Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

2

1

2

, 2

2

Аналогічно для точки

,

одержимо рівняння

11 2

11

11

дотичної площини: x y 2z

11

0.

2

2

3y

2

47 t

2

t

2

2t 47

2x

y

x2

2 y2

t

.

2

x 94 3t 2t

x'

3 4t

27

, y'

t 1

7

, z'

1.

t

t

0

2 94 3t 2t2

t

4

t

t

0

t2

2t 47

t

t

t

0

0

0

Тоді рівняння дотичної за формулою (9.13) має вигляд

x 2

y 1

z 6

27

28

4

і нормальної площини за формулою (9.14):

27

x 2 28 y 1 4

z 6 0 , тобто

27x 28y 4z 2 0 .

2x2 3y2 z2

47 і x2 2 y2 z в точці

M

0

2;1;6 :

F1

4x

8;

F1

6 y

6;

F1

2z

12 .

x

M0

y

M0

z

M0

M0

M0

M0

8 x 2 6 y 1 12 z 6 0 .

8x 6y 12z 94 0

або 4x 3y 6z 47 0 .

Для 2-ї поверхні:

F2

2x

4;

F2

4 y

4;

F2

1 .

x

M0

y

M0

z

M0

M0

M0

Рівняння другої дотичної площини:

4x 4y z 6 0 .

4x 3y 6z 47 0,

4x 4 y z 6 0.

Перейдемо до канонічних рівнянь:

s N1 N2

i

j

k

27i 28 j 4k .

4

3

6

4

4

1

Нехай 1. Тоді s 27;28;4 .

Рівняння дотичної:

x 2

y 1

z 6

.

27

28

4

функції логарифм повинен бути

(1 – більше нуля, 2 – менше нуля, 3 –

більше одиниці). Отже, одержимо таку

y

1 x2

y2

,

систему нерівностей:

1

x y2

.

2

4

3

х

Рівняння 1 x2 y2

, x y2

є

відповідно рівняннями кола та параболи.

.

Зобразимо їх на площині та виберемо область

du

u dx

u dy

u dz .

x

y

z

Знайдемо частинні похідні:

u z xy

y ;

u xy

x ; u

xy z

.

Підставивши отримані

x

y

z

вирази в du , остаточно отримаємо:

du z xy

ydx xy

xdy xy z dz .

Приклад 9.3. Обчислити наближено

5 e0.02

2,032 .

Розв’язання. Невідому величину потрібно розглядати як значення

функції z

5 ex

y

при x 0,02, y . Для розв’язання використаємо

наближену рівність z dz , тобто

z x x, y y z x , y

z x z y .

0

0

0

0

x

y

З огляду на те, що x x0 x, y y0

y , покладемо

x0 0, x 0,02, y0 , y 0,03 .

3; z

5ex ; z

Тоді z x , y

1

5

;

z

1

2 y; z

2

.

0

0

x

x

0,

6

y

y

0,

3

Згідно з формулою одержимо:

3

5

2

5 e0.02 2,032

0,02

3,04 .

6

3

z

2 y2 ;

z

2

.

x

y

x2

Потім другі:

2 z

z

6 y2

2 z

z

2

;

;

x

2

x

y

2

y

y

x

x

x

2

z

z

змішана похідна:

.

3

x y

x

y

x

Приклад 9.5. Знайти екстремум функції z x3 8y3 6xy 1.

Розв’язання. Згідно з необхідною умовою існування екстремуму:

z

3x2 6 y 0;

3

1 0;

x

y 8y

z

y

2

6x 0;

x 4 y2 .

y

2 z

0;

2 z

;

2 z

0 .

x2

x y

y2

M1

M1

M1

Складемо

визначник

2

M

1

0

36 0 ,

отже, у точці M

1

0

екстремуму функції немає.

M

6 0

Аналогічно знаходимо

2

M

2

6

0 й

2

, отже, у

6

1

Приклад

9.6.

Записати

рівняння

дотичної

до

лінії

a

b

x a cost, y asint, z bt

a 3

у точці M0

,

,

.

2

2

3

Розв’язання. Скористаємося рівнянням (9.13). Знайдемо t0 із

системи

a

a cost0

,

2

a 3

a sin t0

t0

.

,

2

b

bt0

3

Знайдемо похідні в точці t0 :

x t0 asint0 ;

y t0 a cost0

;

z t0 b .

Тоді рівняння дотичної в точці M 0

мають вигляд:

x

a

y

z

b

.

2

3

a / 2

b

Завдання 1

а) u ln x3 y3

z3 3xyz . Довести, що

u

u

u

3

;

x

y

z

x y z

б) v arctg

x y

. Знайти повний диференціал функції

v .

1 xy

команда diff(expr,x1$n1,

x2$n2,…), де expr – вираз, що залежить від

змінних x1, x2, … , а n1,

n2 – порядки диференціювання по відповідним

змінним.

а) Позначимо частинні похідні

функції u за змінними

x, y,z

відповідно через ux u , uy u , uz

u

, а їхню суму через s u

u

u .

x

y

z

x

y

z

>u:=ln(x^3+y^3+z^3-3*x*y*z);

x3 y3

z3 3xyz ;

u : ln

> ux:=diff(u,x);

ux :

3x2

3 yz

;

x3 y3

z3

3xyz

> uy:=diff(u,y);

uy :

3 y2

3xz

;

x3 y3

z3

3xyz

> uz:=diff(u,z);

uz :

3z 2

3xy

;

z3

x3 y3

3xyz

> s:=simplify(ux+uy+uz);

s :

3

.

x y z

б) Позначимо частинні похідні функції v

по змінним x, y

відповідно vx

v

, vy

v

, а повний диференціал першого порядку dv .

y

x

vx :

1

;

1 x2

> vy:=simplify(diff(v,y));

vy :

1

;

1 y2

> dv:=vx*dx+vy*dy;

dv :

dx

dy

.

1 x2

1 y2

Завдання 2

а) Показати, що функція

z arctg

x

, де x u v ,

y u v ,

y

задовольняє співвідношенню

z

z

u v

.

u

v

u2 v2

б) Знайти частинні похідні першого порядку по змінним x, y

функції

z u2 lnv , де u

y

, v x2

y2 .

x

в) Знайти частинну похідну першого порядку по змінній t

функції

z ln 3t 2x2 y , де x

1

, y t .

t

Виконання

а) Позначимо суму частинних похідних через s

z

z .

u

v

s :

u v

.

u 2 v2

б) Позначимо zx :

z

,

zy :

z

.

x

y

> u:=y/x:

> v:=(x^2+y^2):

> z:=(u^2)*ln(v):

> zx:=simplify(diff(z,x));

zx : 2

y2 ln x2 y2 x2 y2ln x2 y2 x2

;

x3 x2

y2

> zy:=simplify(diff(z,y));

zy : 2

y

ln

x2 y2

x2 y2ln

x2

y2

y2

.

x2 x2

y2

3

4

1

t3

zt :

2

t

.

3t

2

t

t2

Завдання 3

x

а) Знайти диференціал другого порядку функції

z arctg

;