Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

11.1.1.

cos2 x

dl;

L – дуга синусоїди y sin x, (0 x ) ;

1 cos2 x

L

11.1.2.

sin 3 x

dl; L : y cos x,(0 x

) ;

2

1 sin 2 x

L

11.1.3.

) ;

1 cos4 xdl; L : y tg x, (0 x

L

4

11.1.4. sin x

1 sin 4 xdl; L ctg x,( x );

L

4

2

11.1.5.

1 cos2 x

dl; L : y sin x, (0 x

)

;

L

cos x

4

11.1.6. sin 4

x cos xdl; L : y ln sin x, ( x

) ;

L

4

3

11.1.7. sin 2

x cos3 xdl; L : y ln cos x,(0 x )

;

L

4

11.1.8. sin 4

x cos2 xdl; L : y ln cosecx,(

x

) ;

L

6

3

11.1.9. cos4

x sin 2 xdl; L : y ln sec x, (0 x )

;

L

6

11.1.10. xdl; L – дуга кола R, (0 ) ;

L

2

11.1.11.

x2 y 2 a 2 dl; L – дуга спіралі Архімеда a від A(0,0) до

L

B(a 2 , a) ;

11.1.12.

x 2 y 2 dl ;

L – верхня половина кардіоїди a(1 cos ) ;

L

11.1.13.

) ;

x 2 y 2 dl ;

L – дуга лемніскати a cos2 , (0

L

4

11.1.14. (x 2 y

2 ) 32 dl ; L – дуга лемніскати a

,(0 ) ;

sin 2

L

2

11.1.15.

y

) ;

x 2 y

2

arctg

dl ; L – дуга лемніскати a

cos2 ,(0

L

x

4

11.1.16.

a 2

y 2

b2

x 2 dl ; L – дуга еліпса

L

b2

a 2

x a cost, y b sin t, (0 t ) ;

2

11.1.17. ydl ; L – перша арка циклоїди x 3(t sin t), y 3(1 cost) ;

L

11.1.20.

1

x

dl ;

L – дуга кривої

L

R

x R sin 2 t,

y R sin t cost,

z R cost, (0 t

) ;

2

11.1.21.

1 4 y 9xzdl ; L – дуга кривої x t, y t 2 , z t 3 ,(0 t 1) ;

L

11.1.23. (x 2

y 2 )dl ; L : x a(cost t sin t), y a(sin t t cost),(0 t 2 ) ;

L

11.1.24. xyzdl ; L : x

1

1

t 2

, y t, z

8t 3 , (0 t 1) ;

L

2

3

11.1.25. (x2

y 2

z 2 )dl ;

L – дуга гвинтової лінії

L

x a cost,

y a sin t, z bt,

(0 t 2 ) ;

11.1.26. xydl ; L – дуга еліпса x a cost, y bsin t, (0 t

) ;

L

2

11.1.28.

dl

; L – дуга гіперболічної спіралі

(x 2 y 2 )3 2

L

1, 1 3, 2 2 2 ;

11.1.29.

x 2 y 2 dl ; L – коло x2 y 2

Rx

L

11.1.30.

2x 2 y 2 dl ; L – коло x2 y2

z2 a2 ,

z x .

L

11.2.1. Обчислити статичний момент першого

витка конічної гвинтової

лінії x t cost, y t sin t, z t відносно

площини XOY , якщо

щільність пропорційна аплікаті цієї точки.

11.2.3.

Знайти

координати

центра

ваги

однорідної

дуги кривої

x et cost, y et sin t, z et ,( t 0) .

11.2.4. Знайти

координати центра ваги однорідної дуги

гвинтової лінії

x a cost, y asin t, z bt,(0 t ) .

11.2.5.

Знайти

координати

центра

ваги

однорідної

дуги циклоїди

x a(t sin t), y a(1 cost),(0 t 2 ) .

11.2.12. x cos3 t, y sin3 t, z cos2t,

0 t 2 ;

11.2.13. x a cht, y a sht, z at,

0 t ;

11.2.14. x at, y a

ln t, z

a

,

1 t 10 ;

2

t

11.2.15. x et cost, y et sin t, z et

0 t 2 .

Знайти масу матеріальної дуги в задачах 16 – 26.

11.2.16. L : xy 1,

x, y

k y 3

,

1 y 2 ;

x 2

11.2.17. L : y

1

x3 ,

x, y kx3

,

0 x 1 ;

3

11.2.18. L : y x4 ,

x, y kx5

0 x 1 ;

x, y y3

1 y 2 ;

11.2.19. L : x ln y,

1 y 2 ,

11.2.20. L : y ln sin x,

x, y k sin 3

x,

x

;

4

2

11.2.21. L : y ln cos x,

x, y k sin x cos2 x,

0 x

;

6

11.2.22. L : y ln cosecx,

x, y k sin3 x cos x,

x

;

4

3

11.2.23. L : y ln sec x,

x, y k sin 2 x cos2 x,

0 x

;

4

11.2.24. L : x t 3 , y t,

z t 2 ,

x, y, z k

0 t 1 ;

1 4z 9xy,

11.2.25. L : x R cost,

y R sin 2 t,

z R sin t cost,

x, y, z k 1

y

, 0 t

;

2

2

11.2.26. x a cost,

y bsin t,

(x, y) y

(0 t

) .

2

11.2.27.

1

x 4

1 x 4 dl,

L :

y

(1 x 2) ;

L

3

11.2.28.

1 x 2 dl,

L :

2 y x2 0

(1 x 3) ;

L

11.2.29. (x y z)dl ,

L – відрізок прямої між точками A(0,0,0)

і B(1,1,1) ;

L

11.2.30. (x y)dl ,

L – контур трикутника ABO,

A(1,0), B(0,1),O(0,0) .

L

Завдання 3. Обчислити криволінійні інтеграли II роду.

11.3.1. cos2

xdx

dy

,

L : y tg x,

(

x )

;

3

L

y

4

3

11.3.2. (x 2

y 2 )dx xydy,

L : y e x

от A(0,1)

до B(1, e) ;

L

11.3.3. sin 3

xdx

dy

,

L : y ctgx,

(0 x ) ;

2

L

y

3

11.3.4. (x y)dx (x y)dy,

L : x R cost, y R sin t,

(0 t

) ;

L

2

11.3.5. y 2dx xydy,

L : x a cost, y bsin t,

(0 t

) ;

L

2

11.3.6. ydx x 2dy zdz,

L : x t, y t 3 , z t5 ,

(0 t 1) ;

L

11.3.7. (x 2 y z)dx z 2dy (x y 2 )dz, L –

відрізок прямої від

L

A(2,1,0) до B(4,3,1) ;

11.3.8. x2dx (x z)dy xydz,

L : x sin t, y sin 2 t, z sin 3 t,

L

0 t

;

2

11.3.9. zdx ydy (x2

y2 )dz,

L : x a cht, y a sht, z bt,

(0 t 1) ;

L

11.3.10. zdx xdy

xy

dz,

L : x t cost, y t sin t, z t,

(0 t

) .

L

z

2

Знайти роботу сили F(P,Q) в задачах 11 – 16.

11.3.11.

F ( x;

1

), уздовж дуги кривої

xy 1,

(1 x 4) ;

y2

y 2 ), уздовж дуги кривої y

cos x

(0 x ) ;

11.3.12.

F (sin2 x;

y2 )), уздовж відрізка

A( 1,1)

11.3.13.

F((x2 y);(x

B(0,2) ;

(0 t

) ;

11.3.14.

F( y; x) , уздовж дуги кривої x a cos3 t, y a sin 3 t,

2

x

2

11.3.15.

F ((xy x);

), уздовж y 2

x від A(0,0) до B(1,2) ;

2

9, від A(3,0)

до B( 3,0) ;

11.3.16.

F(( y 2 y);(2xy x)) , уздовж x2 y2

11.3.18.

(xy 2

x

)dx (x2 y

x

2

)dy ;

2

y

3

y

11.3.19.

y

dx

xy 1

dy ;

2

x

x

11.3.20. sin 2x 2 cos(x y) dx 2 cos(x y)dy ;

11.3.21.

dx

x y

2

dy ;

y

y

2

11.3.22. (sin y y sin x

1

)dx (x cos y cos x

1

)dy ;

x

y

11.3.23. e ydx (cos y xe y )dy ;

11.3.24.

( y2

y

)dx (2xy tg x)dy ;

2

cos

x

11.3.26. (1 x2 ) ydx x(1 y2 )dy,

L : x2 y2 R2 ;

L

2

2

11.3.27.

(x y)dx (x y)dy, L :

x

y

1 ;

2

2

L

a

b

11.3.28. e ( x 2 y 2 ) cos2xydx sin 2xydy ,

L : x2 y2 a2 ;

L

11.3.29. (xy x y)dx (xy x y)dy,

L : x2 y2 ax ;

L

11.4.1. (x2

y2

3z2 )d,

: z

x2 y2 , z 0, z 1;

11.4.2. (x2

y2

z

1

)d,

:2z 2 x2 y2 , z 0 ;

2

11.4.3. z(x y)d,

: z

9 x2 , y 0, y 2 ;

11.4.4. (z2

x2

y3 )d,

:y

R2 x2 z2 , y 0 ;

11.4.5. (5x2 3y2 3z2

4)d,

: x

y2 z2 , x 0, x 2 ;

11.4.6. (x4

y4

2x2 y2

z2 )d,

: x y z a, x2 y2 R2 ;

11.4.7.

1 4 y2

4z2 d,

: x 4 y2

z2 , x 0 ;

11.4.8. (2z2 x2 y2 )d,

: z

x2 y2 , що відрізана x2 y2 2x ;

11.4.9. y(z x)d,

:y

c2 z2 , x 0, x a ;

11.4.10. (x2 y2 )d,

: x2

y2 z 1;

11.4.11.

d

,

: x y z 1, x 0, y 0, z 0 ;

(1

x y z)

2

11.4.12. (x2 y z2

2)d,

:2 y 9 x2

z2 , y 0 ;

11.4.13.

1 y2

z2 d, : x zy ,

що

відрізана

циліндром

(z2 y 2 )2 2zy ;

11.4.14.