 2 2 2R																																	3		2R								2
2 2 2 2R																R2 2 d 2												2							2R
			3	R																												3								2					3	R
	5			R																																									5
																																													5

	1					R				1													2														27												9
	1									1													2														27												9
2						R2 2					2 d R2 2									2							R3														R3			R3						R3
2	2					R2 2					2 d R2 2									2							R3								125						R3			R3					25	R3
	2					3	R																			3									125														25
				5			R
				5
2		1 R2 2 3 2									R					8		R3 .
		1 R2 2 3 2									R					8
								3
	2															75
	2															75
								2			3	R
											3
										5
										5
					Тоді об’єм кулі, що лежить всередині конуса, буде дорівнювати
										V					4		R3 V					4	R3								8				R3							92			R3 .
										V							R3 V						R3												R3										R3 .
															3				1		3									75										75
															3						3									75										75
					Приклад 7. Обчислити об’єм тіла x2																														y2 z2 3 a2 x2 y2 2 .
					Розв’язання. Перейдемо до сферичних координат, тоді рівняння
поверхні								буде	мати						вигляд 2 a2 sin4 ,																						або asin2 .													Обєм тіла у
сферичних координатах обчислюють так:
	2								a sin				2															3						a sin				2							2 a3
													2																					a sin															2 sin7 d

V d sin d															2d 2 sin d																										2
V d sin d															2d 2 sin d														3												2
	0							0		0											0								3					0												3			0
	0							0		0											0													0															0
								z											4 a3						6!!					4 a3										6 4 2								64 a3
																																																			.
																					3				7!!								3								7 5			3			105				.
																					3				7!!								3								7 5			3			105
																					Приклад 8. Знайти момент інерції
																					Приклад 8. Знайти момент інерції
																		відносно осі Oz однорідного тіла ( x, y, z 1),
																		відносно осі Oz однорідного тіла ( x, y, z 1),
																		що			обмежене															сферою										x2 y2				z2 2z		та
								1	1					y				конусом x2 y2																		z2 (рис. 10.25).
								1
			x																		Розв’язання.																				Побудуємо дане тіло.											Для
							Рис. 10.25											цього знайдемо лінію перетину поверхонь
																								2		y			2			z					2		2z
																					x					y						z							2z				2z2 2z z 1,
																																											2z2 2z z 1,
																					x2 y2 z2

тобто ця лінія є											колом з радіусом R 1,																										що лежить у площині z 1.

Проекцією тіла на площину xOy є коло x2 y2

Момент інерції обчислюється за формулою

Iz (x2 y2 )dxdydz.

Перейдемо до сферичних координат, тоді межі інтегрування за та

можна визначити за допомогою рівняння x2

y2 z2 . Припускаючи, що

x 0 (або y 0 ), будемо мати y z

, тобто 0 .

2 cos

Iz r2 sin2 r2 sin drd d d sin3 d r 4dr

V !

Приклад

Обчислити центр

ваги

спільної частини куль

x2 y2 z2 R2

та

x2 y2 z2 2Rz ,

якщо

густина у будь-якій точці

даного тіла дорівнює відстані цієї точки від площини xOy.

Розв’язання. Координати центра

ваги тіла обчислюють за формулами:

M yz

x (x, y, z)dxdydz

;

(x, y, z)dxdydz

M xz

y (x, y, z)dxdydz

;

(x, y, z)dxdydz

M xy

z (x, y, z)dxdydz

Рис. 10.26

(x, y, z)dxdydz

де М – маса тіла,

M yz , M xz , M xy – статичні моменти.

У данному прикладі x, y, z z . Через симетрію тіла (рис. 10.26) відносно осі Oz маємо xc yc 0 . Визначимо кут 0 , розв’язуючи сумісно рівняння сфер (у сферичних координатах):

	R;	cos	1	;		.
			1

2R cos ;		0	2		0	3

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб19kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
09.09.201992.61 Кб0kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб44Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб170Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб230Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб12Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб12Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc
#
08.09.201972.14 Кб1kursach_TAO (1).docx