Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

.pdf

Скачиваний:

170

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

6.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2416 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

> limKoshi:=limit(an^(1/n),n=infinity);

lim Koshi 23 ;

>if (limKoshi<1) then print("ряд_збігається") fi; if (limKoshi>1) then print("ряд_розбігається")fi;

if (limKoshi=1) then print("використайте_інший_ознаку")fi;

ряд_збігається.

Завдання 3. Розвинути функцію в ряд Тейлора за степенями x :

а) ln 4 x x2 ; б)	x2	; в)	arcsinx	x .

	4 3x		x

Виконання. Для розвинення виразу exp r , що залежить від змінної x , у

ряд Тейлора в точці x a до членів порядку n , використовуємо команду

taylor(expr,x=a,n).

а) > f:=ln(4+x-x^2);

f : ln 4 x x2 ;

> taylor(f,x=0,7);

ln 4

101

x7 ;

192

1024

5120

8192

б) > f:=x^2/sqrt(4-3*x);

f :

;

4 3x

> taylor(f,x=0,5);

x4 x5 ;

256

в) > f:=arcsin(x)/x-x;

f :

arcsin x

x ;

>taylor(f,x=0,6);

1 x

x6 .

Завдання 4. Обчислити наближене значення визначеного інтеграла

344

12	1
	1	dx , взявши 3	члени розвинення		підінтегральної			функції в ряд,

	1 x4
0
оцінити похибку.
Виконання. Введемо			позначення f –		підінтегральна			функція,	g	–
результат розвинення функції f в ряд Тейлора ( g							є змінною типу series,
тобто формальним поданням розвинення). Для перетворення змінної g										в
алгебраїчний вираз застосовується команда convert(g,polynom),									g1	–
результат цього перетворення, i1 – визначений інтеграл від функції									g1.
>f:= (1/(1+x^4)); g:=taylor((1/(1+x^4)),x=0,3);
			f :		1	;	g : 1 x4 ;

				1 x4
				1 x4

як бачимо, серед трьох перших членів розвинення тільки один відмінний від нуля, щоб отримати розкладання із трьома не рівними нулю членами, задамо n 12 .

> g:=taylor(f,x=0,12);

g : 1 x4 x8 x12 ;

> g1:=convert(g,polynom);

g1 : 1 x4 x8 ;

> i1:=int(g1,x=0..(1/2));

i1 : 2304011381 .

Розглянутий ряд є знакопереміжним, тому похибка обчислення del не перевищує величини першого з відкинутих членів. Для оцінки похибки обчислення одержимо розвинення функції в ряд із чотирма відмінними від нуля членами ( g 2 – алгебраїчне вираження цього ряду) і обчислимо інтеграл і2, а потім знайдемо абсолютну величину різниці

del i1 i2 , що є максимально можливим значенням похибки.

>g:=taylor(f,x=0,16);g2:=convert(g,polynom);

g : 1 x4 x8 x12 x16 ; g2 : 1 x4 x8 x12 ;

> i2:=int(g2,x=0..(1/2));

345

i2 : 47923202367203 ;

> del:=abs(i1-i2);

del : 1 . 106496

Завдання 5. Записати у вигляді розвинення в ряд частинні розв’язки диференціальних рівнянь із початковими умовами:

а)

x 0 0 ; б)

xy x

, y

x 0

Виконання. Для розв'язання рівнянь використуємо команди пакету DEtools. Для одержання розв'язку у вигляді ряду потрібно в команді dsolve задати значення type=series. Через eqn1, eqn2, eqn3 – позначені рівняння, що розв’язуються, через cond1, cond2, cond3 – початкові умови до них.

а) > with(DEtools):

> eqn1:=diff(y(x),x)=x^2)-y^2;

eqn1 : x y x x2 y2 ;

> cond1:=y(0) =0;

cond1 : y 0 0 ; > dsolve({eqn1,cond1},y(x),type=series);

y x 31 x3 .

б) > eqn2:=diff(y(x),x)=y^2+x*y+x^2;

eqn2 : x y x y2 xy x2 ;

> cond2:=y(0) =1;

cond 2 : y 0 1 ; > dsolve({eqn2,cond2},y(x),type=series);

y x 1 x 32 x2 2x3 178 x4 52 x5 x6 .

346

Контрольні завдання до гл. 14

Завдання 1. Знайти суму ряду.

						1
14.1.1.						1									.

					2
n1	36n				2	12n 35
n1
					6
14.1.3.					6					.

	9n			2	3n 2
n1	9n			2	3n 2
n1
						7
14.1.5.						7											.

					2		56n
n1	49n				2		56n				33
n1
						6
14.1.7.						6										.

	36n				2	12n					35
n1	36n				2	12n					35
n1
					2
14.1.9.					2				.

			2
n 2	n			n 2
n 2

14.1.11.					3			.
14.1.11.								.
n1		4n			2		9
n1
							2
14.1.13.							2							.


n1		16n2 8n 15
n1
						3
14.1.15.						3							.

		9n			2		3n			20
n1		9n			2		3n			20
n1
							1
14.1.17.							1											.


n1		36n2 24n 5
n1
						8
14.1.19.						8						.

					2		4n
n1		4n			2		4n			3
n1

				1
14.1.2.				1			.

	16n2		8n 15
	16n2		8n 15
n1
			14
14.1.4.			14				.

	49n2		7n 12
n1	49n2		7n 12
n1
			10
14.1.6.			10			.

	25n2
n1	25n2		5n 6
n1
				14
14.1.8.				14						.

	49n2
n1	49n2		21n 10
n1
				1
14.1.10.				1							.

		49n2			35n		6
n1		49n2			35n		6
n1
				1
14.1.12.				1				.

		25n	2		5n 6
n1		25n	2		5n 6
n1
				14
14.1.14.				14

		49n	2 21n 10
n1		49n	2 21n 10
n1
					7
14.1.16.					7

		49n2 42n 40
n1		49n2 42n 40
n1
				21
14.1.18.				21

		49n	2 84n 13
n1		49n	2 84n 13
n1
				1
14.1.20.				1					.

		16n2
n1		16n2		8n 15
n1

347

		1
14.1.21.		1	.

	9n2	3n 20
n1	9n2	3n 20
n1

14.1.23. 1 .

n3 n n2 4

14.1.25. 4 .

n3 n n 1 n 2

14.1.27. 1 .

n1 n n 1 n 2

		1
14.1.29.		1	.

	9n2	3n 2
n1	9n2	3n 2
n1

		2
14.1.22.		2	.

	49n2	70n 24
n1	49n2	70n 24
n1

14.1.24. 1 .

n 2 n n2 1

	3n 4
14.1.26.	3n 4
		.
	n n 1 n 2	.
n1
	3n 1
14.1.28.	3n 1
14.1.28.	n n2 1 .
n3

	n 4
14.1.30.	n 4
		.
	n n 1 n 2	.
n3

Завдання 2. Дослідити збіжність числових рядів.

14.2.1. un

1)n

2n 1

14.2.3.

14.2.5.

(3n 2)(3n 1)

14.2.7. un

2 1

14.2.9. un

6n 5

2n 1 n

14.2.11. un .

3n 1

14.2.2.	un		1					.


		n(10n 1)
14.2.4. un			1						.


		(n 1)2 1
14.2.6. un			n2			.
14.2.6. un		2n2				.
		2n2		1
	un		3n		n
14.2.8.					.
14.2.8.					.
			3n 1
14.2.10. un			2n 1				.
14.2.10. un							.
			n(n 1)

14.2.12. un (n 1)5 .

2n 1

348

14.2.13. un

14.2.15. un

14.2.17. un

14.2.19. un

14.2.21. un

14.2.23. un

14.2.25. un

14.2.27. un

14.2.29. un

	n
			.
2n3 1
	1			.

3n2 2

	1					.

n
		n 1
	n5				.
2n 3n

2n 1 .

5n 1

1			.


	(2n 1)(2n 1)
	4n
		.
(2n 1)2

2 . nn

2n 1 .

5n 1n 1

14.2.14. un

14.2.16. un

14.2.18. un

14.2.20. un

14.2.22. un

14.2.24. un

14.2.26. un

14.2.28. un

14.2.30. un

1 . n2n

n 1 n

.2n 1

1 . (2n 1)2

1	.

n ln n
1			.

2n2 1
2n
		.
5n 1

2n 1 .

n 1 . n2 n 1

2n 1 n .3n 1

Завдання 3. Дослідити збіжність числових рядів.

1 1 n

n2 1

14.3.1.

arcsin

14.3.2.

n1 n

cos

2n n

arctg 3 1 n

14.3.3.

sin 3n

ln 1 n2

14.3.4.

n 2

3 n3 1

349

		2
		2						arctg4 n4 1
								arctg4 n4 1
14.3.5.																										.

													n2 n
n 2													n2 n
															n
							sin 3
14.3.7.	3						sin 3												ctg					1
14.3.7.																			ctg
n1											n3													3	n
n1

14.3.9.										ln n										.
14.3.9.	n3																			.
n1	n3									n							2
n1
									2 cos2 n
14.3.11.						n			2 cos2 n													.
14.3.11.																						.
n1									n4 3
n1
arccos																n 1
arccos
14.3.13.																		n						.

											n 2 2n
n 2											n 2 2n
										1 n
14.3.15.			2							1 n													.
14.3.15.																							.
n1											3n3
n1
																1
14.3.17.																1



n3 n2 ln n 3 ln 2 n

				sin 2 n3 n
14.3.19.				sin 2 n3 n																	.
14.3.19.																					.
n1											n3 n
n1

14.3.21.						ln n								.


n1							4			n		9
n1										n
												cos				2 n
14.3.23.																	4										.
14.3.23.					n n 2 n 3																						.
n1

14.3.25.					2						ln n				.


n1											n3


14.3.6.						ln n										.


n1				n5						n3
						2 n
14.3.8.	sin									4				.
14.3.8.														.
n1		2n 3
n1
									3 2n2
14.3.10.									3 2n2														.
14.3.10.					3							sin							n				.
n1 n					3					3									n
n1 n										3
																			3
						3
		ln				3			n		3			2				n
14.3.12.		ln							n					2				n		.

								n 2 3n
n 1								n 2 3n
				arcctg 1 n
14.3.14.				arcctg 1 n																	.
14.3.14.																					.
n 1							n2 n 2
					sin								2

											2n 1
14.3.16.											2n 1											.
14.3.16.						2 sin											n					.
																	n
n 1 n
																	6
			cos2 2n
14.3.18.			cos2 2n												.
14.3.18.															.
n1								n2
n1
arctg												2 1 n												n
arctg																								n
14.3.20.																	2								.
14.3.20.												n3						3							.
n1												n3						3
n1

						1 n
14.3.22. n2 arcsin					2	1 n		.
14.3.22. n2 arcsin								.
n1						n2
n1
			3 1 n
14.3.24. nsin			3 1 n				.
14.3.24. nsin							.
n 1			n3
n 1
		1 n
14.3.26.	1	1 n		.
14.3.26.				.
n1	n ln n
n1

350

	arctg		2	1 n		n2			2 cos n
							14.3.28.					.
14.3.27.				2					3n	2	1
							.	n1
			n4	3
n1

	sin	2 1 n							arctg		1 n n

14.3.29.		3			.		14.3.30.				n 1		.


n1		3 n4						n 1	n2 1

Завдання 4. Дослідити збіжність числових рядів.

14.4.1. n! .

n1 nn1

14.4.3.

14.4.5.

14.4.7.

n 2 ! .

3n 4n3

3 5 7 2n 1 2 5 8 3n 1 .


2n13 n2 4			.
n 2 !			.
n 2 !

	n 2 !
14.4.9.	n 2 !			.
14.4.9.		3n !		.
n1		5n n2		2 .

14.4.11.
14.4.11.
n1		2n !
n1
		n 3
14.4.13.		n 3	tg		3	.
14.4.13.			tg			.
n1		n!			2n
n1

14.4.15.n!2 .

n1 2n
	2n	n 1 !
14.4.17.
			.
	3 5 7 2n 1
n1

14.4.2. tg

n!.

2 n 1 ! .

14.4.4.

n 1 !

2 n 2 !

14.4.6.

3 2n 1

2n !

14.4.8.

n! 3n 1 !

nn1

14.4.10.

n! 2

3n n 2 !

14.4.12.

3n !

14.4.14.

5n 2n!

4 7 3n 2

14.4.16.

5n n!

	2 5 8 3n 1
14.4.18.		.

n1	2n 1 !

351


		n!4 n 1
14.4.19.		n!4 n 1					.
14.4.19.							.
n1		4n 3
n1
		1 3 5 2n 1
14.4.21.		1 3 5 2n 1
										.
	8 11 14 3n 5									.
n1
		4n n!
14.4.23.		4n n!		.
14.4.23.		n		.
n1		n
		n! 2
14.4.25.		n! 2
14.4.25.		2n 1 3n !							.
n1
		2n
14.4.27.	6					.
14.4.27.		3n 1 !				.
n1
		arctg			2
		arctg			n2
14.4.29.					n2
								.
								.
n 1			n!
n 1

	10n n3
14.4.20.			.
14.4.20.	2n 3 !		.
n1
	3n
14.4.22.	3n
					.
					.
n1	7n 3 n !
n1
	n 2 !
14.4.24.	n 2 !	.
14.4.24.		.
n1	n 1 n
	1 5 9 4n 3
14.4.26.	1 5 9 4n 3							.
14.4.26.								.
n1	2n 2n 3 !
n1
	n!					1
14.4.28.	n!					1
				sin			.
	2 n 1 !			sin		6n	.
n1	2n 2 n3 3 .

14.4.30.
n1	2 n !
n1

Завдання 5. Дослідити збіжність числових рядів.

n 1

14.5.1. arctg

14.5.2. tg

n3 1 3 2

n2 3

4n 3

14.5.3. nsin

14.5.4. tg

n 1

7n 2n

2n 7

5 n

14.5.5. tg

14.5.6. tg

n 1

n5 2

2 n

14.5.7.

14.5.8. ln

1 n3 n2 1

n2 1

n 2

14.5.9. ln

14.5.10.

arcsin

n 3

n2 3

14.5.11.

14.5.12.

arctg

2n2

n 2

ln n

352

		2n cosn
14.5.13.		2n cosn															.
14.5.13.		n															.
	n 1	3					cosn
	n 1

14.5.15.		1						tg		1						.
14.5.15.										2
3										2
	n 1			n							n

									n


14.5.17. e n3									1				1 .

	n 2

						1								3


14.5.19. n e n													1 .
	n 1
	n 1
													2
14.5.21. n3 sin 5													2					.
14.5.21. n3 sin 5																		.
	n 3													n
	n 3
																	1
						1
						1													n
14.5.23.														e								1 .



	n 2
	n 1

14.5.25.						1						arctg											.
		3

	n 1			n 1																	3 n 1
									n
14.5.27.						2			n											.
14.5.27.		n	3				cos2										n			.
	n 1	n					cos2
	n 1
					3 n2
14.5.29. ln					3 n2										.
14.5.29. ln															.
	n 1				n2				5
	n 1

	2 n2
						2
14.5.14.								.
14.5.14.	n	6		ln	2			.
n 1	n			ln			n
n 1


14.5.16. 1			cos						.
14.5.16. 1			cos						.
n 1						2n
n 1

tg 3

14.5.18. 2n 1 .

n 1 3n

													1
14.5.20. arcsin													1						.


									n 1 3 n2
n 2									n 1 3 n2								2

14.5.22.						arctg					1			.
				n							1
				n
n 1											n2
n 1

14.5.24.			1							tg			1				.
												2n 2
					n			3
n 2					n			3
n 2
			1
1.5.26.			1									.

	n sin							2 3n
n 1	n sin							2 3n
n 1

14.5.28.			1				arcsin									1		.
14.5.28.		n 1					arcsin						3					.
n 1		n 1											3			n 1
n 1
							3
14.5.30.							3								.

		3	n 1
n 1		3					n 1
n 1

Завдання 6. Дослідити збіжність числових рядів.

n 1 n

14.6.1. n

arcsin

14.6.2.

n 1

2n 1

1 n2

14.6.3. n

14.6.4. 1

n 1

3n 2

n 1

353

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2416 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191.18 Mб8krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб19kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
09.09.201992.61 Кб0kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб44Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб170Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб230Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб12Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб12Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc