Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

Нехай − деякий вектор, x, y,z − скалярне поле, Μ 0 і Μ − точки

x, y,z

на прямій з напрямним вектором

. Позначимо приріст функції

при переході від точки Μ 0

до точки Μ як Μ Μ0 ,

а приріст

модуля вектора як

ΜΜ 0

.

Визначення. Похідною

скалярного поля x, y,z в точці М0 за

Μ

0

напрямом називається вираз:

= lim

.

0

Μ

Μ 0

Теорема. Якщо функція x, y,z диференційована в точці М0, то її

похідна за будь-яким напрямом

існує і дорівнює

cos

cos

cos ,

x

y

z

де cos , cos , cos − напрямні косинуси вектора .

Основні властивості похідної за напрямом:

1) Похідна за

напрямом

зображує

швидкість

зміни поля

в цьому

напряму. Якщо в даній точці

0 (

0 ), то поле в цьому напряму

grad

x, y,z

Визначення. Градієнтом

(або ) скалярного поля

grad =

i

j

k .

x

y

z

Основні властивості градієнта:

1) ;

2)

;

3)

;

4)

F

F .

2

r

r

r

x

y

z

1

r

i

j

k

= =

i

j

k =

r

. Маємо співвідношення, яке

x

y

z

r

r

r

r

, де

a, r a

a = const ;

F r F r r .

r

2

Приклад 2. Знайти градієнт скалярного поля

a, r

r 3

( a const ).

Розв’язання.

У даному випадку

поле

задано

відношенням двох

скалярних

функцій

від

Використаємо

наведені

вище

властивості

та

r .

2

2

a, r 2

r3 a, r

a, r

r3

співвідношення і одержимо:

=

r3

r6

r3

r 2

=

2 a, r

a, r a, r

2 3r 2 r

2 a, r

a

a, r

2

3r

.

r 6

r5

Зв'язок між похідною за напрямом, градієнтом та нормаллю до

поверхні рівня.

За визначенням градієнта та наведеної

z

вище теореми і рис.12.1, очевидно, що

cos,

,

o

np =

l

М

/ l

де

o

,

а

− кут

між

градієнтом

і

y

x

напрямом .

Рис. 12.1

Найбільше

значення

має, якщо

gradF x, y,z

0

F

М(x,y,z) має вигляд: n

;

gradF x, y,z

F

2) найбільшою крутістю підйому поверхні z x, y в точці М(x,y,z)

є тангенс кута між нормалями до поверхні та до площини XOY у точці М.

gradz

.

Якщо z x, y , то n

, ,1 і cos n0

, k , тобто: tg

x

y

Приклад 3. Записати вектор нормалі до поверхні 2z

x2

y 2

в

точці А 2,3,1 .

4

9

F x, y, z 2z

x2

y 2

x

2 y

випадку

=0

F

i

j

2k , в точці А:

4

9

2

9

2

7

1

F i

j

2k ,

F

і

n0

A

3i

2 j

6k .

3

3

7

Приклад 4. За яким напрямом повинна рухатися точка М(x,y,z), щоб

при переході через точку А(−1,2,−2) поле

10

зростало з

x2

y2

z 2

1

Розв’язання. Напрям

найбільшого зростання поля −

це напрям

градієнта, тобто

max0

; швидкість у цьому напряму V

. Тоді

max

10

i 2x j 2 y k 2z ,

1 i 2 j 2k ,

x2 y2 z 2 1 2

5

1 4 4

3

3

1

та остаточно

V

;

0

i

2 j

2k .

5

5

max

5

max

3

z x y

Приклад 5. Знайти найбільшу крутість підйому поверхні

в

точці М(2;2;4).

Розв’язання.

Найбільша

крутість

підйому

визначається

за

tg

y x y 1

формулою

max

z

,

де

z i

j x y ln x ;

tg

4

1 ln 2 2 4.87 ,

z

4i

4ln 2 j ,

тоді

max

z

звідки

78o 24 .

max

Приклад 6. Обчислити похідну скалярного поля

x2

y 2

z 2

в

точці 2;

3;3 в напрямі радіуса-вектора цієї точки.

4

9

x

2z

Розв’язання. Градієнт поля i

j

2 y k

,

в точці А він

2

9

2

дорівнює вектору

i j

2

3 k

;

орт напряму радіуса-вектора

3

r

1