Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009

.pdf

Скачиваний:

238

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

4.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Тоді	M x z2dV 4 cos2 sin				d	d	d =
		V	V

3	2	R	2	2		2R cos
sin cos2 d d			4d sin cos2 d d				4d
0	0	0		0		0
			3

7 R5 R5 59 R5 . 60 160 480


M zdV 3 cos sin									3	2	R
M zdV 3 cos sin				d		d		d sin cos d d 3d
V	V								0	0	0

2	2	2R cos			19 R		4
sin cos d d			3d		19 R			.
sin cos d d			3d			80		.
	0	0				80
	0	0
3
Таким чином, z			59 R5			19 R4			59R	.
Таким чином, z										.
		c	480			80			114
			480			80			114

Контрольні приклади до гл. 10

Перш ніж приступити до виконання індивідуального розрахункового завдання, читачу рекомендується разом з нами

розв’язати декілька типових задач, замінюючи знак			необхідними
числами та виразами.
Приклад 10.1. Обчислити 12x2 y2 16x3 y3 dxdy ,			якщо область
D
D обмежена такими лініями x 1; y x2 ; y		.
	x
Розв’язання. Побудуємо область, що обмежена заданою прямою та

параболами. Для визначення меж інтегрування виберемо внутрішню та

зовнішню змінні, наприклад,			нехай x –	зовнішня, а y – внутрішня. Тоді
x	;1 та
x	;1 та	x y . Обчислимо наданий інтеграл


12x2 y2 16x3 y3 dxdy 4 x dx 3y2				4 dy =
D

101




= 4 x y3 x	dx 4 x8 x11 x7 / 2 dx 1.
= 4 x y3 x	dx 4 x8 x11 x7 / 2 dx 1.

Приклад 10.2. Обчислити площу фігури, що обмежена такими
лініями: x 5 y2 ; x 4y .
Розв’язання.		Побудуємо область, що обмежена параболою та

прямою. Нехай x – внутрішня, а y – зовнішня змінна. Тоді y 1; та

4 y x .

Обчислимо

площу

за формулою

S dxdy ,

де

–

область,

площину якої обчислюємо.

S dxdy dy dx 5 4 y dy

5y 2 y2

36 од.кв.

Приклад 10.3. Побудуємо площу фігури, що обмежена такими

y2 2 y x2 0, y2 4 y x2 0, y

, y

лініями:

3x .

Розв’язання. Перші дві криві є кола. Побудуємо область, що

, y

обмежена

цими

колами

та двома

прямими

3x .

Площу

отриманої

фігури

легше обчислити

полярній

системі

координат:

x r cos

. Формула переходу від декартової системи до полярної має

y r sin

вигляд

S dxdy rdrd .

Визначимо межі змінення нових змінних:

та r 4sin

. Тепер можна обчислити шукану площу:

S rdrd d rdr

6 sin2 d 3

од. кв.

102

Лабораторна робота 10. Обчислення кратних інтегралів у системі Maple

					4 2 x	y
Завдання 1.	а)	Обчислити подвійний			інтеграл	y	dydx . б)
Завдання 1.	а)	Обчислити подвійний			інтеграл		dydx . б)
					2 x	x
					2 x
Обчислити подвійний інтеграл 12x2 y2			16 x3 y3 dxdy по області D, що
		D
	D : x 2; y x2 ; y
обмежена лініями	D : x 2; y x2 ; y			x . в)	Обчислити	потрійний
5 4 2
інтеграл xyz dxdydz .
2 1 1
Виконання. Для обчислення кратних інтегралів у пакеті student з
бібліотеки Maple маємо дві команди:
Doubleint(expr,x=a..b,y=c..d) для подвійного інтегрування;
Tripleint(expr, x = a..b,y		= c..d , z = e..f,) для потрійного інтегрування,

де expr – підінтегральний вираз, далі перелічуються змінні інтегрування та межі інтегрування, причому першими вказуються межі внутрішнього інтеграла, а останніми – зовнішнього. Позначимо I1 – аналітичний вираз кратного інтеграла. Щоб отримати чисельне значення інтеграла, треба застосувати команду value(I1):

а) > with(student):

> I1:=Doubleint(y/x,y=x..2*x,x=2..4);

4 2 x	y
I1 :	y	dydx ;
I1 :		dydx ;
2 x	x
2 x
> I1:=value(I1);
I1 : 9 ;
б)> f:=12x^2y^2+16x^3y^3;

f : 12x2 y2 16 x3 y3 ;

Побудуємо область інтегрування. Використаємо знайому вже команду plot(f1(x), f2(x), f3(x),x=a..b,y=c..d). Пряму x 2 побудуємо по двох точках, координати яких задамо у масиві dat:

>dat:=[[2,-5],[2,5]]:

>plot([dat,x^2,-sqrt(x)],x=-5..5,y=-5..5,color=black);

103

Використовуючи рисунок, розставимо межі інтегрування

> I1:=Doubleint(f,y=-sqrt(x)..x^2,x=0..2);

2		x 2	12x2 y2			16 x3 y3 dydx ;
I1 :
0			x
> I1:=value(I1);
I1 :	128				13952		;
				2

		9				9

Отримане значення переведемо у десятковий дріб

> I1:= evalf(I1);

I1: 1570.335482 ;

в) > I1:=Tripleint(x*y*z,x=1..2,y=1..4,z=2..5);

5 4 2

I1 : xyz dxdydz ;

2 1 1

> I1:=value(I1);

I1 : 9458 .

Завдання 2. Обчислити площу пластини, що обмежена заданими лініями: а) y 3x ; y 4ex ; y 3, y 4 ; б) x 8 y2; x 2 ; в) обчислити масу

пластини, що обмежена лініями x 14 , y 0, y2 16x, y 0 . Поверхнева

густина матеріалу пластини 16x 92 y2 . S – площа пластини.

Виконання

а) Будуємо лінії, що обмежують пластину:

> plot([3/x,4*exp(x),3,4],x=-2..7,y=0..5,color=black);

104

Із рисунка видно, що зручніше внутрішній інтеграл брати за змінною x , а зовнішній – за y , для цього приведемо рівняння ліній до вигляду

y			3
x ln	та	x		.
x ln	та	x		.
4			y
> I1:=Doubleint(1,x=ln(y/4)..3/y,y=3..4);
				4	3 y
				I1:	dxdy;
				3	y
					ln
					4

> S:=value(I1);

S : 1.

б) Будуємо лінії, що обмежують пластину, для цього приводимо рівняння ліній до вигляду

y 8 x , y 8 x і y 2x .

> plot([sqrt(8-x),-sqrt(8-x),-x/2],x=-10..10,y=-5..5,color=black);

за допомогою команди intercept(y=f1(x), y=f2(x),{x,y}) знаходимо координати точок перетину

> intercept(y=-sqrt(8-x),y=-x/2,{x,y});

y 2, x 4 ; > intercept(y=sqrt(8-x),y=-x/2,{x,y});

105

y 4, x 8 ; > I1:=Doubleint(1,x=-2*y..8-y^2,y=-2..4);

	4 8 y 2
	I1: dxdy;
	2 2 y
> s:=value(I1);
	S : 36.
в)> f:=16x+9y^2/2;	(задаємо функцію густини матеріалу);

f: 16x 92 y2 ;

>dat:=[[1/4,-5],[1/4,5]]: (задаємо точки для побудови лінії x 14 );

>plot([0,dat,sqrt(16*x)],x=-2..2,y=-5..5,color=black);

> I1:=Doubleint(f,y=0..sqrt(16*x),x=0..1/4);

144
		x		9
I1:					y2
			16x			dydx;

0	0			2

> M:=value(I1);

M : 2 .

Контрольні завдання до гл. 10

Завдання 1. Змінити порядок інтегрування в подвійних інтегралах:


2				x			3				9 x2
10.1.1.	dx					f ( x, y )dy	10.1.2.	dx						f ( x, y )dy
1			2x x2				0			3			x2
									2				6
							1					1 y
2		x 3					1					1 y
10.1.3.	dx				f ( x, y )dy		10.1.4.	dy							f ( x, y )dx
0			x				0					1 y2

106

	a							2ax x2											4				4							x
10.1.5.				dx											f ( x, y )dy				10.1.6.		dx														f ( x, y )dy
	a										0								0					8x x2
2																								8x x2
2

												R 2 y 2												y 2
	R 2 2											R 2 y 2							2					y 2
10.1.7.							dy										f (x, y)dx		10.1.8.		dy												f ( x, y )dx
			0											y					1				y2 4
e2							ln x												2							y
10.1.9.				dx									f ( x, y )dy						10.1.10.			dy										f ( x, y )dx
	e				1														1				1 y

																			2								2x x2
		a											2ax						2								2x x2
10.1.11.						dx										f ( x, y )dy			10.1.12.			dx										f ( x, y )dy
0									2ax x						2				1									2 x
									2ax x

3									25 x2										1													y
10.1.13.						dx									f ( x, y )dy				10.1.14.			dy														f ( x, y )dx
0										9 x2									2						2 y
																			1					x2
		a							ax										1					x2
10.1.15.						dx f ( x, y )dy													10.1.16.			dx										f ( x, y )dy
0									x										0					x3
					a								2ax x2						2							2 y
10.1.17.					dx													f ( x, y )dy	10.1.18.			dy												f ( x, y )dx
					a						0								6							y		2
																												2
																																1
					2
																							4



2								2x											1								3 y2
10.1.19.						dx								f ( x, y )dy					10.1.20.			dy							f ( x, y )dx
0								x											0									y2
																												2
																				a

	e				1														2											4ax
10.1.21					dx								f (x, y)dy						10.1.22. dx												f ( x, y )dy
1							ln x												0						2ax 4x2

1							1 1 y2												1			1 1 y2
10.1.23. dy												f ( x, y )dx							10.1.24. dy										f ( x, y )dx
0									2 y										0								y

107

	sin x												2			x
10.1.25. dx		f (x, y)dy									10.1.26.				dx		f ( x, y )dy
0		0											1			2x x2
			9 x2
3			9 x2								2	x	3
10.1.27.	dx								f ( x, y )dy		10.1.28.	dx			f ( x, y )dy
0		3					x	2			0		x
0											0		x


		2		6

1				1 y										a		2ax x2
10.1.29.	dy									f ( x, y )dx	10.1.30.				dx			f ( x, y )dy
0					1 y2									a		0
					1 y2								2
													2
Завдання 2. Побудувати область D та обчислити f ( x, y )dxdy .
																D
10.2.1. f ( x, y )							x		, D : x 4, y 2, y 2x.
10.2.1. f ( x, y )						y 2			, D : x 4, y 2, y 2x.
						y 2

10.2.2. f (x, y) sin(x y), D : y 0, y x, x y

10.2.3. f (x, y) xy, D : x y 2, y 1 x2 . 4

10.2.4.f (x, y) xy3, D : y x2 2, y x.

10.2.5.f (x, y) x2 1, D : x 2, y x, y 3x.

10.2.6.f (x, y) 2x 1, D : y2 x 1, x 0.

10.2.7. f (x, y)		y	, D : 2 y x2	, y x.

	x2	y2

10.2.8.f (x, y) x 2 y,D : y 2 x 4, y x 2.

10.2.9.f (x, y) 9 x y,D : x 0, y 0, x y 3.

10.2.10.. f (x, y) e y , D : x 0, y ln x, y 1, y 2.

10.2.11.f (x, y) y x2 , , D : x 1, x 2, y 0, y 3x.

10.2.12.f (x, y) x2 y, D : y 0, x2 y2 2ax 0.

10.2.13.f (x, y) xy2 , D : x 0, x 2ay y2 .

10.2.14.f (x, y) x y , D: y x 2 2 , y 1 2x.

108

10.2.15. f (x, y)	y	, D : xy 1, y x, x 3.
	x2

10.2.16.f (x, y) x3 y, D : x 0, y 1, y2 x.

10.2.17.f (x, y) x y, D : y x2 , y 3x2 1.

10.2.18.f (x, y) y 2 x, D : y x 2 , x y 2 .

10.2.19.f (x, y) xy, D : y 2x x2 , y=0.

10.2.20.f (x, y) x3 y, D : x 4 y y2 ,x 0.

10.2.21.f (x, y) x2 y, D : y x, y 2 x2.

10.2.22.f x, y x 2 y, D : x 0, y x, y 2 x 2 .

10.2.23.f ( x, y ) 3y x, D : y 0, y x, x 2 y 2 0.

10.2.24.f ( x, y ) x 2 y, D : x 2 y 2 4.

10.2.25.f ( x, y ) y x, D : xy 6, x y 7.

10.2.26. f ( x, y ) x , D : x 4, y 2, y 2x. y 2

10.2.27. f (x, y) sin(x y), D : y 0, y x, x y

10.2.28. f (x, y) xy, D : x y 2, y 1 x2 . 4

10.2.29.f (x, y) xy3, D : y x2 2, y x.

10.2.30.f (x, y) x2 1, D : x 2, y x, y 3x.

Завдання 3. Обчислити подвійний інтеграл

застосовуючи полярні координати.

10.3.1.f ( x, y ) x 2 y 2 , D : x 2 y 2 2a 2 , y x, x 0.

10.3.2.f ( x, y ) y 1, D : x 2 y 2 2x, y 0.

10.3.3. f ( x, y )	1	, D :1	x 2 y 2	9.


	3x 2 3y 2
	3x 2 3y 2

10.3.4.f ( x, y ) 2x y 4, D : ( x 2 )2 y 2 4.

10.3.5.f ( x, y ) 3 x y, D : x 2 y 2 2 y.

f (x, y)dxdy ,

109

10.3.6.f ( x, y ) R 2 x 2 y 2 , D : y x, x 2 y 2 R 2 , x 0.

10.3.7.f ( x, y ) 2 3x, D : x2 y 2 2, y 3x, y x.

10.3.8.f ( x, y ) 1 2 y, D : x 2 y 2 6y 0, x 0.

10.3.9.f ( x, y ) xy 2 , D : x 2 y 2 2x, x 2 y 2 4x.

10.3.10.f ( x, y ) x 2 y 2 4, D : x 2 y 2 4, x 2 y 2 9.

10.3.11.f ( x, y ) 9 x 2 y 2 , D : x 2 y 2 9.

10.3.12.f ( x, y ) xy, D : x2 y 2 2y 0, y x, y x.

10.3.13.f (x, y) y, D : x 2 y 2 2 y, x 2 y 2 4 y.

10.3.14.f ( x, y ) x x 2 y 2 , D : ( x 2 y 2 )2 4( x 2 y 2 ),x 0.

10.3.15.f ( x, y ) y 2x, D : x2 y 2 1, y 0, y 3x.

10.3.16.f ( x, y ) x3 x 2 y 2 , D : ( x 2 y 2 )2 9( x 2 y 2 ), x 0.

10.3.17.f ( x, y ) x 2 y 2 , D : x 2 y 2 2ay.

10.3.18. f ( x, y )

, D : y

4 x 2 , y 0.

x 2

y 2

10.3.19. f ( x, y ) x 3y, D : x2 y 2 1, y x, y

3x.

10.3.20. f ( x, y )

, D : 4

x 2

y 2 9.

x 2 y 2

10.3.21. f (x, y) ln( x2 y2 ), D : e2

e 4

10.3.22. f (x, y)

, D : x2 y2

4x,

x2 y2

8x, y x, y 2x.

y2 2

10.3.23. f ( x, y )

, D : x

2 y 2 1, x 0, y 0.

x 2 y 2

10.3.24. f ( x, y )

, D :1 x 2 y 2 4.

x 2

y 2

10.3.25.f x, y x 2 y 2 , D : x2 y 2 4x.

10.3.26.f ( x, y ) x 2 y 2 , D : x 2 y 2 2a 2 , y x, x 0.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб50Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб238Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc
#
08.09.201972.14 Кб4kursach_TAO (1).docx