Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

.pdf

Скачиваний:

236

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

4.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Завдання 5. Знайти величину і напрям найбільшої швидкості зміни поля в точці А. У яких точках поле стаціонарне?

12.5.1.xyz 2 , A(1, – 1, 3);

12.5.2.x2 y 2 z 2 2xyz , A(1, – 1, 2);

12.5.3.

, A( – 1, 1, – 1);

12.5.4.

ln x2 y2

z2 , A(1, 1, 1);

12.5.5.

e x x y3

3y , A(0, 2);

12.5.6.

xy yz xz ,

A(1, 1, 1);

12.5.7.

x2 y y 2 z xz 2 ,

A(1, 0, 0);

12.5.8.

A( – 1, 2, – 2);

x2 y 2 z 2 1

12.5.9.

x3 y2 3x2 6xy , A(4, – 1, 2).

Знайти найбільшу крутість підйому поверхні (x, y, z) 0 в точці A:

12.5.10.

9 x2

4 y 2 z 0 , A( – 2, 1, 1/3);

12.5.11. ln x2

4 y2 z 0,

A(0, 5, 2ln10);

12.5.12.

z 0 ,

A(2, 1, 3).

Знайти кут між градієнтом поля x, y,z в точці А та нормаллю до

площини z =0:

y2 3xyz ,

12.5.13.

ln x2

A(1, – 1, 0);

9 z 2 ,

12.5.14.

A( – 1, – 1, 2);

12.5.15.

x2 y 2 z 2 32 ,

A(1, – 2, 2);

12.5.16.

arctg

yz ,

A( – 1, – 1, 2);

12.5.17.

x2 y 2

4z ,

A( – 3, – 4, 2);

16 x2

12.5.18.

yz ,

A( – 3, – 4, – 9);

ln 1 y2 x

12.5.19.

z ,

A(1, – 2, 4);

181

12.5.20.

x2 2 y2 2z2 1,

A( – 1, 2, – 2);

12.5.21.

xy 2 2

x3 z ,

A(2, 4, 2);

12.5.22.

2ln x2

5 3xyz ,

A( – 1, 2, 3);

ln 1 x2

12.5.23.

A( – 1, 0, 2);

12.5.24.

x2 z 2

4 y ,

A( – 2, 3, 0);

12.5.25.

2ln 5 x2 3xyz ,

А( – 1, 2, 3).

12.5.26.

xyz 2 , A(1, – 1, 3);

12.5.27.

x2 y 2 z 2 2xyz ,

A(1, – 1, 2);

12.5.28.

, A( – 1, 1, – 1);

12.5.29.

ln x2 y2

A(1, 1, 1);

12.5.30.

x y3 3y

z ,

A(0, 2, 1).

Завдання 6. Знайти векторні (силові) лінії векторних полів:

12.6.1.

;

12.6.2.

jx 5zi

x y k ;

12.6.3.

x2 y2 z2

yj z

k ;

12.6.4.

2yi

2xj

x2 y2 k ;

12.6.5.a r r 3 ;

		x y2						y2
12.6.6.	a	x y2	z2 i y x2 z2				j z x2	y2	k ;
12.6.7.
12.6.7.	a	, r	, де – постійний вектор;
12.6.8.			2
12.6.8.	a	z y		i	zj	yk ;

12.6.9.	a	z y i		x z j y			x k ;

12.6.10.						12.6.11.
12.6.10.	a	x2i	y3 j z 2k ;			12.6.11.

12.6.12.	a	x y i		x y j		zk ;

12.6.13.	a	y z i		yj	zk ;	12.6.14.

					z				;
a	x 3 i		2 yj		z		2	k	;
							2
				x2		z2
a	2zi	2xj		x2		z2			k ;

182

12.6.15.
12.6.15.	a	x2i	yj	z 2k ;


12.6.16.	a	x 1 i	3yj	5zk ;

12.6.17.
12.6.17.	a	x y i	x y j	zk ; 12.6.18.


a	7xi	4yj	zk ;

12.6.19.
12.6.19.	a	5xi	yj ;
12.6.21.
12.6.21.	a	2xj 4 yk ;
12.6.23.
12.6.23.	a	i x 7 yk ;
12.6.25.
12.6.25.	a	5zi	2 yk

12.6.27.	a	exi	y2 j	yex k ;
12.6.29.			x
12.6.29.	a	xyi	x	2z j	yzk ;

12.6.20.
12.6.20.	a	5yi		7zk ;
12.6.22.
12.6.22.	a	9 yj	11zk ;
12.6.24.
12.6.24.	a	2 yj	3zk ;

12.6.26.	a	yi xj		x y i	;

12.6.28.a xyi x2 j yzk ;

12.6.30.a xzi yzj xk .

									крізь поверхню S:
Завдання 7. Обчислити течію векторного поля a

12.7.1.	a	x2i	y 2 j		z 2k ,	де	S	–	частина	сфери
x2 y2 z 2	1, яка належить			другому октанту (нормаль утворює гострий
кут з віссю OZ);
12.7.2.						де S	–	бічна	поверхня	конуса
	a	r xi yj			zk ,
x2 y2 z2 ,	z 4 (нормаль утворює гострий кут з віссю OZ);

12.7.3.a xi yj zk , де S – зовнішня сторона бічної поверхні

прямого кругового конуса з основою в площині XOY і вершиною на осі OZ (висота конуса h 1 , радіус основи r 2 );


12.7.4.	a	yzi	xzj xyk ,		де S	– зовнішня			сторона		бічної
поверхні піраміди		з вершинами		в	точках	А(2,0,0), В(0,1,0),				D(0,0,2),
О(0,0,0) і основою ОАВ;

12.7.5.	a	xyi	xzj yzk ,		де	S	−	частина		площини
x y z 0 , що відсікається площинами x 0 ,							y 0 , x y 1 (нормаль
утворює гострий кут з віссю OZ);

12.7.6.	a	x2i	y 2 j z	2k , де S – верхня частина розташованої
в другому октанті поверхні x2 y 2				2bz b2		( b 0 );

12.7.7.	a	xyi	5z 2 j 8k ,		де	S	–	круг,	який		сфера
x2 y 2 z 2 9	вирізує на площині x y 3 (нормаль утворює тупий кут
з віссю OУ);

183

12.7.8.

де S

–

зовнішня

сторона

частини

x2i

xzk ,

поверхні

параболоїда

y x2

z2 ,

яка

належить

першому

октанту і

обмежена площиною y 1;

12.7.9.

( y z) j (z y)k ,

де S – верхня сторона

частини сферичної поверхні

x2 y 2 z 2

9, що розташована в першому

октанті;

12.7.10.

(x z)i

(z 2 y2 ) j

z)k ,

де

S –

зовнішня

сторона

частини

циліндричної

поверхні

x2 y2 R2 ,

обмеженої

площинами z 0 , z 8;

12.7.11.

3xi

де

–

зовнішня

сторона

частини

поверхні параболоїда x2 y2

9 z , що розташована в першому октанті;

12.7.12.

yj zk де S – верхня сторона круга, яка вирізана

конусом z x2

y 2 на площині z 3;

12.7.13.

де

–

верхня

сторона

частини

i x2 jy2

kz2 ,

сферичної поверхні x2 y 2 z 2

9, розташованої в третьому октанті;

12.7.14.

xyi

yzj

z2k ,

де

–

частина

площини

x 3y 4z 12 ,

яка відсічена

координатним

кутом (нормаль

утворює

гострий кут з віссю OZ);

12.7.15.

3x2 j

8xzk ,

де

–

верхня

сторона

частини

конуса

4x2 9 y2 (z 4)2 ,

що

розташована

над

площиною XOY

( 0 z 4 );

12.7.16.

де

–

верхня

сторона

2xi

(x z) j (z x)k ,

частини параболоїда 4 z x2

y2 , що розташована в другому октанті;

12.7.17.a xzi xyj yzk , де S – частина зовнішньої сторони

параболоїда	x y2	z2 ,	що належить		першому	октанту і	обмежена
площиною x 1;

12.7.18.	a	2xi	4 yj	12zk ,	де S –	частина	площини
x 2y 6z 12 0 ,		що відсічена координатними площинами (нормаль
утворює гострий кут з віссю OZ);

184


12.7.19.	a	(5 2x)i	3yj	(8 6z)k , де		S	–	нижня		сторона
круга, який утворений перетином поверхонь					4z x2	y2 ,
круга, який утворений перетином поверхонь
					z 4;
			(3z2
12.7.20.	a	(1 2x)i	(3z2	4) j (2 5z)k ,			де	S	–	верхня
сторона частини поверхні x2 y2				6z 9 ,	що розташована в третьому
октанті;

12.7.21.	a	(x2 y2 )i ( y		2 z2 ) j	(z2 x2 )k ,			де	S –	частина

площини x y z 4 , що відсічена координатними площинами (нормаль утворює гострий кут з віссю OZ);

(3z

12.7.22.

2x)i (2y 4xz 2 ) j

(2 z)k ,

де S

–

зовнішня

сторона частини поверхні конуса з першого октанта

(z 4)2

x2 y2 ,

z 0,4 ;

12.7.23.

2xi

4 yj

12zk , де

–

частина

площини

x 2y 6 12 0 ,

що відсічена координатними площинами (нормаль

утворює гострий кут з віссю OZ);

12.7.24.

де S

–

зовнішня

(x 2z)i

( y 2x) j

2 y)k ,

сторона частини поверхні сфери x2 y2

4 , розташованої у другому

октанті;

( y

12.7.25.

(z 3x)i

(2x y) j

z)k ,

де

–

частина

площини x 2y 3z 6 ,

що відсічена координатним кутом (нормаль

утворює гострий кут з віссю OZ);

12.7.26.

x 2z i

3z 4x j 5x y k , де

– верхня

сторона трикутника з вершинами у точках А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1);

12.7.27.

x2i xj xzk ,

де S

–

частина

зовнішньої сторони

параболоїда

обертання

x2 z2 y ,

що

лежить

першому

октанті

обмежена площиною y 1 ( y 0,1 );

12.7.28.

xj 5zk , де S – верхня сторона трикутника АВС,

отриманого при перетині

площини

x 2y 3z 6 0

з координатними

площинами;

12.7.29.

де

–

зовнішня

сторона

поверхні

9 j ,

параболоїда

обертання

y x2

z2 ,

обмеженого

площиною

y 4

та

розташованого в другому октанті;

185

12.7.30.								– зовнішня
12.7.30.		a x z i				z2 y2 j x z k , де S		– зовнішня
частина	циліндричної поверхні					x2 y2 R2 ,	що обмежена	площинами
z 0 , z b (нормаль утворює гострий кут з віссю OХ).
Завдання 8. Обчислити течію вектора a							крізь замкнену поверхню S
(безпосередньо і за теоремою Остроградського – Гаусса):
						S: x2 y2 z	2 R2 ;
12.8.1.	a	x3i	y3 j	z3k ,		S: x2 y2 z	2 R2 ;
12.8.2.						x2 y2 z 2	9,
12.8.2.	a	2xi	yj zk ,		S:
						0 z 1;

12.8.3.a xyi yzj xzk


12.8.4.	a	3xi	2zj	yk ,

,S: x2 y2 z 2 1,

x 0, y 0, z 0;

x y z 2,

S: x 0, y 0, z 0;

12.8.5.

x2 y2 z 2 R2 ,

(x z)i

( y x) j

( y z)k , S:

12.8.6.

z 2 1,

yzi

yk ,

z 1, z

12.8.7.

x2 2 y z 2 1,

2xi

2 y) j

2zk

y 0, z 0;

12.8.8.

z 2

25,

2x)i yj zk

z 4, z 0;

12.8.9.

z 4,

xi xzj

yk ,

z 0, z

12.8.10.

z 2

y2 ,

2 yzk , S:

y 1, y 0;

12.8.11.

2xi

1 k ,

z 0, z

186

12.8.12.								x2 y2 z 1,
12.8.12.	a	xi	2 yj			zk ,		S:
								z 0;
12.8.13.								, S:	x2 y2		z 3,
12.8.13.	a	3xi		2yj			zk	, S:
									z 0;
12.8.14.				2	x				x2		y2 z 4,
12.8.14.	a	2xi		2		j	( z 1)k		, S:	8;
									z	8;

12.8.15.					,	x2	y2	9,
12.8.15.	a	3xi	2 yj	zk	,	S:
						z 0, z		1;

12.8.16.

x y z 3,

5xi

2zj

yk , S:

x 0, y

0, z

12.8.17.

, S:

x2 y2

z 9,

2xi

12.8.18.

, S:

y 2

z 2 1,

xyi

yzj

xzk

x 0, y

0, z 0;

12.8.19.

y 2

2x z i

2y x j

y 2z k ,

x z,

12.8.20.

z 2 ,

2 3x i

2zk

4, z 0;

12.8.21.

x y z 3,

5xi

2zj

yk ,

x 0, y 0, z 0;

12.8.22.

, S:

9 ;

j 2z

12.8.23.

z 2 x2 ,

3yzk ,

12.8.24.

x2 y 2

z 2 4,

xyi

yzj

xzk , S:

x 0, y 0, z 0;

12.8.25.

y2 2z,

y i

y2 j

yzk ,

x 0, z 1, y 0;

x2 y2

4 ;

12.8.26.

2 yj

S :

187


12.8.27.	a	xi yj		1 z k

12.8.28.	a	x3i	y3 j		z3k ,

, S:	x2 y2 z 2 ,
, S:		z H ;
	0	z H ;
			R	2
				2
x2		y2			z 2	,
x2		y2	H 2		z 2	,
S:			H 2
	0	z H ;
	0	z H ;

12.8.29.					x2		y2 z 2 ,
12.8.29.	a	xi	yj	1 z k	, S:	z H ;
					0	z H ;
12.8.30.							x2 y		2 1 2z,	.
12.8.30.	a	2xi 2yj 2(2z			1) k ,		S:			.
							z	0;
Завдання 9. Обчислити лінійний інтеграл векторного поля
лінії L:
12.9.1.						,	L −	перша арка
12.9.1.		a	2c y i		y c j	,	L −	перша арка
x c t sin t ,		у напрямі зростання параметра t ;
		у напрямі зростання параметра t ;
y c 1	cost ,

a вздовж

циклоїди

y 2

, L − дуга еліпса

12.9.2.

y j

від точки

А m,0,0 до точки В 0,n,0 ;

z 0

12.9.3.

−

дуга

yz i

xz j

z2 xy k ,

гвинтової лінії: x bcos ,

y bsin , z h / 2 від А b,0,0 до В b,0,h ;

12.9.4.

L −

дуга

гвинтової

лінії:

yzi

z 9 y2 j

xyk ,

x 3cost , y 3sin t , z 2t / від точки А − перетину лінії з площиною XOY до точки В − перетину лінії з площиною z 4 ;

12.9.5.		y2 z2					L:	x t ,	y t ,	z t 3	в
12.9.5.	a	y2 z2		i	2yzj	x2k ,	L:	x t ,	y t ,	z t 3	в
напрямі зростання параметра				t	( 0 t 1);

12.9.6.	a	xi	yj x y 1 k , L				–	відрізок	прямої	АВ,	де
А(1,1,1), В(2,3,4), в напрямі від точки А до точки В.
12.9.7. Обчислити роботу силового поля
12.9.7. Обчислити роботу силового поля								a 2xy	y i x2 x j

x2 y 9,

при переміщенні матеріальної точки вздовж кривої L: від точки

y 0

М(3, 0) до точки N( – 3, 0).

188

12.9.8. Обчислити роботу силового поля

при переміщенні

a yi xj

2x2 y2

матеріальної точки вздовж кривої L:

від точки М(

,0 ) до

y 0

точки N(

,0 ).

12.9.9. Обчислити роботу сили

f при переміщенні точки М вздовж

дуги еліпса x acost ,

z 0 ,

3 sin t ,

що лежить у першому квадранті,

у напрямі зростання параметра t . Сила f

за величиною дорівнює відстані

від точки М до центра еліпса і напрямлена до центра ( f xi

yj ).

12.9.10.

Знайти роботу сили

при переміщенні точки М вздовж

кола x cost ,

y 1, z sin t

від точки А(0,1,1) до точки В(1,1,0). Сила f

обернено

пропорційна

за

величиною відстані

точки

до

осі

OZ,

перпендикулярна цієї осі і напрямлена до неї ( f

j ).

12.9.11. Знайти роботу сили

при переміщенні матеріальної точки

вздовж прямої від точки А(1,1,1) до точки В(2,2,2), якщо за величиною

сила f

обернено

пропорційна відстані

від

точки

її

прикладання до

площини

XOY

напрямлена

до

початку

координат

( f 1

xi yj zk

x2 y2 z 2

12.9.12.

Знайти

роботу сили

f 2xyi

x2 j

вздовж

дуги

кола

одиничного радіуса від точки А(1,0) до точки В(0,1).

12.9.13.

Знайти

роботу сили

f 2xyi

x2 j

вздовж

дуги

кола

одиничного радіуса від точки А(0,1) до точки В( – 1,0).

12.9.14. Знайти роботу сили f

x y i

xj z

2 k

при переміщенні

x2 y2 4z 2 0,

точки М в додатному напрямі вздовж кола L:

12.9.15. Знайти

роботу сили

f 2 yi

2zj

3zk

при переміщенні

точки М в додатному напрямі вздовж кривої L: 2x2 y2 1,x y z 3.

189

2 y

12.9.16. Знайти роботу сили

y 1 j

при переміщенні

точки

М вздовж

першої

арки

циклоїди

L: x 2 t sin t ,

напрямі

y 2 1 cost

спадання параметра.

12.9.17. Знайти роботу сили

x2 yz i

y2 xz j

xy k

вздовж

гвинтової

лінії

від

точки

А(2,0,0)

до

точки

В(2,0,3),

x 2cos ,

L : y 2sin ,

12.9.18.

Знайти

роботу

сили

2 z2 i 2yzj

x2 k

вздовж

кривої L: x t, y t 2 ,

z t3 від точки А(1,1,1) до точки В(2,0,3).

12.9.19.Знайти

роботу

сили

yz i

yz j

xy k

вздовж

гвинтової лінії

L : x 3cost,

y 3sin t, z

від точки А(0,3,1)

до точки

В(3,0,0).

12.9.20. Знайти роботу сили

вздовж

дуги

еліпса L:

1, z 0 від точки А(3,0,0) до точки В(0 – 5,0).

12.9.21.

Знайти

роботу

сили

yz i

xy k

вздовж

гвинтової лінії

L : x 4cost,

y 4sin t,

від точки перетину лінії з

площиною ХОY до точки перетину лінії з площиною Z=4.

12.9.22. Знайти роботу сили

4 y i y 2 j

вздовж

другої

арки циклоїди L: x 2 t sin t ,

у напрямі спадання параметра t.

y 2 1 cost

12.9.23. Сила за величиною дорівнює відстані від точки М еліпса

x 2cost, y 3sin t,

z 0 та

спрямована до

центра

еліпса

yj .

Обчислити роботу сили щодо переміщення точки М вздовж

дуги еліпса

від точки М1( – 2,0,0) до точки М2(0,3,0).

12.9.24.

Знайти

роботу

сили

2xy y i x2 x

щодо

переміщення точки вздовж дуги параболи y 9 x2 від точки

М1(–3,0) до

точки М2(0,9).

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
01.03.2025705.3 Кб0Kultura_KhIKh_s1pravka-1.rtf
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc
#
08.09.201972.14 Кб3kursach_TAO (1).docx