Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

.pdf

Скачиваний:

236

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

4.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2012 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

10.3.27. f ( x, y ) y 1, D : x 2 y 2 2x, y 0.

10.3.28. f ( x, y )	1	, D :1	x 2 y 2	9.


	3x 2 3y 2
	3x 2 3y 2

10.3.29.f ( x, y ) 2x y 4, D : ( x 2 )2 y 2 4.

10.3.30.f ( x, y ) 3 x y, D : x 2 y 2 2 y.

Завдання 4. Знайти центр ваги плоскої фігури, що обмежена лініями:

10.4.1. x

6 y y2 ,

x 0,

const.

10.4.2. x2 y2 9, y

, y.

10.4.3. y

2x x2 ,

y 0, x.

10.4.4. y2 x 4,

y x 2,

const.

10.4.5. x y 2,

2x x2 , const.

10.4.6. x2 y2 R2 ,

y x,

x 0, xy.

10.4.7. y

y 1 2x ,

x 4, x.

x 2,

10.4.8. y x2 ,

y x3, y.

10.4.9. x 1

x y 2,

const.

10.4.10. x2 y2

2 y 0, y 1, y.

10.4.11. x2 y2

2x,

x 1,

10.4.12. y sin x,

y cos x,

0 x ,

const.

10.4.13.y2 4x 4, y2 2x 4, x2.

10.4.14.x y 1, x 1 y2 , y 0, const.

10.4.15.y 2ax x2 , y 0, const.

10.4.16.x2 y2 6x, y 0, y x 0, x.

10.4.17.	y sin x,	y 0, x 0, const.
10.4.18.	y 3x2 ,	y 12x 0, xy.

111

10.4.19.x2 y2 6y, x 0, x y, y.

10.4.20.x2 y2 4x, y x, y.

10.4.21.2y (1 x)2 , x2 y2 1, x 0, const.

10.4.22.x2 y2 4, y 0, y 3x, x.

10.4.23. y ln x,

y 0,

x e,

const.

10.4.24.y x, y x2 2, 2 y.

10.4.25.x2 y2 4, x 0, y 3x, 2 y.

10.4.26.x 6 y y2 , x 0, const.

10.4.27. x2 y2 9, y

10.4.28. y

2x x2 ,

y 0,

10.4.29. y2 x 4,

y x 2,

const.

10.4.30. x y 2,

2x x2 ,

const.

Завдання 5. Обчислити об’єм тіла, що обмежене поверхнями:

10.5.1.2( x 2 y 2 ) 9z, x 2 y 2 z 2 9.

10.5.2.z 8 x 2 y 2 , z 4.

10.5.3.z 2 x 2 y 2 , z 6 x 2 y 2 .

10.5.4.12z x 2 y 2 , x 2 y 2 z 2 64.

10.5.5.4z x 2 y 2 , x 2 y 2 4x.

10.5.6.z 1, z 25 x 2 y 2 , x 2 y 2 16,( x 2 y 2 ) 16 ).

10.5.7.x 2 y 2 2y, z 2y, z 4y.

10.5.8.x 2 y 2 z 2 , x 2 y 2 z 2 4z.

10.5.9.x 2 y 2 z 2 9, z ( x 2 y 2 ) / 8.

10.5.10.x z 4,2z x 2 y 2 .

10.5.11.z 28 x 2 y 2 , z 12 x 2 y 2 .

10.5.12.z 36 x 2 y 2 , z 1, x 2 y 2 27,( x 2 y 2 27 ).

112

10.5.13.z x 2 y 2 , x 2 y 2 z 2 94 .

10.5.14.2z x 2 y 2 , z 2 x 2 y 2 .

10.5.15.x 2 y 2 z 2 4, x 2 y 2 1,( x 2 y 2 1).

10.5.16.x 2 y 2 z 2 4,2x x 2 y 2 ,( x 2 y 2 2x ).

10.5.17.z x 2 y 2 , z 2( x 2 y 2 ),z 8.

10.5.18. x2 y2 z2 144,

18z x2 y2.

10.5.19.z x2 , z 0, y 2x, x y 3.

10.5.20.x 2 y 2 9, z 0, x y z 6.

10.5.21.z 0, z 4 x 2 , x 2 y 2 4.

10.5.22.6z x 2 y 2 , x 2 y 2 z 2 16.

10.5.23.z 6 x 2 y 2 , z 16 x 2 y 2 .

10.5.24.z 0, x 2 y 2 2ax, x 2 y 2 z 2 .

10.5.25.z 2x, z 0, x 2 y 2 2ax.

10.5.26.2( x 2 y 2 ) 9z, x 2 y 2 z 2 9.

10.5.27.z 8 x 2 y 2 , z 4.

10.5.28.z 2 x 2 y 2 , z 6 x 2 y 2 .

10.5.29.12z x 2 y 2 , x 2 y 2 z 2 64.

10.5.30.4z x 2 y 2 , x 2 y 2 4x.

Завдання 6. Знайти масу неоднорідного тіла, обмеженого заданими поверхнями, за відомої функції розподілу густини (x, y, z).

10.6.1.x2 y2 z2 2Rz, z.

10.6.2.x2 y2 z2 1, x2 y2 12 , y x2 y2 z2 .

10.6.3. x 2y 3z 6,			x 0, y 0,	z 0, y.
10.6.4. x2 y2	z2	1,	x2 y2 z2	4,		1		.



						x2 y2	z2
10.6.5. x2 y2	z2	4,	x2 y2 z2	9,	x2 y2.

113

10.6.6. 3z x2 y2 ,

z 3, x2 y2.

10.6.7.x2 y2 2x, z 0, z 2 y, z x2 y2 .

10.6.8.2z x2 y2 , x2 y2 z2 3, x2.

10.6.9.x2 y2 z2 1, x2 y2 z2 , x 0, y 0, z 0, 4z.

10.6.10.x2 y2 1, x 2y 3z 0, z 10, 2x2 z2.

10.6.11. z x2 y2 ,

z 0, x2 y2 1,

x2 y2.

10.6.12.x2 y2 z 4, z 0, 3z.

10.6.13.x2 z2 y2 , y 1, x2 z2.

10.6.14.x2 y2 z2 1, z 0, z 1, x2 y2.

10.6.15.x2 y2 z 9, z 0, x2 y2.

Знайти координати центра ваги неоднорідного тіла, обмеженого даними поверхнями, за відомої функції розподілу густини (x, y, z).

10.6.16.x2 y2 z2 16, x2 y2 3z2 , x 0, y 0, z 0, z.

10.6.17.25(x2 y2 ) z2 , 5(x2 y2 ) z, x 0, y 0, yz.

10.6.18.x2 y2 z2 R2 , z 0, z.

10.6.19.x y z 10, x 0, y 0, z 0, z2.

10.6.20.x 4 y2 z2 , x 0, 2x.

10.6.21.z x2 y2 , z 2, z3.

10.6.22.x2 z2 4 y, y 2, const.

10.6.23.x2 y2 4z, z 2, z.

10.6.24.x2 y2 4, x2 y2 8z, x 0, y 0, z 0, x.

10.6.25.x2 y2 z2 9, x2 y2 4, z 0, z.

10.6.26.x2 y2 z2 16, x2 y2 3z2 , x 0, y 0, z 0, z.

10.6.27.25(x2 y2 ) z2 , 5(x2 y2 ) z , x 0, y 0, yz.

10.6.28.x2 y2 z2 R2 , z 0, z.

10.6.29.x y z 10, x 0, y 0, z 0, z2.

10.6.30. x 4 y2 z2 , x 0, 2x.

114

Глава 11. Криволінійні і поверхневі інтеграли

11.1. Криволінійні інтеграли I роду

Розглянемо просторову кусково-гладку криву L , обмежену точками A і B . Нехай у кожній точці M (x, y, z) цієї кривої визначена неперервна функція f (x, y, z) f (M ) . Розіб'ємо дугу AB на n частин точками A0 A, A1, A2 ,...,An B . На кожній частині Ai 1 Ai виберемо довільну точку

Mi (xi , yi , zi ) і

обчислимо

в ній

значення

функції

f (xi , yi , zi ) . Число

f (xi , yi , zi )

помножимо на довжину дуги li . Утворимо суму

Sn f (xi , yi , zi ) li ,

i 1

що називається інтегральною сумою по кривій L функції f (x, y, z) .

Визначення. Криволінійним інтегралом I роду від функції f (x, y, z)

по кривій

називається

границя

інтегральної суми при

0 , де

max li

i1,n

f (x, y, z)dl lim Sn

lim

f (xi , yi , zi ) li .

max li 0

i 1

Якщо функція

f (x, y, z) неперервна у всіх точках дуги

AB , то ця границя

існує і не залежить ні від способу розбиття дуги

AB , ні від вибору точки

Mi (xi , yi , zi ) на кожній із цих частин.

Якщо крива L лежить у площині XOY ,

то функція

f залежить

тільки від (x, y) і

f (x, y)dl

lim

f (xi , yi ) li .

max li 0

i 1

11.1.1. Обчислення криволінійних інтегралів I роду

Обчислення криволінійних інтегралів I-го роду зводиться до обчислення визначеного інтеграла. Розглянемо різні способи завдання кривої L і перехід до визначеного інтеграла.

115

a) Якщо крива L задана параметричними рівняннями:

x x(t)

y(t)

(t1 t t2 ) ,

L :

z(t)

то f (x, y, z)dl f x(t), y(t), z(t)

xt 2 yt 2 zt 2 dt ,

тому що в цьому випадку

xt 2

yt 2 zt 2 dt . Якщо крива лежить у

площині xOy , то

x(t), y(t) xt 2 yt 2 dt .

f (x, y)dl f

б)

Якщо плоска крива L задана рівнянням

y y(x) , де a x b ,

то

dl 1 yx dx й

f (x, y)dl

dx .

f x, y(x) 1 yx

в)

Якщо плоска крива

задана рівнянням ( ),( )

полярних координатах, то dl

d й

f (x, y)dl

f cos , sin

d .

Нижня межа інтегрування в усіх випадках менше верхньої: a b , t1 t2 ,

11.1.2.Застосування криволінійних інтегралів I-го роду

а) Довжина дуги AB кривої обчислюється як l dl .

б) Маса матеріальної дуги. Якщо в кожній точці кривої L густина

маси (x, y, z) є функцією координат цієї точки		(x, y, z) f (x, y, z) , то
маса дуги кривої обчислюється за формулою
m	(x, y, z)dl .
	( AB)

116

в) Статичні моменти плоскої дуги щодо координатних осей визначаються за формулами

M OX	y (x, y)dl; M OY	x (x, y)dl .
	( AB)	( AB)

г) Координати центра ваги плоскої матеріальної дуги AB :

M OY

x (x, y)dl

M OX

y (x, y)dl

( AB)

; y

( AB)

(x, y)dl

( AB)

д) Моменти інерції матеріальної дуги щодо координатних осей:

IOX

y 2 (x, y)dl; IOY

x2 (x, y)dl .

( AB)

е) Притягання точечної маси

матеріальної

кривої.

Якщо AB –

матеріальна крива з густиною розподілу маси (x, y) , а m0

– точечна маса

з координатою (x0 , y0 ) , то крива AB притягає масу m0 із силою F (Fx , Fy ) ,

проекції якої на осі координат визначаються за формулами

Fx m0 (x, y)(x x0 ) dl; Fy m0

(x, y)(y y0 ) dl ,

r 3

де

– постійна тяжіння; r

(x x )2

( y y

)2 .

11.1.3. Приклади обчислення криволінійних інтегралів I роду

Приклад 1. Обчислити x5

8xy dl , де

L : y

, x1

0, x2 1.

Розв’язання. Визначимо

dl і

перейдемо

до

визначеного

yx ,

інтеграла.

12 0

			3	, dl			2	dx					1 x			6		dx .
	yx x			, dl			1 yx	dx					1 x					dx .
1																1
8xy dl								1			4
		1 x6				x5 8x			x		4	dx							1 x6 3x5dx
		1 x6				x5 8x			x			dx							1 x6 3x5dx
0								4								0
0																0
					1		(1 x6 ) 32			1				1	2				1 .
1 x6 d (x6 1)					1									1			2
1 x6 d (x6 1)					3					0			3				2
					3								3

117

Приклад 2. Обчислити (2x y)dl , де L – контур трикутника ABC ,

A(1,0),B(0,2),C(0,0) (рис. 11.1).

Розв’язання. (2x y)dl (2x y)dl (2x y)dl (2x y)dl .

B(0,2)

Обчислимо кожний інтеграл окремо:

y y1

x 1

AB :

;

y 2x 2, y 2 ;

5dx ;

dl 1 yx dx

C(0,0)

A(1,0)

2x y dl 2x y dl

Рис. 11.1

(2x y)dl 5[2x ( 2x 2)]dx 25 dx 25 .

AB			0				0
							2	y	2		2
											2

BC : x 0, xy 0 ;		dl	1 xy2 dy dy ;			(2x y)dl ydy							2 .
BC : x 0, xy 0 ;		dl	1 xy2 dy dy ;			(2x y)dl ydy		2					2 .
						BC	0	2			0
						BC	0				0
							1					1
	;	dl		2	dx dx ;	(2x y)dl 2xdx x				2			1.
				2						2
CA : y 0, yx 0			1 yx									0
						CA	0					0
						CA	0

Отже: (2x y)dl 25 2 1 3 25 .

Приклад 3. Обчислити (2x 4 y 4z 7)dl , де L – відрізок прямої

між точками M1(8,9,3) й M 2 (6,10,5) .

Розв’язання. Складемо рівняння прямої, що проходить через точки

M1 і M 2 :

x x1

y y1

z z1

;

x 8

y 9

z 3

t .

x2 x1

z2 z1

Увівши параметр t , одержимо рівняння:

x 2t 8
	y t	9 , 0 t 1;

		3
z 2t

118

dl xt 2 yt 2 zt 2 dt 4 1 4dt 3dt ;

(2x 4 y 4z 7)dl 3 2( 2t 8) 4(t 9) 4(2t 3) 7 dt

L	0
	1
	3 (47 8t)dt 129.
	0
Приклад 4.	Обчислити (x y)dl , де L – пелюсток лемніскати
	L

asin 2 , розташований у першому координатному куті (рис 11.2).

0.75

0.5						Розв’язання. a												sin 2 ,
0.25									x cos
										sin						,
-0.75 -0.5 -0.25		0.25	0.5		0.75				y	sin
							dl
							dl							d ,
-0.25							a cos2						2	2
-0.5							a cos2							2	a2 cos2 2
-0.75											;								;
																	sin 2
								sin 2
								sin 2
Рис. 11.2
	2	2		2		a2 cos2 2			a2
			a		sin 2							.
			a		sin 2	sin 2			sin 2			.
						sin 2			sin 2

Для встановлення меж інтегрування варто визначити проміжок зміни, що відповідає пелюстку кривої у першому координатному куті.

Очевидно 0,

(x y)dl ( cos sin )

d a2

(cos sin )d

sin 2

2 a2 (1 1) 2a2.

a2 (sin cos )

Приклад 5. Обчислити 2x2

y 2 dl. L : x2

y 2 z 2

a2 ,

z x .

Розв’язання. Лінія задана перетинанням двох поверхонь: сфери і площини. Складемо параметричне рівняння цієї лінії. Для цього покладемо в рівнянні сфери z x , одержимо спочатку рівняння проекції заданої лінії на площину xOy :

119

y 2

2 a2

Ця проекція являє собою еліпс із півосями a 2 і а Параметричні

рівняння еліпса мають вигляд

cost;

y a sin t;

t 0,2 .

Оскільки z x , то параметричні рівняння лінії L мають вигляд

cost;

y a sin t;

cost;

t 0,2 .

Знайдемо

dt 2

t a

tdt adt .

2 sin

cos

2x2 y 2 dl

cos2 t a2 sin 2 t a dt a2

dt 2 a2 .

Приклад 6. Знайти довжину дуги гвинтової лінії:

x 4a cost,

4a sin t, (0 t 2 ).

L : y

3at,

xt 4a sin t,

Розв’язання. yt 4a cost,

zt 3a.

xt 2

yt 2 zt 2 dt

16a2 sin 2 t 16a2 cos2 t 9a2 dt 5adt ;

l dl

xt 2 yt 2

zt 2 dt

5adt 5at

10a .

Приклад	7.	Знайти		центр	ваги	гвинтової	лінії:
x a cost, y a sin t, z bt,t 0,			2	, якщо	лінійна	щільність у	кожній
			2

точці пропорційна добутку перших двох координат. Для розв’язання використаємо формули

x (x, y, z)dl

y (x, y, z)dl

z (x, y, z)dl

; y

; z

(x, y, z)dl

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2012 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc
#
08.09.201972.14 Кб3kursach_TAO (1).docx