Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

.pdf

Скачиваний:

238

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

4.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

досліджуємо функцію на екстремум.

>for i from 1 to n do print(Досліджується_точка_з_координатами_х=xp[i],в=yp[i]) ; a11:=subs(x=xp[i],y=yp[i],zxx);a22:=subs(x=xp[i],y=yp[i],zyy); a12:=subs(x=xp[i],y=yp[i],zxy);del2:=(a11*a22-a12^2);

if (del2>0) then if (a11>0) then zextr:=subs(x=xp[i],y=yp[i],z); print(в_точці_функція_досягає_мінімуму,zmin=zextr);fi; if (a11<0) then zextr:=subs(x=xp[i],y=yp[i],z);

print(в_точці_функція_досягає_максимуму,zmax=zextr)fi; else print(в_точці_екстремуму_немає);fi; end do;

Досліджується _ точка _ з _ координатами _ x 2, y : 1 a11: 12;

a22 : 12; a12 : 6; del2: 108;

â_ ò î ÷ö³ _ ô óí êö³ÿ _ äî ñÿãàº _ ì ³í ³ì óì y, z min 28.

Досліджується _ точка _ з _ координатами _ x 1, y : 2 a11: 6;

a22 : 6; a12 : 12; del2: 108;

â_ ò î ÷ö³ _ åêñò ðåì óì y _ í åì àº

Досліджується _ точка _ з _ координатами _ x 1, y : 2 a11: 6;

a22: 6; a12: 12; del2: 108;

â_ ò î ÷ö³ _ åêñò ðåì óì y _ í åì àº .

Досліджується _ точка _ з _ координатами _ x 2, y : 1 a11: 12;

a22: 12; a12: 6; del2: 108;

â_ ò î ÷ö³ _ ô óí êö³ÿ _ äî ñÿãàº _ м аксим ум y, z max 28.

б) У даному прикладі розглядається функція трьох змінних, тому в програмі використана більша кількість ідентифікаторів, хоча сама програма аналогічна програмі попереднього прикладу.

xp, yp, zp – одномірні масиви, в які будуть заноситися координати знайдених стаціонарних точок;

n – кількість стаціонарних точок;

ux, uy, uz – частинні похідні першого порядку ux ux ,uy uy ,uz uz ;

uxx, uyy, uzz, uxy, uxz, uyz - частинні похідні другого порядку

uxx

uyy

, uzz

, uxy

, uxz

, uyz

;

z 2

x y

x z

y z

a11, a12, a13, a22, a23, a33 – чисельні значення похідних другого порядку

в стаціонарних точках

a11

, a22

a33

, a12

x y

y x

a13

; a23

;

x z

z x

z y

y z

del1, del2, del3 – чисельні значення головних діагональних мінорів матриці

квадратичної			форми, якими			є	диференціал				другого порядку
a11	a12	a13
	a22	a23		;
a12	a22	a23		;
	a23	a33
a13	a23	a33
eq1, eq2, eq3 позначення рівнянь					u	0,	u	0,	u	0	відповідно.
					x		y		z

>restart;

>xp:=array(1..5):yp:=array(1..5):zp:=array(1..5):

>u:=2*ln(x)+3*ln(y)+5*ln(z)+ln(22-x-y-z);

u : 2lnx 3ln y 5ln z ln 22 x y z ;

> ux:=diff(u,x);

ux : 2	1	1	;
ux : 2	x	22 x y z	;
	x	22 x y z
> uy:=diff(u,y);
uy : 3	1	1		;
uy : 3	y	22 x y z		;
	y	22 x y z

> uz:=diff(u,z);

uz : 5

;

22 x y z

> eq1:=ux=0;eq2:=uy=0;eq3:=uz=0;

(прирівнюємо похідні нулю);

eq1: 2

0 ;

22 x y z

eq2 : 3

0 ;

22 x y z

eq3: 5

0 ;

22 x y z

>solve({eq1,eq2,eq3},{x,y,z});

(розв’язуємо систему рівнянь);

z 10, y 6, x 4 ; (отримане рішення); функція має одну стаціонарну точку.

>n:=1:

>xp:=[10];yp:=[6];zp:=[4]:

Обчислимо похідні другого порядку:

>uxx:=diff(u,x$2);uyy:=diff(u,y$2);uzz:=diff(u,z$2);


uxx : 2	1	1		;
uxx : 2	x2		22 x y z 2	;
	x2		22 x y z 2
uyy : 3	1	1			;
uyy : 3	y2		22 x y z 2		;
	y2		22 x y z 2
uzz : 5	1	1		;
uzz : 5	x2	22 x y z 2		;
	x2	22 x y z 2

> uxy:=diff(u,x$1,y$1);uxz:=diff(u,x$1,z$1);uyz:=diff(u,y$1,z$1);

uxy :	1	;

	22 x y z 2
uxz :	1	;

	22 x y z 2
uyz :	1	;

	22 x y z 2

обчислюємо значення похідних другого порядку в стаціонарній точці та досліджуємо функцію на екстремум:

>for i from 1 to n do print(Досліджується_точка_з_координатами_х=xp[i],в=yp[i],z=zp[i] ); a11:=subs(x=xp[i],y=yp[i],z=zp[i], zxx); a22:=subs(x=xp[i],y=yp[i],z=zp[i],uyy); a33:=subs(x=xp[i],y=yp[i],z=zp[i],uzz);a12:=subs(x=xp[i],y=yp[i],z=zp[i], uxy); a13:=subs(x=xp[i],y=yp[i],z=zp[i],uxz);a23:=subs(x=xp[i],y=yp[i],z=zp[i], uyz);

del1:=a11; del2:=subs(a11*a22-a12^2); del3:=(a11*a22*a33+ a12*a23*a13+a12*a23*a13-a13*a22*a13-a12*a12*a33-a23*a23*a11); if (del1>0 and del2>0 and del3>0)then uextr:=subs(x=xp[i],y=yp[i],z=zp[i],u); print(в_точці_функція_досягає_мінімуму,umin=uextr) else

if (del1<0 and del2>0 and del3<0) then uextr:=subs(x=xp[i],y=yp[i],z=zp[i],u); print(в_точці_функція_досягає_максимуму,umax=uextr) else print(в_точці_екстремуму_немає);fi;fi;end do;

Досліджується _ точка _ з _ координатами _ x 10, y 6, z 4;

a11:

;

a22 :

;

100

a33:

;

a12 :

;

a13:

;

a23:

;

del1:

;

del2 :

;

100

400

del3:

173

;

19200

â_ ò î ÷ö³ _ ô óí êö³ÿ _ äî ñÿãàº _ м аксим ум у, u max 2ln 10 3ln 6 5ln 4 ln 2 .

Завдання 5. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до

поверхні z 2x2 4 y2 в точці M0 2,1,12 .

Виконання. > restart;

> M:=[2,1,12];

M : 2,1,12

> fz:=2*x^2+4*y^2;

fz : 2x2 4 y2

> zx:=diff(fz,x);zy:=diff(fz,y);

zx : 4x zy 8y

> A:=(subs(x=M[1],y=M[2],zx));

A: 8

> B:=(subs(x=M[1],y=M[2],zy));

B : 8

>eqn1:=A*(x-M[1])+B*(y-M[2])=z-M[3]:

>print(рівняння_дотичної_площини):print(eqn1);

рівняння_дотичної_площини

8x 24 8y z 12 > print(рівняння_нормальної_прямої);

рівняння_нормальної_прямої

> "(x-M[1])/A=(y-M[2])/B=(z-M[3])/1";

" x M 1 / A y M 2 / B z M 3 / 1" > "(x-2)/8=(y-1)/8=(z-12)/1";

" x 2 / 8 ( y 1) / 8 z 12 / 1"

Контрольні завдання до гл. 9

Завдання 1. Знайти області визначення заданих функцій. Зробити

креслення.

9.1.1. z arcsin y x ;

9.1.2. z

sin (x2 y2 );

9.1.3.

z l n

x2 y2 1 ;

9.1.4.

x 2 y 2

;

z 1 x y 2

1 x y 2 ;

9.1.5.

9.1.6.

x y ln( y2 x2 );

9.1.7.

z x2

y2 1

9.1.8.

;

ln(4 x2 y2 );

1 x 2 y 2

z x

x 2 y 2 ;

9.1.9.

9.1.10.

ln(1 z x2 y2 );

9.1.11. u

;

9.1.12. u arccos

;

z 2

x 2 y 2

x2 y2

	x
9.1.13. z arcsin		arcsin(1 y);	9.1.14. z	(x 2 y 2 1)(4 x 2	y 2 ;
	y2

9.1.15. u ln xyz ;			9.1.16. z ln x y ;

9.1.18. z

1 x 2

y 2 1;

9.1.17.

u ln 1 x2

y2 z2

;

9.1.19. z arcsinx /

9.1.20. z

y ;

xy;

9.1.21. z

1 (x 2

y)2 ;

9.1.22. z

1 (x y 2 )2 ;

9.1.23. z

x yln x2

y2 ;

9.1.24. z

;

ln(x2 y2 )

9.1.25.

z arccos

;

9.1.26. z arcsin(x2 y2 3);

9.1.27. z arcsin(x y);

9.1.28. u

;

ln(1 z x2

y2 )

9.1.29. z

;

9.1.30. z

ln(x2 y)

4 x

2 y

y x

Завдання 2

9.2.1. u arctg

x y

du ?

1 xy

9.2.2. u x ye y ,

du ?

9.2.3. u e y

+ e y ,

du ?

9.2.4.

u (

) z , du(1;1;1) ?

9.2.5. u

du(3;4;5) ?

x 2 y 2

9.2.6.

z 4e2 y 2x 4 y 3 e y x 1. Довести, що

z 2

x z

9.2.7. z	y	. Довести, що x		z y		z z.
9.2.7. z	x2 y2	. Довести, що x		z y		z z.
	x2 y2			x		y
9.2.8. z x arctg		y	. Довести, що	x z	y z		z 0.
9.2.8. z x arctg			. Довести, що	x z	y z		z 0.
		x		x		y

9.2.9. u (xy

)z . Знайти всі частинні похідні першого порядку.

9.2.10. z=y

sin(x

2xz.

–y ). Довести, що

9.2.11. u=ln(x3 +y3 +z3 –3xyz). Довести, що

x y z

9.2.12. u= (x -y)(y -z)(z -x). Довести, що

9.2.13. u

. Довести, що

x u

u z u

9.2.14. u x

x y

. Довести, що u

y z

9.2.15. z xy xe

y z

xy z.

Довести, що x

9.2.16. z

x y

. Довести, що

y z

9.2.17. u e

. Довести, що 2 x u

u 0.

9.2.18. z

Довести, що 2 x

2 y

xsin

9.2.19. u x y . Довести, що

u 2u.

y x

lnx y

9.2.20. z

Довести, що

2z.

9.2.21. z e

y z

lny. Довести, що

lny

9.2.22. Знайти наближено 1,03 3,001.

9.2.23. Знайти наближено 1,002 2,0032 3,0043 .

1).

9.2.24. Знайти наближено 1,023 1,973 .

9.2.25. Знайти наближено arctg(1,971,02

9.2.26. Знайти наближено приріст функції z=arcsiny/x при зміні x від 5 до

4,5, а y – від 3 до 3,3.

9.2.27. Висота конуса H=10 см, радіус основи R=5 см. Як зміниться об'єм конуса (приблизно) при збільшенні висоти на 2 мм і зменшенні радіуса основи на 2 мм.

9.2.28.В усіченому конусі радіуси основ R=20 см і r=10 см, а висота h=30 см. Як зміниться об'єм конуса (приблизно), якщо R збільшити на 2 мм, r – на 3 мм, а h зменшити на 1 мм.

9.2.29.Циліндрична склянка має розміри: радіус основи R=2,5 м і висоту Н=4 м та товщину стінок l=1 дм. Знайти приблизно об'єм матеріалу, витраченого на виготовлення склянки.

9.2.30. Прямокутний паралелепіпед має виміри: a=2 м, b=3 м, з=6м. Знайти приблизно зміну довжини діагоналі паралелепіпеда, якщо a збільшити на 2 см, b – на 1 см, а зі зменшити на 3 см.

Завдання 3

9.3.1.	Довести, що функція z=arctg x/y, де x=u+v, y=u-v, задовольняє
	співвідношенню z	z	u v	.
	співвідношенню z	z	u2 v2	.
	u	v	u2 v2
9.3.2.	u sinx F siny sinx . Впевнитись, що				u cosx	u cosy cosxcosy
					y	x

при будь-якій диференційованій функції F(u).

9.3.3.

. Впевнитись,

що

1 z

при будь-якой

x x

f ( x2 y2 )

y y

диференційованій функції f(u).

9.3.4.

z y F x 2

y 2 . Довести,

що

при будь-якой

диференційованій функції F u .

9.3.5. z xy xF u , де u y / x . Довести, що

z xy.

9.3.6. z y u , де u x 2 y 2 . Довести, що

1 z

x x

y y

9.3.7. z x 2 y y 2 x , де x=u cosv, y=u sinv. Знайти

, z .

9.3.8.

u x 2

y 2

z 2 , де

x Rcos cos ,

y Rcos sin ,

z Rsin .

Показати, що u 0,

9.3.9. z=x +y + (x/y). Довести, що

x y.

9.3.10. z=1/2 (x2 + y2 ) + (x– y). Довести, що

x y.

z x2 y2 .

9.3.11. z x

x2 y2 .

Довести, що

9.3.12. z y f x2

y2 . Довести, що y2

xz.

z x

nz.

9.3.13.

. Довести, що x

2 y

9.3.14.

(xy). Довести, що x2

y2 0.

9.3.15. z y (cos(x y)). Довести, що

9.3.16.

z siny f ( sinx siny ). Довести, що secx

secy z 1.

9.3.17. z x2lny, де x


9.3.18. u	eax y z		,
		a2 1

9.3.19 z		x y		.

		f x2 y2

	u	, y 3u 2v	. Знайти	z ,	z .
		, y 3u 2v	. Знайти	z ,	z .
	v			u	v
äå y asinx,z cosx. Çí àéòè						du	.
äå y asinx,z cosx. Çí àéòè							.
						dx
	Довести, що		y z x z		z.
			x	y

9.3.20.	u	yz	,	äå x et , y lnt,z t2 1. Çí àéòè	dz	.

		x			dt

9.3.21. z= arctg(xy), де y= ex . Знайти

9.3.22. u arcsin

äå

x2 1. Çí àéòè

9.3.23. z arctg

äå

x e2t 1, y e2t 1.

Çí àéòè

9.3.24. u=xyz, де x= t2+ 1, y= ln t, z= tg t. Знайти

9.3.25. u

, де x=Rcost, y=Rsint, z=H. Знайти

x2 y2

9.3.26.

z lnsin

, äå

x 3t2 , y

t 2 1.

Знайти

9.3.27.

z ln x2

y2 , де

x3 x . Знайти z і

9.3.28.

z arctg

x y

, äå

y cosx. Знайти

1 xy

9.3.29. u

x2 y2

z2 ,

äå

x 3t 2 ,y 2t 4 ,z 4t 6. Знайти

9.3.30. z= tg (3t+2x2 –y), де x

, y

t . Знайти

Завдання 4

Знайти

2 z

для функцій:

x y

9.4.1. z ylnx ,

9.4.2. z= arcsin (xy),

9.4.3. z arctg

x y

9.4.4. z

1 xy

Знайти всі змішані похідні 2-го порядку для функцій:

9.4.6. u x z .

9.4.5.

	u	1		e	x2
9.4.7.					4t

			t
	2

. Довести, що	u		2u .
	t		x2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб50Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб238Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc
#
08.09.201972.14 Кб4kursach_TAO (1).docx