Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

.pdf

Скачиваний:

238

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

4.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

З формул перетворення маємо:

cos ,

sin ,

cos .

Тоді

z cos z sin ,

z sin z cos .

Для визначення

x ,

маємо систему лінійних рівнянь. Звідки

cos

sin

cos

sin

Останні рівності можна записати так:

де A cos , B

sin

, C sin , D

cos

z z

Підставляючи в ці формули замість z відповідно x , y , одержимо

2 z

z A

2 z

z B

A A

2 z

z A

2 z

z B

B A

Заміняючи коефіцієнти A і B і їхні похідні, остаточно знайдемо

2 z

cos2

2 z

sin cos

2 z

sin2 2 z

sin cos z

sin2 z

Аналогічно

sin2

2 z

sin cos 2 z

cos2

2 z

sin cos z

cos2 z

Отже,

2 z

1 z

2 z

2 2

Обернений метод: незалежними змінними вважаються x і y. Тоді

Для знаходження похідних x , y , x , y можна розв’язати

формули перетворення відносно та . Але можна скористатися методами диференціювання неявних функцій, не розв’язуючи рівнянь.

Дійсно, диференціюємо формули перетворення за x і y, вважаючи та функціями від x та y:

cos

sin

cos ,

sin

cos

sin

sin ,

0 cos

cos

1 sin

Підставляючи ці значення, знайдемо:

cos

sin z

z sin

cos

Обчислюємо

2 z

x2 ,

2 z

sin z

cos

sin z

sin

cos2

2 z

sin cos

2 z

cos

sin cos z

sin cos

2 z

sin2 z

sin2

2 z

sin cos z

;

2 z

cos

sin

cos z

cos

sin2

2 z

sin cos

2 z

sin

sin cos z

sin cos

2 z

cos2

2 z

sin cos z

Тому W

2 z

1 z

1 2 z

3. Метод обчислення диференціалів

Незалежними змінними вважаємо х та у (обернений метод)

z dx

z dy

d .

З формул перетворення знаходимо d та d :

dx cos d sin d

d cos dx sin dy

d sin dx cos dy

;

dy sin d cos d

z dx

z dy

cos dx sin dy

sin dx cos dy

Прирівнюємо коефіцієнти при dx і dy в обох частинах рівності:

cos

sin z

cos

sin

Запишемо вираз для d 2 z , пам'ятаючи, що незалежними змінними є х та у:

d 2 z

2 z dx 2

2 z

dxdy

2 z dy 2

x y

2 z

d d

d 2

d 2 .

Знаходимо d 2 і d 2 :

d 2 sin d dx cos d dy sin dx cos dy sin dx cos dy 1

1 sin2 dx 2 2sin cos dxdy cos2 dy 2 ;

d 2 cos d dx sin d dy 1 12 d sin dx cos dy

cos dx sin dy sin dx cos dy 12 sin dx cos dy cos dx

sin dy								1	2	sin cos				dx 2 2				sin2 cos2						dxdy 2		sin cos					dy 2 .
sin dy									2					dx 2 2										dxdy 2							dy 2 .
								2			2									2								2
			Підставимо отримані значення у вираз для d 2 z :
2 z dx 2							2		2 z		dxdy 2 z dy 2								2 z	cos dx sin dy 2
2 z dx 2							2		x y		dxdy 2 z dy 2								2	cos dx sin dy 2
x2									x y				y2						2
2		2 z				cos dx sin dy sin dx cos dy															1
2						cos dx sin dy sin dx cos dy

	2 z			sin dx cos dy 2											1
	2			sin dx cos dy 2											2
	2														2
	z		sin2				dx 2 2sin cos dxdy cos2 dy 2																1
			sin2				dx 2 2sin cos dxdy cos2 dy 2

	z				sin cos						dx	2	2	sin		2 cos2				dxdy 2		sin cos					dy		2
				2																										.
				2				2									2								2					.
								2									2								2

Порівнюємо коефіцієнти в обох частинах рівності при dx 2 :

2 z			2 z	cos2		2			cos sin				2 z	2 z			sin2				sin2	z	2	cos sin	z	.
x2		2		cos2		2								2					2				2	2		.
x2		2												2					2					2
При dy 2
2 z			2 z	sin2		2				cos sin			2 z		2 z			cos2
y2			2	sin2		2									2				2
y2			2												2				2
	cos2		z		2		cos sin z					.
					2			2				.
								2
Звідси					2 z			2 z			2 z		1 2 z			1 z				.

					x2			y2			2		2 2
					x2			y2			2		2 2

Загальний випадок заміни змінних

У загальному випадку заміняються і незалежна змінна, і функція. Для розв’язання задачі застосуємо прямий і обернений методи та метод обчислення диференціалів. Якщо формули перетворення розв’язані відносно старих змінних

x t,s,u , y t,s,u , z t,s,u ,

то вважаємо t і s незалежними змінними (прямий метод). Оскільки z f x, y , то u u t,s . Обчислюючи похідні від x,y,z по новим змінним, потрібно враховувати залежність u від t і s.

ztx

u ,t u t

zsx

u ,s u s

u .s u s

З огляду на те, що z є складною функцією від t і s, одержимо

ztz

Для визначення z

z x	z y		u	,
x t	y t	t	u t
z x	z y		u .
x s	y s	s	u s

та z маємо систему лінійних рівнянь.

Розв’язуючи її, знайдемо z та z . Щоб одержати вирази для похідних

x y

другого порядку, буде використаний той самий прийом, що й при заміні тільки незалежних змінних.

Якщо формули перетворення розв’язані щодо нових змінних t x, y,z , s x, y,z , u x, y,z ,

то звичайно використовують обернений метод, коли незалежними змінними вважаються х та у:

uxuy

u t

u s

t x

s x

z x

де

u t

u s

t y

s y

z y

z	,	t		z	,
z x		y	y	z y

z s z

z x , y y z y .

У результаті випливають лінійні відносно z та z рівняння, з яких

x y

ці похідні виражаються через x, y,z, ut , us .

Для обчислення похідних другого порядку диференціюємо вираз для

z		z	u		u
x	(або	y ) знову по х або у, розглядаючи	t	і	s	як функції від х та у за

посередництвом t і s і т.п.

Нарешті, можна використати і метод обчислення диференціалів (див. приклад).

Приклад. Перетворити рівняння x2 z y2

z2 до нових змінних

x t, y

, z

t, s, і, враховуючи що

1 ts

1 tu

Розв’язання

а) Прямий метод. Незалежні змінні t,s, a u=u(t,s):

z x

z y

1 z

x t

y t

y 1 ts 2

z x

z y

t 2

x s

y s

1 ts 2

З іншого боку,

1 t2

t 2

u .

1 tu 2

1 tu 2 s

Прирівнюючи вирази для

та

, знайдемо:

1 t2 u

y 1

ts 2

1 tu 2

Звідси

ts 2

t 2

1 ts 2

tu 2

Підставляємо в рівняння:

1 t2

1 ts

1 tu 2

ts 2

1 tu 2 s

tu 2

Після скорочення одержимо:

0 .

б) Обернений метод. Незалежні змінні х та у, а и – складна функція від х та у за допомогою t, s. Для зручності розв'яжемо формули перетворення відносно t, s, u:

uxuy

t x, s

, u

Диференціюємо по х і по у:

u t

u s

u u

1 z

;

t x

s x

z2 x

s x2

u t

u s

z .

t y

s y

y2 s

z2 y

Звідки

1 u

2 u

і т.п.

y2 s

x2 s

в) Метод обчислення диференціалів. Незалежні змінні х, у. du ut dt us ds z12 dz x12 dx;

dt dx, ds y12 dy x12 dx.

Отже,

dx .

Звідки dz z2

1 u

dy .

Але dz

z dx

z dy .

Тому

1 u

і т.п.

9.7. Геометричне застосування диференціального числення функції багатьох змінних

Нехай маємо криву лінію L у просторі, яка задана параметричними рівняннями:

x (t),
	(9.12)
y (t),	(9.12)

z (t),

де функції (t), (t), (t) – диференційовані. Тоді в кожній точці М0 (x0, y0, z0) L, у якій '(t), '(t), '(t) одночасно не перетворюються на нуль, можна записати рівняння дотичної прямої до цієї кривої. Ці рівняння мають вигляд:

x x0		y y0	z z0	.	(9.13)


( t0 )	( t0 )		( t0 )

Тут t0 – значення параметра, що відповідає точці М0, тобто x0 = (t0),

y0 = (t0), z0= (t0).

Площина, що проходить через точку М0 перпендикулярно до дотичної прямої, називається нормальною площиною. Її рівняння має вигляд:

'(t0) ( x - x0 ) + '(t0) ( y - y0 ) + '(t0) ( z - z0 ) = 0.	(9.14)
Розглянемо тепер поверхню, задану рівнянням виду
F (x, y, z) = 0.	(9.15)

Площина, у якій розташовані всі дотичні прямі до ліній на поверхні, що проходить через дану її точку М0 (x0, y0, z0), називається дотичною площиною до поверхні в точці М0.

Точка М0 називається звичайною (неособливою) точкою поверхні

(9.15), якщо в цій точці	F	,	F	i	F	існують і неперервні, причому
	x		y		z

хоча б одна з них відмінна від нуля.

Якщо точка М0 – звичайна, то в ній існує, причому єдина, дотична площина, рівняння якої буде мати вигляд:

	F (M0 )	(x x )	F (M0 )		(y y )	F(M0 )	(z z ) 0 .	(9.16)

	x	0	y	0		z	0

Пряма, що		проходить		через точку М0			поверхні	(9.15)

перпендикулярно до дотичної площини в цій точці, називається нормаллю до поверхні. Рівняння цієї прямої визначають в такий спосіб:

x x0			y y0			z z0			.	(9.17)
F (M	0	)	F (M	0	)	F (M	0	)	.	(9.17)
	0			0			0
x			y			z

Зокрема, якщо поверхня задана явно, тобто рівнянням z=f(x, y), де f(x, y) – диференційована функція в точці (x0, y0) і f(x0, y0) = z0 , то рівняння дотичної площини записується так:

f (M0 ) (x x ) f (M0 ) (y y ) (z z ) ,

а рівняння нормалі:

x x0

y y0

z z0

f (x0 , y0 )

Приклад 1. Знайти рівняння дотичної площини

поверхні z 2x 2 4 y 2

в точці М0 (2, 1, 12).

Розв’язання

f 4x,

f =8 y;

при x =2, y =1

=8.

(9.18)

(9.19)

і нормалі до

Отже, рівняння дотичної площини, згідно з (9.18), буде мати вигляд:

8 x 2 8 y 1 z 12 або 8x 8y z 12 0 .

Рівняння нормалі:

x 2		y 1	z 12	.

8	8		1

Приклад 2. Провести до поверхні x2 + 2y2 + z2 = 1 дотичну площину, яка паралельна площині x y 2z 0.

Розв’язання. Запишемо вектор нормалі до даної площини: n1(1; 1;2 ).

Знайдемо				координати											вектора							нормалі										до			даної					поверхні в			точці
M 0 x0 , y0 , z0 . Це будуть																	F			, F ,						F				, обчислені в точці М0. У даному
																	x				y					z
прикладі F(x, y, z) = x2 + 2y2 + z2 – 1.
	Отже,					F( M0 )						2x0 ,					F( M0 )									4 y0 ,						F( M0 )								2z0 .
	Отже,						x					2x0 ,								y						4 y0 ,									z					2z0 .
							x													y															z
	Запишемо							умову							колінеарності														вектора								n1 вектору					нормалі до
поверхні в точці М0:
																2x0						4 y0						2z0			.
																	1					1							2		.
																	1					1							2
	Звідси знайдемо x														;				y						;					z	.
														0	2				0							4				0
															2											4
	Оскільки							точка							М0			лежить									на				поверхні,									то її		координати
задовольняють рівнянню поверхні, тобто																														2			2							1, звідки
задовольняють рівнянню поверхні, тобто																														4			8				2			1, звідки
																														4			8

	2	2		и x								2	; y						1 2					; z						2				2		.
				и x									; y											; z					0	2						.
	11						0				11				0				2			11							0				11
	11										11								2			11											11
	Запишемо									тепер							рівняння												дотичної									площини				в	точці

	2		,		1			2				2
M0									,2						:
M0	11				2		11		,2			11			:
	11				2		11					11

					2							2					2						1 2												2						2
	2						x								2						y											4						z	2			0
	2						x								2						y											4						z	2			0
					11						11						11						2				11								11						11
або

																x y 2z														11	0 .
																x y 2z															0 .
																														2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб50Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб238Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc
#
08.09.201972.14 Кб4kursach_TAO (1).docx