Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

.pdf

Скачиваний:

236

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

4.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

може

бути

обрана

частина

площини

x 2z 5,

обмежена

контуром

(обирається верхня її сторона, оскільки обхід на контурі позитивний).

Обчислюємо:

rot a

j .

Визначаємо напрямні косинуси зовнішньої нормалі до поверхні. У

даному випадку рівняння поверхні F x, y, z x 2z 5 0 ;

1 i

j 2k

cos

тоді n

k ,

Визначаємо циркуляцію за теоремою Стокса:

rot a, n0

C rot a, n

cos

dxdy .

DXOY

z f ( x, y)

2k i

j dxdy =

dxdy =

2 .

DXOY

Приклад

19.

Обчислити

циркуляцію

векторного

поля

a xyi

yzj

xzk

вздовж

лінії

перетину

циліндра і площини (рис. 12.14),

якщо рівняння

лінії

y2 1,

L :

x y z 1.

Розв’язання

1 спосіб. Безпосереднє обчислення.

xydx yzdy xzdz . Лінія

C adr

L − еліпс,

що

проектується

на площину XOY в коло

x2 y2

Цей еліпс у параметричному вигляді

x cost

може

бути

подано

як

sin t

Рис. 12.14

L : y

1 cost sin t

0 t 2.

Звідси

dx sin tdt ,

dy costdt, dz sin t cost dt

підінтегральний вираз набуває вигляду:

xydx yzdy xzdz = cost sin 2 tdt sin t 1 cost sin t costdt +

171

+cost 1 cost sin t sin t cost dt = 3sin 2 t cost 2sin t cost sin t cos2 t −

cos2 t cos3 t dt .

cos2t

Циркуляція C 3 sin 2 t d sin t + sin 2tdt +

cos2 t d cost

−

dt +

4sin 3 t

cos2t

cos3 t

sin 2t

+ 1 sin

=−.

t d sin t =

sin t

спосіб.

Обчислення

за

теоремою

Стокса C a, 0 dl =

0 ds , де S

= rot a, n

є будь-яка поверхня, натягнута на контур L .

Доцільно

за

поверхню

даному

випадку

обрати

площину

x y z 1,

що має нормаль

;

. Проекцією цієї нормалі

на площину XOY буде круг (рис. 12.15).

ds =

rot a, n0

dxdy ;

C rot a, n

cos

z=0

DXOY

z 1 x y

DXOY

–1

1 x

k x =

rot a

= i

Рис. 12.15

= yi

; rota, no

y z ;

cos

;

rot a, n0

= 1. Отже,

dxdy .

cos

z 1 x y

DXOY

Контрольні приклади до гл. 12

Перш ніж почати виконання індивідуального розрахункового завдання, читач може разом з нами розв’язати декілька типових завдань,

замінюючи знак необхідними числами і виразами.

Приклад 12.1. Знайти лінії рівня скалярного поля u x,y x2 y2 2x .

172

Розв’язання. Складемо рівняння ліній рівня поля: u x, y C .

Для того щоб встановити, які лінії описуються даними

співвідношеннями

при

різних

значеннях

C , перетворимо рівняння,

виділивши повний квадрат: x 2 y2 C .

Якщо права частина рівняння додатна,

тобто C , то лініями рівня

поля є сім’я кіл з центром у точці ;

і радіусом

C . При

C лінії рівня вироджуються в точку з

координатами

; . При

C дійсних ліній рівня не існує.

Приклад

12.2.

Знайти

поверхні

рівня

скалярного

поля

u x, y,z

x2 y2

Розв’язання.

Задане скалярне поле визначене усюди,

окрім осі

(осі позначені цифрами 1,

2, 3

–

відповідно осі ОХ, ОY, OZ). Рівняння

поверхонь рівня поля:

C .

x2 y2

Якщо C ,

то рівняння

z C

x2 y2

описує

верхню частину

поверхні

(цифрами позначені поверхні:

1 – сфери, 2 – однополого

гіперболоїда,

– конуса). При C

рівняння визначає нижню частину

поверхні

При

поверхнею рівня

є вся площина z ,

окрім

точки ; ; .

Приклад

12.3.

Оцінити

характер

зміни

поля

u x, y,z ln x2

y2 z2

в точці M 3;0;4

у напрямі радіуса-вектора

цієї точки.

Розв’язання. Характер зміни поля в даній точці М в заданому

напрямі

визначається похідною

за напрямом, обчисленою

точці

М:

u,l 0

Вектор

l 0

направлений

так само,

як

вектор

l ,

l 0

обчислюється за формулою

, а його довжина

l 0

173

У нашому випадку:

r M i j k ;

;

k .

Знайдемо градієнт u

;

. Частинні похідні:

де r2 x2 y2 z2 .

;

Остаточно маємо: u

;

Обчислюємо скалярний добуток градієнта на орт l 0 :

Оскільки u

, то поле в точці М в даному напрямку є

(1 –

зростаюче, 2 – спадне, 3 – стаціонарне).

Приклад

12.4.

Знайти

течію

векторного

поля

a x ez i 2y x j zk

через

зовнішню

сторону поверхні сфери

x2 y2 z2 9 .

Розв’язання. Оскільки поверхня замкнена, то для обчислення течії скористаємося теоремою Остроградського – Гаусса: diva dv .

Дивергенція diva – це (1 – векторна, 2 – скалярна)

характеристика векторного поля. Операція обчислення дивергенції за допомогою «набла» - оператора може бути записана як diva ,a . У

нашому випадку: diva 1 .

Тоді течія dv dv . Оскільки dv V , де V – це
	V		V	V

об'єм кулі, то		4	3 .

	3
Приклад 12.5. Знайти течію векторного поля a xi yj zk крізь
бічну поверхню	конуса		x2 y2 4z2 ,	0 z 1. Нормаль до поверхні
утворює гострий кут з віссю Oz .

174

Розв’язання. Течія поля a крізь поверхню обчислюється за формулою: a,n0 ds , де n0 – орт нормалі до поверхні.

S
Якщо поверхня задана рівнянням F x, y,z 0 , то	n0	F	(знак

		F
		F

визначається стороною поверхні). У нашому випадку:

F x, y,z x2 y2

4z2 ; F 2xi 2 yj zk ;

x2 y2 z2 .

За умовою завдання нормаль до поверхні утворює гострий кут з віссю OZ ,

отже, напрямний косинус нормалі з віссю

повинен бути додатним.

Оскільки z 0,1

Fz 0 , то n0

xi yj zk

x2 y2 z2

Тоді течія a,

ds .

Поверхня однозначно проектується на площину XOY , отже, отриманий поверхневий інтеграл може бути обчислено за формулою

a,n0	1		dxdy ,
		cos

Dxoy			z x,y

де Dxoy – проекція поверхні на площину XOY , в нашому випадку – це круг

радіуса з центром у точці

;

z x, y

cos

;

y2 ;

x2 y2 z2

2 x2 y2 ;

dxdy

y2 dxdy

x2 y2

x y

x2 y2

dxdy d d

d 2d

175

Контрольні завдання до гл. 12

Завдання 1. Знайти поверхні (лінії) рівня скалярного поля:

12.1.1. x2 2 y ;

12.1.2. arcsin

;

x2 y2

12.1.4. ln r 2 ,

12.1.3.

2x ;

x2 y2 ;

12.1.5.

;

12.1.6. R2 r 2 , r

x2 y2 z2 ;

12.1.7.

z ,

a,r

zk ,

a – постійний вектор;

12.1.8.

2x2 4 y2

12.1.9.

z2 x2 y2 ;

12.1.10.

tg x2 y2

2z2

;

12.1.11. z x2 y2 ;

12.1.12.

4 y

;

12.1.13.

x2 4 y

;

12.1.14. arctq

;

12.1.15.

ln r 3 ;

z 2 y2

12.1.16. 2x2 4 y 2

4 y ;

12.1.17. 4z 2 x2 y 2 ;

12.1.18. ctq x2

2z2

;

12.1.19. z 2x2

2y 2 ;

12.1.20. z 2

4x2 4y 2 .

12.1.21. arctg x2

12.1.22.ln 5 r , r x2 y2 z2 ;

12.1.23.arctq r 3 , r x2 y2 z2 ;

12.1.24. x2 z2 2x ;

12.1.25. z2 x2 y2

2x ;

12.1.26.

;

12.1.27. x2 y x ;

y 2

12.1.29. ln r 1 , r

12.1.28.

y 2 y 2

;

z2 y2 ;

12.1.30.

x2 y2

Завдання 2. Знайти градієнт скалярного поля, якщо r

zk ,

r x2

, a і b − постійні вектори:

176

12.2.1.	r 4				3 ;
12.2.1.	r 4	a, r			3 ;
			;
12.2.3.	a, r		;
	r 3
12.2.5.
12.2.5.	a,[b,r ] ;
12.2.7.
12.2.7.	a, r 2 ;
12.2.9.			2			3
12.2.9.	a, r		2	b, r			;
12.2.11.				2
12.2.11.	a,b, r				;

3 3

12.2.13.r a,r ;

12.2.15.								;
12.2.15.	a,r		, r ,b					;
12.2.17.						3 ;
12.2.17.	r 2 a,r					3 ;
		a, r o

12.2.19.		r 2			;
		r 2
12.2.21.						;
12.2.21.	[b,r ], r					;
12.2.23.				;
12.2.23.	r , a,b			;			;
12.2.25.
12.2.25.	r , a ,			r ,b

12.2.2.							;
12.2.2.	f r 2 a,r						;
12.2.4.
12.2.4.	r ,[b, r ] ;
12.2.6.				;
12.2.6.	r a, r			;
12.2.8.						;
12.2.8.	a, r		, b, r			;
		a, r o

12.2.10.		r 4		;
		r 4
12.2.12.				2 ;
12.2.12.	r3 a, r			2 ;
12.2.14.
12.2.14.	r ,[r ,b] ;
		a, r o

12.2.16.		r 3			;
		r 3
12.2.18.
12.2.18.	r3 a,r ;

12.2.20.r r ,a ;

12.2.22.	r3			2 ;
		a, r
12.2.24.
	r , a 2 ;
12.2.26.			3 ;
	r a,r

12.2.27.		;
	f r a,r
12.2.29.
	[b, r ],a ;

a, r ;

r 2

r , a ,[b,r ] .

Завдання 3. Знайти вектори нормалей до поверхні F(x, y, z) 0 в точці А (x0 , y0 , z0 ) :

12.3.1.	x2 y2 z2 6y 4z 12 0 ,						A(2,8,0);
12.3.2.	x2 y2	3z 0, A( – 3,0,3);
12.3.3.	x2 y2	3z 2 2 y 0 , A(0, – 3,1);
12.3.4.	x2 y2 z2 2x 0 , А x		, y	0	,z	0	– точка, в якій нормаль до
		0		0		0

поверхні колінеарна осі OY;

12.3.5. x2 y2 z 0 , A(1,2,5);

177

12.3.6.

z 2

0 ,

A(4,3,4);

12.3.7.

4z 0 ,

A 2cos , 2sin ,2 ;

12.3.8.

3xyz z3 8 ,

A(0,2 – 2);

12.3.9.

y2 ,

A(2 – 1,1);

12.3.10. z x2

xy x y 1, A(2, – 2,9);

12.3.11. z x3

3xy ,

A(1,1 – 1);

12.3.12.

z 2

у точці А x , y

, в якій нормаль утворює рівні

кути з осями координат;

12.3.13. x

2 y2

2z2

A(1 – 1,1);

12.3.14. x

2 y2

2z2

A( – 1,1, – 1);

12.3.15.

4x2 y2 z2

16, A( – 2,1, – 1);

4z2

0 ,

12.3.16.

A(2, – 2, –

2 );

12.3.17.

z2 4 ,

A(1,1, – 2);

12.3.18.

x2 y2

z 4 0 , A( – 1, – 1,2);

z2 ,

12.3.19.

A( – 2,1, 3 );

12.3.20.

4y2 z2

4 , A( – 2, – 2,4);

12.3.21.

x2 9y 2

6x z 2

4z 4 0,

A(3, – 1,2);

12.3.22.

x2 y2

2z 10 0,

A(2,2, – 1);

12.3.23.

x2 4y 2 z 2

4 0 ,

A(0, – 1,0);

12.3.24.

x2 y2

4z 9, A(2, – 1, – 1);

12.3.25.

A( – 3, 2, –

5 ).

12.3.26.

x2 y2 z 2

6 y 4z 12 0 ,

A(2,8,0);

12.3.27.

3z 0,

A( – 3,0,3);

12.3.28.

x2 y2

3z2

2 y 0 ,

A(0,3,1);

12.3.29.

x2 y2

z 0 , A( – 1,2,5);

12.3.30.

y 2

z 2

0 ,

A(4,3,4);

178

Завдання 4. Знайти похідну скалярного поля в заданому напрямі:


12.4.1.	xyz в напрямі вектора AB , де А(1 – 1,1), В(2,3,1);
	x2	y2	3 2	у точці А(1,1,1) в напрямі
12.4.2.	x2	y2	z2	у точці А(1,1,1) в напрямі	2 j	k ;

12.4.3.a r c xyt )g (у точці А(1,1) в напрямі бісектриси першого координатного кута;

12.4.4.ln ex e y на початку координат в напрямі променя, який

утворює кут 6 з віссю ОХ;

12.4.5.

ln xy yz xz в точці А(0,1,1) кола L за напрямом цього кола,

x cost,

якщо рівняння кола

sin t,

L : y

arctg

в точці А 1,

яка належить колу x2 y2 4x , за

12.4.6.

напрямом цього кола;

12.4.7. x2 y2 у точці А(– 1,1) кола

x2 y2

2 за напрямом

цього

кола;

12.4.8.

xz 2 2 yz

точці

А(1,0,2),

яка

належить

колу

x2 y2 2x 2 y 1 0

, за напрямом цього кола;

z 6

12.4.9.

ln( x2 2 y) в точці А(4, – 4)

параболи y2 4x за напрямом цієї

кривої;

12.4.10.

2 yx в точці А(0 – 2)

еліпса x2

за напрямом цієї

кривої;

12.4.11.

z 2

в точці А

, y

за напрямом радіуса-вектора

цієї точки;

12.4.12.

4xy

)

точці

А(2,0)

за

напрямом вектора,

l nx(

колінеарного бісектрисі першого координатного кута;

12.4.13.

3xz

в точці А( – 1,2,3)

за напрямом

2k ;

179

4 z2

12.4.14.

точці

А( – 1, – 1,0)

за

напрямом

2 j

k ;

12.4.15.

4 y2

точці

А( – 2,2, – 3)

за

напрямом

4k ;

12.4.16.

y z y arctgx в точці А(1,4 – 5) за напрямом

3 j ;

2x2

ln z2

y2 в точці А(2 – 1,1) за напрямом

0; 1;0 ;

12.4.17.

12.4.18.

cos x 2y 4yz 2

точці

А(/2;

/4;

за

напрямом

2; 1;2 ;

12.4.19.

arctg x z

точці

А(0, – 2, – 1)

за

напрямом

2; 6; 3 ;

12.4.20.

xy 2

yx2 z3

точці

А(–1,1,–2)

за

напрямом

4 j

8k ;

x2 y2 z ln z 1 в точці А(4, – 3,0) за напрямом

12.4.21.

2i k ;

12.4.22.

в точці А( – 1,3,4) за напрямом

k ;

12.4.23.

точці

А( – 1, – 1, – 1)

за

напрямом

i j k ;

12.4.24.

x y 2

z x в точці А(1, – 3,5) за напрямом

2k ;

12.4.25.

5arcctg(y 2z)

в точці А(1,1,0)

за

напрямом

2k .

12.4.26.

y2 3x 2 y в напрямі вектора AB , де А(0,0,0), В(3,4,0);

12.4.27.x2 z 2xyz z2 у точці А(3,1,1) за напрямом i 2 j k ;

12.4.28.xyz у точці А(5,1 – 8) в напрямі, що йде від цієї точки до

точки В(9,4,4);


					4 z 2 в точці А(1,1,2) за напрямом
12.4.29.			xy		4 z 2 в точці А(1,1,2) за напрямом	2i		2 j	k ;
12.4.30.	5x2 yz 7xy2 z 5xyz 2 в точці А(1,1,1)						за	напрямом

	8i	4 j		8k ;

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc
#
08.09.201972.14 Кб3kursach_TAO (1).docx