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Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

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y 0

в)

y xy xy

;

г) xy y

4 y

;

д) cos x cos y 2sin x dx sin y 2cos y sin x dy 0 ;

е)

y xy

;

ln y

є) x ( y )

2 yy

y 1

0 .

ж)

, y 1 1; з) 2yy

( y )

Завдання 2. Знайти загальний розв'язок ЛОДР зі сталими коефіцієнтами

13.2.1.y y 0

13.2.2.y y y y 0 ;

13.2.3.y 2y y 0 ;

13.2.4.y 2y 2y y 0;

13.2.5.y 2y y 2y 0 ;

13.2.6.y 3y 3y y 0 ;

13.2.7.y 2y 9y 18y 0 ;

13.2.8.y 8y 0;

13.2.9.y 13y 12y 0 ;

13.2.10.yIV 5y 4 y 0 ;

13.2.11.yIV 6 y 9 y 0 ;

13.2.12.yIV 4y 10y 12y 5y 0 ;

13.2.13.yIV 12y 4y 12y 5y 0 ;

13.2.14.y 2y y 2y 0 ;

13.2.15.yIV y 0 ;

13.2.16.yIV 6 y 9 y 0 ;

13.2.17.yIV 3y 5y 0 ;

13.2.18.yIV 4 y 4 y 0 ;

13.2.19.yIV 3y 3y 0 ;

13.2.20.y 13y 12y 0 ;

13.2.21.3yIV y 0 ;

13.2.22.y y 2y 4y 0 ;

13.2.23.yIV 2 y y 0 ;

13.2.24.y 3y 3y y 0 ;

13.2.25.y y 9y 9y 0 ;

13.2.26.y y 4y 4y 0 ;

13.2.27.y 2y 0 ;

13.2.28.yIV 5y 4 y 0 ;

13.2.29.y 5y 8y 4y 0 ;

13.2.30.y y 0 .

Завдання 3. Знайти загальний розв'язок ЛНДР, використовуючи метод варіації довільних сталих

	y tgx ;					ex
13.3.1. y		13.3.2.	y	2 y	y x		;

274

e2x

2 y

y 3e

x 1 ;

13.3.3. y

13.3.4. y

4 y

5y cos x ;

13.3.5. y 4 y 4 y e 2x ln x ;

13.3.6. y y tg2 x ;

e 2x

13.3.7. y

2 y

;

13.3.8. y

4 y

x3 ;

4 x2

e2x

13.3.9. y

2 y

y x2 ;

13.3.10.

2 y

1 e2x ;

13.3.11.

ex 1

;

13.3.12.

y sin 3 x ;

13.3.13.

2 y

ex sin x ;

13.3.14.

y sin x ;

13.3.15. y 4y 8ctg2x ;

13.3.16. y 4y 2 tg x ;

13.3.17.

y cos x ;

13.3.18.

6 y

2 e 2x ;

13.3.19.

9 y sin 3x ;

13.3.20.

2 y

3 e x ;

9e3x

4e 2x

13.3.21.

1 e3x

;

13.3.22.

6 y

2 e2x ;

1 x

13.3.23.

4 y sin 2x ;

13.3.24.

4 ctg 2 ;

4 y

e 2x

4y 2 tg x ;

13.3.25.

x3 ;

13.3.26.

4 y

2 y

13.3.27.

ln x ;

13.3.28.

3 e x ;

9e3x

13.3.29.

ex 1

;

13.3.30.

1 e3x .

Завдання 4. Надано корені характеристичного рівняння та права частина ЛНДР. Знайти загальний розв'язок ЛОДР та записати вигляд частинного розв'язку ЛНДР.

			13.4.1. k1		k2 k3 0, k4,5 k6,7	1 2i, k8 3, k9,10	6i ;
f		x 2x x3		cos6x ,
1			x x 5x2		1 e3x ,
f	2		x x 5x2		1 e3x ,
	2

275

f	3		x 3sin 2x x2 6x cos2x ,
	3		x 3ex sin 2x x 5x2 1 xex .
f	4		x 3ex sin 2x x 5x2 1 xex .
	4
			13.4.2. k1,2 4i, k3		k4 k5	8, k6 0, k7,8 k9,10		3 i ;
f		x x2 4x e8x ,
1
f	2		x 7xe8x sin 4x ,
	2		x 4x cos4x 2x3 3 sin 4x ,
f	3		x 4x cos4x 2x3 3 sin 4x ,
	3		x x2 4x xe3x sin x 2e3x .
f	4		x x2 4x xe3x sin x 2e3x .
	4
			13.4.3. k1 2, k2,3		6 i, k4	k5 k6	0, k7,8 k9,10 3i ;
f		x x x2 4x3 e6x ,
1			x x2 4 sin 3x ,
f	2		x x2 4 sin 3x ,
	2		x x 3x2 cos x x 14 sin x ,
f	3		x x 3x2 cos x x 14 sin x ,
	3		x x x2 4x3 2e6x sin x 3xe 2x .
f	4		x x x2 4x3 2e6x sin x 3xe 2x .
	4
			13.4.4. k1,2 k3,4 2i, k5 0, k6 k7 k8 7, k9,10					2 i ;
f		x 2x 3x2		e 2x cos2x ,
1
f	2		x 5x 1 e7 x ,
	2		x 2x 5x3	cos x 3x sin x ,
f	3		x 2x 5x3	cos x 3x sin x ,
	3		x 2x 3x2	e 2x cos x 5x 1 7e 2x .
f	4		x 2x 3x2	e 2x cos x 5x 1 7e 2x .
	4
			13.4.5. k1 k2 k3 3, k4,5			k6,7 3 5i, k8 0, k9,10 i ;
f		x 2x2 3 cos5x ,
1
f	2		x 4x 7 e 3x ,		x3 2x e3x cos5x ,
	2
f	3		x 3x 4 e3x sin 5x
	3		x 2x2 3 sin x x3		2x 4e3x .
f	4		x 2x2 3 sin x x3		2x 4e3x .
	4
			13.4.6. k1,2 2 i, k3 k4 k5 5, k6				0, k7,8 k9,10 6i ;
f		x x 5x3 e2x ,
1			x 12x2 7 e 5x sin 6x ,
f	2		x 12x2 7 e 5x sin 6x ,
	2		x 5cos6x 2x2 4 sin 6x ,
f	3		x 5cos6x 2x2 4 sin 6x ,
	3		x 12x2 7 3e2x sin x 3x 5 e 5x .
f	4		x 12x2 7 3e2x sin x 3x 5 e 5x .
	4
			13.4.7. k1 4, k2,3 8i, k4 k5 k6 0, k7,8 k9,10					3 2i ;

276

f		x 5x x3 ,
1			x x 2 sin 8x ,
f2			x x 2 sin 8x ,
f	3		x x 3x2 cos2x x 14 sin 2x ,
	3		x 5x x3 e 3x x 14 e 3x sin 2x 2e4x .
f	4		x 5x x3 e 3x x 14 e 3x sin 2x 2e4x .
	4
			13.4.8. k1,2 k3,4 1 i, k5				0, k6 k7 k8 4, k9,10				7i ;
f		x 7 x3 e x cos2x ,
1			x x2 5x 2 e 4x ,
f	2		x x2 5x 2 e 4x ,
	2
f	3		x 3x 1 cos7x x2 sin 7x ,
	3		x 7 x3 e x cos x		x2 5x 2 11e x .
f	4		x 7 x3 e x cos x		x2 5x 2 11e x .
	4
			13.4.9. k1 k2 k3		0, k4,5		k6,7 5i, k8 6, k9,10			4 i ;
f		x 2x 8x2 3 cos5x ,
1
f	2		x 3x 5 e4x ,
	2		x 6e4x sin x 4x2		5x e4x cos x ,
f	3		x 6e4x sin x 4x2		5x e4x cos x ,
	3		x 6e4x sin 5x 2x 8x2			3 3x 5 e 6x .
f	4		x 6e4x sin 5x 2x 8x2			3 3x 5 e 6x .
	4
			13.4.10. k1,2 5 3i, k3			k4	k5	1, k6 0, k7,8 k9,10			9i ;
f		x x 2x3 e5x ,
1
f	2		x 11e5x sin 3x ,
	2
f	3		x 3x2 cos9x x 13 sin 9x ,
	3		x x3 22 2x sin 3x 5ex .
f	4		x x3 22 2x sin 3x 5ex .
	4
			13.4.11. k1 9, k2,3		4i, k4		k5	k6 0, k7,8	k9,10	6 i ;
f		x 6x3		x2 e9x ,
1			x 5x2	3x e9x sin 4x ,
f	2		x 5x2	3x e9x sin 4x ,
	2		x 6x3	x2 cos4x 5x 1 sin 4x ,
f	3		x 6x3	x2 cos4x 5x 1 sin 4x ,
	3		x x x2 4x3 xe 6x cos x 7e 6x .
f	4		x x x2 4x3 xe 6x cos x 7e 6x .
	4
			13.4.12. k1,2 k3,4 7 2i, k5 0, k6 k7 k8						5, k9,10		i ;
f		x 12x x3 e7x cos x ,
1			x 5x2	6x 3 e5x ,
f	2		x 5x2	6x 3 e5x ,
	2		x 12x x3 cos x 7 sin x ,
f	3		x 12x x3 cos x 7 sin x ,
	3

277

f	4		x 3e7 x cos2x 5x2 6x 3 x 4 e7x .
	4
			13.4.13. k1 k2 k3 1, k4,5 k6,7 2i, k8					0, k9,10			4 3i ;
f1 x 7x 5 cos2x ,
f	2		x 5x3 6 e 4x ,
	2
f	3		x 7x 5 e 4x sin 3x e 4x cos3x ,
	3		x 5x2 6 sin 3x x2		8 21e x .
f	4		x 5x2 6 sin 3x x2		8 21e x .
	4
			13.4.14. k1,2 3i, k3		k4 k5 6, k6 0, k7,8			k9,10		2 2i ;
f		x x2 7x3 e6x ,
1
f	2		x 5x 4 e 2x cos2x ,
	2		x 2x cos3x 6x2	1 sin 3x ,
f	3		x 2x cos3x 6x2	1 sin 3x ,
	3		x x2 7x3 5x 4 e6x sin 3x 14e 2x .
f	4		x x2 7x3 5x 4 e6x sin 3x 14e 2x .
	4
			13.4.15. k1 7, k2,3		1 4i, k4 k5 k6	0, k7,8			k9,10 5i ;
f		x 2x 5x3 12 ex ,
1			x 4x2 x sin 5x ,
f	2		x 4x2 x sin 5x ,
	2		x 3x x2 cos4x 9x 4 sin 4x ,
f	3		x 3x x2 cos4x 9x 4 sin 4x ,
	3		x 2x x3 12 3xex cos4x 2xe 7x .
f	4		x 2x x3 12 3xex cos4x 2xe 7x .
	4
			13.4.16. k1,2 k3,4	9i, k5 0, k6 k7 k8			8, k9,10				2 3i ;
f		x 7 x3 e x cos2x		,
1			x x2 5x 2 e 4x ,
f	2		x x2 5x 2 e 4x ,
	2
f	3		x 3x 1 cos7x x2 sin 7x ,
	3		x 7 x3 e x cos x x2 5x 2 11e x .
f	4		x 7 x3 e x cos x x2 5x 2 11e x .
	4
			13.4.17. k1 k2 k3 0, k4,5 k6,7 7i, k8				2, k9,10			5 i ;
f		x 2x2 7 sin 7x ,
1			x 21 5x3 e 5x ,
f	2		x 21 5x3 e 5x ,
	2
f	3		x 3x 5 e 5x sin x 7e 5x cos x ,
	3		x 3x 5 sin x 21 5x3 9e2x .
f	4		x 3x 5 sin x 21 5x3 9e2x .
	4
			13.4.18. k1,2 3 i, k3 k4 k5 9, k6			0, k7,8			k9,10 8i ;
f		x 4x3 2x 7 e 9x		,
1

278

f	2		x x2 6 e 3x cos4x ,
	2		x 6 cos8x x2 11 sin 8x ,
f	3		x 6 cos8x x2 11 sin 8x ,
	3		x 4x3 2x 7 12e 3x sin x 3x 2 e 3x .
f	4		x 4x3 2x 7 12e 3x sin x 3x 2 e 3x .
	4
			13.4.19. k1 3, k2,3 i, k4 k5				k6 0, k7,8	k9,10	1 3i ;
f		x 2 5x3 x2 ,
1
f	2		x 4x 31 ex cos3x ,
	2		x 4 cos3x 4x 31x2			5 sin 3x ,
f	3		x 4 cos3x 4x 31x2			5 sin 3x ,
	3		x 4x 31x2 5 e3x 7 sin x x2				5x ex .
f	4		x 4x 31x2 5 e3x 7 sin x x2				5x ex .
	4
			13.4.20. k1,2 k3,4 3 2i, k5 0, k6 k7 k8					8, k9,10 6i ;
f		x 7x x2 e3x cos6x ,
1			x x 17x3 e3x ,
f	2		x x 17x3 e3x ,			5x2 9 e3x sin 2x ,
	2
f	3		x x 6 e3x cos2x
	3		x 7x x2 sin 6x 5x2 9 16e8x .
f	4		x 7x x2 sin 6x 5x2 9 16e8x .
	4
			13.4.21. k1 k2 k3			1, k4,5 k6,7 3i, k8 0, k9,10			2 5i ;
f		x 8e2x cos5x ,
1			x 4x3 7x 2 e2x
f	2		x 4x3 7x 2 e2x		,
	2		x 8ex sin 5x 4x2		3x ex cos5x ,
f	3		x 8ex sin 5x 4x2		3x ex cos5x ,
	3		x 4x2 3 sin 3x		4x3 7x 2 7x 2 ex .
f	4		x 4x2 3 sin 3x		4x3 7x 2 7x 2 ex .
	4
			13.4.22. k1,2 5i, k3 k4 k5 3, k6 0, k7,8					k9,10	4 i ;
f		x 7x2		5x e3x ,
1
f	2		x 4x 1 e3x sin 5x		,
	2		x 4e 4x cos x 7x2			5x e 4x sin x ,
f	3		x 4e 4x cos x 7x2			5x e 4x sin x ,
	3		x 2x3 8x 3 7 cos5x x2 3 e 4x .
f	4		x 2x3 8x 3 7 cos5x x2 3 e 4x .
	4
			13.4.23. k1 2, k2,3			3 5i, k4	k5 k6 0, k7,8 k9,10 6i ;
f		x x x2		5x3 e 2x ,
1			x 3x2	22 sin 5x ,
f	2		x 3x2	22 sin 5x ,
	2		x 11cos6x x2 17 sin 6x ,
f	3		x 11cos6x x2 17 sin 6x ,
	3		x x x2 5x3 2e3x sin 5x x 7 e3x .
f	4		x x x2 5x3 2e3x sin 5x x 7 e3x .
	4

279

			13.4.24. k1,2 k3,4		4i, k5 0, k6 k7 k8 7, k9,10 1 2i ;
f		x 2 3x2 e x cos2x ,
1			x x3 5 2x ,
f	2		x x3 5 2x ,
	2
f	3		x 2e 7 x cos2x 2x 9 e 7 x sin 2x ,
	3		x 2x 5 sin 4x x3			5 2x e 7x 3e x .
f	4		x 2x 5 sin 4x x3			5 2x e 7x 3e x .
	4
			13.4.25. k1 k2 k3			0, k4,5 k6,7 2 3i, k8		6, k9,10 9i ;
f		x x2		5x cos3x ,
1			x x3 5x 6 e6x ,
f	2		x x3 5x 6 e6x ,
	2		x x2	5x cos9x 4x sin 9x ,
f	3		x x2	5x cos9x 4x sin 9x ,
	3		x 4e 2x sin 3x x3 5x 6				x2 5 e 2x .
f	4		x 4e 2x sin 3x x3 5x 6				x2 5 e 2x .
	4
			13.4.26. k1,2 7i, k3 k4 k5 4, k6 0, k7,8					k9,10 1 6i ;
f		x x 5x3 2x2 ,
1
f	2		x 2x 5 ex sin 6x ,
	2		x 3cos6x x2 3 sin 6x ,
f	3		x 3cos6x x2 3 sin 6x ,
	3		x x 5x3 2x2 e 4x
f	4		x x 5x3 2x2 e 4x			6cos7x x 4 ex .
	4
			13.4.27. k1 5, k2,3 8 i, k4				k5 k6 0, k7,8 k9,10 2i ;
f		x x3 4x2 3 ,
1			x x2	3 e 8x sin x ,
f	2		x x2	3 e 8x sin x ,
	2		x 6x2	x cos x 2sin x ,
f	3		x 6x2	x cos x 2sin x ,
	3		x x3 4x2 3 e5x				2x2 5 e 8x .
f	4		x x3 4x2 3 e5x		11cos2x		2x2 5 e 8x .
	4
			13.4.28. k1,2 k3,4		i, k5 0, k6 k7 k8 8, k9,10 4 5i ;
f		x 4x x2 e4x cos5x ,
1			x x3 6 3x2 ,
f	2		x x3 6 3x2 ,
	2		x 4x x2 cos5x 9sin 5x ,
f	3		x 4x x2 cos5x 9sin 5x ,
	3		x x 2 cos x x3		6 3x2 e8x 12e4x .
f	4		x x 2 cos x x3		6 3x2 e8x 12e4x .
	4
			13.4.29. k1 k2 k3			3, k4,5	k6,7 7 i, k8	0, k9,10 8i ;
f		x x 5 e 7x sin x ,
1			x 4x2 6x 3 ,
f	2		x 4x2 6x 3 ,
	2

280

f	3		x 3cos8x x2 2 sin 8x ,
	3		x 2 cos x 4x2	6x 3 e 3x 4x 5 e 7 x .
f	4		x 2 cos x 4x2	6x 3 e 3x 4x 5 e 7 x .
	4
			13.4.30. k1,2 4 2i, k3 k4		k5 7, k6 0, k7,8 k9,10	3i ;
f		x 2 x2 5x3 ,
1
f	2		x 5x 1 e4x cos2x ,
	2		x 3x2 2 cos3x 4sin 3x ,
f	3		x 3x2 2 cos3x 4sin 3x ,
	3		x 2 x2 5x3 e7x
f	4		x 2 x2 5x3 e7x	12e7x cos3x x 2 e4x
	4

Завдання 5. Знайти загальний розв'язок ЛНДР з правою частиною спеціального вигляду

13.5.1.а) y y 4xex ,

б) y 2y 10y ex cos3x 2sin 3x , в) y 9y 40xe2x cos3x .

13.5.2.а) y 10 y 25y 4e 3x ,

б) y 6 y 10y e3x sin x ,

в) y y e x 2x cos x sin x .

13.5.3.а) y 6 y 9 y 8xe3x , б) y 3y 2y xsin x ,

в) y 4 y 8y e 2x 3cos2x 4sin 2x .

13.5.4.а) y 2 y 17 y 2x2e x ,

б) y y xcosx ,

в) y 4y 5y ex 6 cos x sin x .

13.5.5.а) y 10 y 25y 2e 5x ,

б) y 6y 9y 25ex sin x ,

в) y 4y 2x cos2x 16sin 2x .

13.5.6.а) y 7 y x 2 ex ,

б) y 2 y 5y e x cos2x ,

в) y 4y e2x 3cos2x 5x sin 2x .

281

13.5.7.а) y y 2 y 10xe3x ,

б) y y sin x cosx ,

в) y 8y 17 y e2x 8x cos x 4sin x .

13.5.8.а) y 8y 16y (1 x)e4x ,

б) y 3y 4 y 74e2x sin x , в) y 16y 4 cos4x x sin 4x .

13.5.9.а) y 7 y (x 1)2 ,

б) y 2y 5y 34sin 2x ,

в) y 4y 5y e2x cos x 8sin x .

13.5.10.

а) y 5y 6 y 10(1 x)e 2x , б) y 8y 16 y e4x cos x ,

в) y 25y 5x cos5x 14 sin 5x .

13.5.11. а) y 3y 4 y 5e 4x ,

б) y y ex sin x ,

в) y 36 y 16 cos6x 72x sin 6x .

13.5.12. а) y 2 y 8y 12e 4x ,

б) y 2 y 4ex (sin x cosx) , в) y 16y 8x cos4x .

13.5.13. а) y 3y 2 y xex ,

б) y 9y 2x sin x ,

в) y 4y 13y e2x cos3x 9sin 3x .

13.5.14. а) y 5y 6 y 3 x2 1 e2x ,

б) y 9 y e3x cosx ,

в) y 4y 6 cos2x x sin 2x .

13.5.15. а) y 4y 3y 2x2 10x 3 e2x ,

б) y 3y 2y sin x ,

в) y 2 y 10y e x 6 cos3x sin 3x .

282

13.5.16. а) y 2 y 3y e2x ,

б) y 8y 25y 12e4x cos3x ,

в) y 9y ex 37x cos3x 12sin 3x .

13.5.17. а) y y 3e x ,

б) y 3y 2y xcosx ,

в) y 4 y 13y e 2x 2 cos3x 9sin 3x .

13.5.18. а) y 2 y 5y 2xex ,

б) y 6y 18y 6e3x cos3x ,

в) y 2 y e 2x 12 cos x 5x sin x .

13.5.19. а) y 8y 17 y x2e4x ,

б) y 2 y 2y 4ex sin x ,

в) y 4 y e	4x		1
				cos4x x sin 4x .
				cos4x x sin 4x .
			2
13.5.20. а) y 2y 3y		4x2			14x 3 e 3x ,
б) y y 2y 8sin 2x ,
в) y 2y 2y e x 3cos x 2sin x .
13.5.21. а) y 2 y xe x ,
б) y 9y cos3x ,
в) y 2 y 17 y e			2x			16
							cos4x 13x sin 4x .
							cos4x 13x sin 4x .
						5
13.5.22. а) y 5y 14 y e2x (9x2							20x 5) ,
б) y 7 y 6y sin x ,

в) y 4y 8y e2x 4 cos2x sin 2x .

13.5.23. а) y 7 y 6y e6x (5x2 8x 3) ,

б) y 2y 5y 4sin x 22cosx , в) y 6 y 13y 12e3x sin 2x .

13.5.24. а) y 2y 3y e3x (8x2 5x 1) ,

б) y 4y sin 2x ,

в) y 6y 10y e 3x 9cos x 2sin x .

283

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