Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

Визначення.

Поверхневим інтегралом I

роду від функції f (x, y, z)

по поверхні називається границя інтегральної суми при max d i 0

n

f (x, y, z)d

lim

f (xi , yi , zi ) i

,

( )

maxd ( i ) 0

i 1

яка

не залежить

від

способу

розбиття поверхні та

вибору точок

Mi

xi , yi , zi .

Якщо f (x, y, z) 0

і функцію

f (x, y, z)

розглядати як поверхневу

а) Якщо рівняння поверхні z z(x, y) , то d

dxdy

і

cos

f (x, y, z)d

f x, y, z(x, y)

dxdy

,

cos

xy

б) Якщо рівняння поверхні x x( y, z) , то d

dydz

і

cos

f (x, y, z)d

f x( y, z), y, z)

dydz

,

cos

yz

в) Якщо рівняння поверхні y y(x, z) , то d

dxdz

і

cos

f (x, y, z)d

f x, y(x, z), z)

dxdz

,

cos

xz

де xz – проекція поверхні

на площину xOz ,

– кут між нормаллю

поверхні і віссю Oy .

Щоб визначити

координати

вектора

нормалі до поверхні

F(x, y, z) 0, скористаємося формулою

Fxi

Fy j

Fz k

n0

cos i

cos j

cos k .

Приклад

1. Обчислити

інтеграл

1 4x2

4 y 2 d , де

–

поверхня

параболоїда

z 1 x2 y2 ,

відсічена

площиною z 0 (рис. 11.6).

Розв’язання.

Поверхневий

інтеграл

обчислюється

зведенням до

Рис. 11.6

подвійного інтеграла.

2xi 2 yj 1k

Fxi Fy j

Fz k

n 0

,

2

2

2

4x

2

4 y

2

1

Fx

Fy

Fz

cos

1

.

d

4x2 4 y 2 1

2 dxdy (1 4x2 4 y2 )dxdy .

1 4x2 4 y2

1 4x2

4 y2

xy

xy

Проекцією на площину

xOy є коло

x2 y 2

1. Для обчислення

x

2

y

2

2

1, 0 2 .

x cos

y sin

x2 y 2 1,

2

1

(1 4 2 ) d d d (1 4 2 ) d 3 .

xy

0

0

Приклад 2. Знайти масу частини

циліндричної

поверхні

y

9 z 2 ,

яка

відсічена площинами

x 0, x 2

(рис. 11.7),

якщо

поверхнева

щільність

(x, y, z) ky(x z) .

Розв’язання. Маса m (x, y, z)d .

Рис. 11.7

dxdz

.

Поверхня y

9 z 2

проектується на площину xOz

, d

cos

Знайдемо нормаль до поверхні:

y2 z 2 9 F(x, y, z) .

2 yj

2zk

2 yj

2zk

yi

zk

n0

,

2 3

3

4 y

2

4z

2

cos

y

.

3

m ky(x z)3

dxdz

3k (x z)dxdz .

xz

y

xz

Область інтегрування xz

– прямокутник: 3 z 3, 0 x 2.

3

2

m 3k dz (x z)dx 36k .

3

0

гострий кут, тобто

cos i 0 , то площу проекції

Si на площину xOy

беремо зі знаком плюс, а якщо cos i 0 , то перед Si

буде знак мінус.

Утворимо суму

n

Tn f (xi , yi , zi )Si .

i 1

Покладемо max di , i

1, n

, де di

– діаметр і-тої частини поверхні.

Визначення. Поверхневим інтегралом II роду називається границя

інтегральної суми Tn

при 0 .

n

f (x, y, z)dxdy lim f (xi , yi , zi )Si .

0i 1

Аналогічно

визначаються

інтеграли

f (x, y, z)dxdz ,

f (x, y, z)dydz , при цьому для вибору знака

визначають кут між

S1

якщо cos 0, то беремо знак плюс, якщо cos

0 , те беремо знак мінус.

б) Якщо рівняння поверхні

y y(x, z) ,

а S2 – проекція на

площину xOz , то

Q(x, y, z)dxdz Q x, y(x, z), z dxdz ;

S2

знак вибираємо залежно від знака cos .

в) Якщо рівняння поверхні x x( y, z) , а S3 – проекція на площину

yOz , то

P(x, y, z)dydz P x( y, z), y, z dydz ;

S3

знак вибираємо залежно від знака cos .

Якщо незамкнена поверхня однозначно проектується на площину

xOy в область Dxy , а рівняння

поверхні

можна задати рівнянням

F, n

F, n

d

dxdy .

cos

Dxy

z z x, y

F, n

F, n

d

dxdz ,

cos

Dxz

y y x, z

F, n

F, n

d

dydz .

cos

Dyz

x x y, z

Якщо

n0

cos i cos

j cos k – орт

нормалі

до

обраної

сторони поверхні, а A – вектор з координатами P, Q, R , то

Pdydz Qdxdz Rdxdy A, n 0 d = P cos Q cos R cos d .

S

S

S

Ця формула зв'язує поверхневі інтеграли I-го і II-го роду.

Теорема Остроградського – Гаусса. Якщо поверхня замкнута, а

функції P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)

безперервні

разом

зі

своїми

P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy

P

Q

R

dxdydz .

x

y

z

V

Q P

R Q

P R

Pdx Qdy Rdz

dxdz .

dxdy

dydz

L

x

y

y

z

z

x

Приклад 1. Обчислити x2 z 2 ay 2 dxdz ,

де

– зовнішня сторона поверхні y

x2 z 2 ,

що

відсічена площинами y 0, y b,b 0 (рис. 11.6).

Розв’язання. Нормаль до поверхні утворить

з віссю Oy тупий кут, тобто cos 0 . Проекція

конуса на площину xOz – коло x2 z 2

b2 .

Рис. 11.6

x2

z2 ay2 dxdz x2 z2 a x2

z2 dxdz

xz

(a 1) x2

z2 dxdz

x cos , z sin

x2 z2 2

b2

xz

0 2

2

b

(a 1)b4

(a 1) d 3d

.

0

0

2

Приклад 2.

Обчислити

4x3dydz 4 y3dxdz 6z 4dxdy ,

де –

зовнішня сторона

замкнутої

поверхні,

що

обмежена

циліндром

P

12x2 ;

Q

12 y 2 ;

R

24z3 .

x

y

z

2

1

h

12 (x2

y 2 2z3 )dxdydz 12

d d ( 2 2z3 )dz 6 ha 2 (a 2 h3 ) .

(V )

0

0

0

Приклад 3. Застосовуючи формулу Стокса, обчислити інтеграл

I ydx zdy xdz ,

L

де L – коло, утворене як перетин поверхонь x2 y2 z2 a2 ,

x y z 0 ,

P x, y, z y,

P

1,

P

0 .

y

z

Q x, y, z z,

Q

0,

Q

1.

x

z

R x, y, z x,

R

1,

R

0 .

x

y

1

n

Тоді n

1,1,1 , n 0

i

j

k .

n

3

I ydx zdy xdz cos cos cos d

3

d

3

L

dxdy

dxdy 3S xy 3 a2 .

3

3 3

cos

xy

xy

Приклад 4. Застосовуючи формулу Стокса, обчислити інтеграл

I xdx x y dy x y z dz ,

L

де L: x a cost, y a sin t, z a sin t cost ,

0 t 2 ,

обхід контуру

x

y

z

0 .

3

3

3

cos cos

1

, cos

1

.

3

3

I cos cos cos d

1

d

1

dxdy

a 2 .

cos

3

3

xy

dx a sin tdt, dy a costdt, dz a cost sin t dt .

2

I a2 cost sin t a cost sin t a cost 2a cost sin t a cost sin t

0

2

a2

cost sin t cos2 t cost sin t 2 cos2 t sin 2 t dt

0

2

1 cos2t

2

a2

= a 2

dt 2a 2

cos2tdt

2 a 2 .

2

2

0

0

Контрольні приклади і запитання до гл. 11

Приклад 11.1. Обчислити криволінійний інтеграл x y dl вздовж

L

прямої y

4

x 2 від точки A 0; 2 до B 3;2 .

3

x 0;

. Обчислимо

диференціал дуги за відомою формулою

dl

1 y 2 dx dx . Обчислимо вихідний інтеграл:

4

15

x y dl x

x dx

.

L

0

3

2

Приклад 11.2. Обчислити поверхневий інтеграл

xyzd , де

z 1 x y

:

x 0, y 0, z 0.

спроектуємо поверхню

на площину XOY

одержимо xy і знайдемо

інтервали зміни змінних:

x 0; ,

y

;1 x . Нормаль до поверхні

n cos ;cos ;cos

1

; ;

. Обчислимо вихідний інтеграл:

3

1 x

xyzd xy z

dxdy

xdx y dy

z 1

xy

0

1 x