Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

.pdf

Скачиваний:

172

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

6.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Виконання. Розв'язання диференціальних рівнянь за допомогою MAPLE виконується аналогічно для будь-яких типів рівнянь. Проілюструємо цей факт прикладами. Рівняння прикладів а і б є рівняннями другого порядку, що допускають зниження порядку; в – однорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами; г – неоднорідне рівняння зі змінними коефіцієнтами; д і е – неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального вигляду, причому рівняння е має початкові умови.

а) > with(DEtools):

> eqn1:=diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)/x=x*exp(x);

	2				y x
				x
eqn1:			y x			xe x ;
		2
	x				x

>dsolve(eqn1,y(x));

y x xe x ex

_ C1 _ C2 ;

б) > eqn2:=y(x)*diff(y(x),x$2)-2*(diff(y(x),x))^2=0;

y x

eqn2 : y x

>dsolve(eqn2,y(x));

y x

;

_ C1x _ C2

в)> eqn3:=diff(y(x),x$3)+6*diff(y(x),x$2)+11*diff(y(x),x)+6*y(x)=0;

eqn3 :

y x

y x 11

y x 6 y x 0;

>dsolve(eqn3,y(x));

y x _ C1 e 2x _ C2 e 3x _ C3 e x

г)> eqn4:=diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)/x=1/(x^2);

y x

eqn4 :

y x

;

> dsolve(eqn4,y(x));

y x

ln 2 x _ C1 ln x _ C2 ;

264

д) > eqn5:=diff(y(x),x$2)+y(x)=x*cos(x)+sin(x);

	2
eqn5 :			y x	y x x cos x sin x ;
		2
	x

> dsolve(eqn5,y(x));

y x cos x _ C1 sin x _ C2 14 x cos x 14 x2 sin x 14 sin x ;

е) > eqn6:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)=exp(x)*(x^2+x-3);

	2					ex x2 x 3 ;
eqn6 :			y x	2	y x
		2
	x			x

> cond61:=y(0)=2;cond62:=(D(y)(0))=2;

cond 61: y 0 2; cond 62 : D y 0 2;

> dsolve({eqn6,cond61,cond62},y(x));

y x ex x2 ex x ex e 2x .

Завдання 4. Розв'язати системи диференціальних рівнянь

			dy1		2 y y y									dy1				y y
	dx					1			2		3		dx							2	3
						1			2		3									2	3

	dy			2	y1 2 y2 y3 ;								dy		2			y3
а)				2									б)		2							;
а)													б)									;
	dx												dx
			dy3		y y				2 y					dy3				y y
						1		2				3								1	3
	dx												dx
	dy1			1			2 y1
в)																	1						1
		dx					x						, y1 1				1		, y2 1				1	.
										2 y1			, y1 1						, y2 1					.
	dy2			y1		y2		1		2 y1						3						3
				y1		y2		1				x
	dx											x

Виконання

а) > restart:

>with(DEtools):

>eqn1:=diff(y1(x),x)=2*y1(x)-y2(x)+y3(x); eqn2:=diff(y2(x),x)=y1(x)+2*y2(x)-y3(x); eqn3:=diff(y3(x),x)=y1(x)-y2(x)+2*y3(x);


eqn1:	y1 x 2 y1 x y2 x y3 x ;

x

eqn2 :	y2 x	y1 x 2 y2 x y3 x ;

x

265


eqn3 :		y3 x	y1 x y2 x 2 y3 x ;
	x

> dsolve({eqn1,eqn2,eqn3},{y1(x),y2(x),y3(x)});

	e	x	_ C3 e	2x	, y1 x _ C3 e		2x	_ C1 e	3x
y2 x _ C2	e		_ C3 e		, y1 x _ C3 e			_ C1 e	,
		x		2x		3x
	e	x	_ C3 e	2x	_ C1 e	3x

y3 x _ C2

б) > restart:

>with(DEtools):

>eqn1:=diff(y1(x),x)=-y2(x)+y3(x);eqn2:=diff(y2(x),x)=y3(x);

>eqn3:=diff(y3(x),x)=-y1(x)+y3(x);


eqn1:	y1 x y2 x y3 x ;

x

eqn2 :	y2 x	y3 x ;

x

eqn3 :	y3 x	y1 x y3 x ;

x

>dsolve({eqn1,eqn2,eqn3},{y1(x),y2(x),y3(x)});

y3 x _ C1 ex _ C2 sin x _ C3 cos x ,

y2 x _ C1 ex _ C2 cos x _ C3 sin x ,

y1 x _ C2 cos x _ C3 sin x _ C2 sin x _ C3 cos x

c) > restart:

>with(DEtools):

>eqn1:=diff(y1(x),x)=1-2*y1(x)/x;

>eqn2:=diff(y2(x),x)=y1(x)+y2(x)-1+2*y1(x)/x;

2 y1 x

eqn1:

y1 x

;

2 y1 x

eqn2 :

y2 x

y1 x y2 x 1

;

> cond1:=y1(1)=1/3;cond2:=y2(1)=-1/3;

cond1: y1 1

;

cond 2 : y2 1 13 ;

> dsolve({eqn1,eqn2,cond1,cond2},{y1(x),y2(x)});

	1		1
y1 x		x, y2 x		x .
	3		3

266

Контрольні завдання до гл. 13

Завдання 1. Розв’язати рівняння

13.1.1.

а) x2 dy ( y 2 xy x2 )dx ;

б) 8x 5y 2 dx 5x 2y 3 dy 0 ;

y 0 1;

xy 2 y x3 cos x ;

в)

1 y 2 dx y

1 x2 dy 0,

г)

д)

y 2xy 2x3 y3 ;

е)

y xy sin y ;

е)

y xy sin y ;

є)

;

ж) x

з) 2 y

, y

( y )

1, y 2 1

13.1.2.

8xy

cos x dx 12x

sin y dy 0 ;

а)

2 y y

;

б)

y 1 0 ;

xy y

x e

в)

г)

xy y

;

y x ln 3x

є) arcsin y

д) xy

е)

y x( y )

;

ж) (1 x

) y

з)

2 yy

0 .

( y )

y 0 2, y 0 1;

13.1.3.

а) (3x 6xy )dx (6x y 4 y )dy 0 ;

б) y

2x 2 y ;

1 e

dy e

y 0 0 ;

в)

sin x

x y sin x ;

г)

dx,

д)

x ;

е) y xy

;

y x ln x y 3x

( y )

є)

x sin y

;

ж) (1 x

) y

2 ;

з)

2 yy

1 ( y )

13.1.4.

2 y

y ;

а)

б)

y sin x ;

, y 0 1;

в)

cos x y sin x 2x ;

г)

д)

є)

1		x


	2x dx	y	2
y

x ln y sin y ;

4 y

е) y xy

;

dy 0 ;

ж)

x 0;

з) y

( y )

267

13.1.5.

б) y

dx xdy ;

y y cos x sin x cos x ;

а)

в) ex sin 3 y

1 e2x

y cos y 0,

y 0 2 ;

г) 2x y 1 dx x 2y 1 dy 0 ;

д) xy y 2 y2 ln x ;

y xy

x 2 y

2 y

е)

;

є)

3( y )

;

ж)

;

з) 2 yy

( y )

13.1.6.

а)

2xyy

;

б)

3x3 y2

;

в)

;

г) 6xy 5cos x 4y3x dx 3x2

6x2 y2

2y dy 0 ;

, y 0

2xy 2xy

y xy

2 y

2 ;

д)

;

е)

ln y

; є)

x ( y )

ж)

;

з)

ln y 0.

( y )

13.1.7.

2 y

1 x

dy 2x 1 e

, y 1 0 ;

а) y

2xe

y ;

б)

2xy 2xe ;

в)

ln x

x y ln x ;

г) y

д) x y dx x y 1 dy 0 ;

е) y 2xy ln y ;

є) x 2e

;

ж)

;

з)

ln 1 y

y y

y , y 0 2, y

0 2 .

13.1.8.

1 x

2xy

а) 2x

0 ;

б)

;

3 1 x

в) xy x 1 y 3x 2 e x ;

г)

y ln ydx xdy 0,

y 1 1;

y xy

y 2 ln y

cos x

д)

;

е)

( y )

;

є)

1 y

;

ж)

x 1;

з)

y 1 1, y

1 0 .

13.1.9.

x cos

y cos

а)

x ;

б)

x ;

268

в) sin 2x y sin xy dx sin 2y x sin xy dy 0 ;

г) y

2 y ;

2 ye

д) y

2 ye

;

є) yy

;

y 0 e 1

;

е) y x( y )

( y )

ln y

ж)

x(ln x) y

;

з)

y 0 1, y

( y )

0 1.

13.1.10.

y x

2 y

а)

ln x ;

б) 3xy

;

в)

;

x cos2 3x

г) x 2y 3 dy 2x y 1 dx 0 ;

д)

y sin x y cos x 0,

2 1;

е)

y xy

;

( y )

є) y y (1 y

cos y )

1 y

ж)

0 ;

з)

1, y

а)

в)

г)

є)

13.1.11.

sin 2x

sin 2

x dx y

dy 0 ;

б)

2 y

;

sec2 x tg ydx sec2

y tg xdy 0, y 4 4 ;

y xy

2 y ln y y x

; д)

y ;

е)

3 y

;

arctg

ln( y

1) x 2y ;

ж)

;

з)

y y

( y )

3y 2 y

13.1.12.

а)

xy y(ln y ln x) ;

б) xy y x2 sin 2 x ;

в)

x3 e y

y 3x 2 ;

г) y ex y ex y ,

y 0 0 ;

д)

2xydx x 2

y 2 dy 0 ;

е) y 2xy y 3 ;

є)

y ( y 1)e y ;

ж) 1 x

2xy

;

з)

0, y 0 0, y 0 3

( y )

13.1.13.

а) 8x 2y 5 dx 3y 2x 3 dy 0;

xtgx ;

б) y

в) y y x 1 ex y2 ;

г) xy xe y x y ;

y cos x

y 0

е) y x(1

2 ;

д)

cos x ,

y ) ( y )

;

y 2xy

4 .

є)

ln yy

; ж)

( y )

; з)

y 1 y

y 0 1, y 0

269

13.1.14.

2 y

а)

(3x

2x y)dx (2y x 3y

)dy 0 ;

б) xy y x sin

;

в)

ln x x y

cos x ;

г)

x x x

;

2 y

д) x y6 1 dx y 2 x4 1 dy 0, y 0 1;

е)

y xy

;

( y )

x 1 y

x 2 y

є)

; ж)

2 0 ; з)

( y )

13.1.15.

а) 2x2 y x2 y 2 ;

б) x y 1 y x 2 y 0 ;

в) ex tg ydx 1 ex sec2 ydy 0 ,

y 1 4 ;

г)

y y e 2

y ;

д)

е) y xy

;

є) y y 1 e y ;

y x y e x

ж) 1 x

( y )

xy 2 ;

y 0 1, y 0 1.

з) 4 y y

13.1.16.

б) yex e y 12x dx

ex xe y 10y dy 0 ;

а) 3xy2 y 2 y3 x3 ;

2 y

в)

y tg x

sin

x ;

г)

cos2 x ;

д)

y2 sin xdx cos2 x ln ydy 0,

y 0 1;

е)

y 2xy sin y ;

є)

2 ln y

; ж)

2 y

y 0

y (1 y ) ; з)

3, y 0 1.

13.1.17.

а)

в)

д)

є)

			1				1
sin y y sin x				dx x cos y cos x				dy
sin y y sin x				dx x cos y cos x				dy
			x
			x				y

y 2x y	2	2 y ;
y 2x y		2 y ;
y sin x y sin x y ,						y 2 ;
y ln 2 y y 3 ;					ж) xy y x2e x ;

2 y

0 ;

б) y

;

2 y

г)

2 sin

;

е) y xy

;

( y )

з)

y 0 1, y

0 0 .

13.1.18.

а) (4x 3y)dx (2y 3x)dy 0 ;	y x	x ye	y x	;
	б) xy e

270

2x y

1x2

e2x

y 1 2 ;

в)

y ;

г) e

tg ydx x 1 dy 0,

y2 ln x

y xy

є) x y

д)

;

е)

4( y )

;

sin y

;

4 y

x sin

ж)

;

з)

2 yy

3( y )

;

13.1.19.

dx x2 cos y 2y sin x 4y3 dy 0 ;

а)

2x sin y y2 cos x 3x2

2 y

4 cos x

б)

y ;

в)

y ;

arctg

y 4 e x dy e x dx 0,

г)

y 0 2 ;

д)

y y cos x esin x ;

y 2 y 1 ctg x ;

е) y xy

; є)

x y

y 2

1 ;

ж)

( y )

2 .

з)

y 0 2, y 0

13.1.20.

а) (3x2 y y3 )dx (x3 3xy 2 )dy 0 ;

б) y 1 ln y xy 0 ,

y 1 1;

x 1

в)

e ;

г)

y x ctg

x sin x ;

2 y

3 2

е) y 2xy

д) y

;

є) y y

ln y

;

x 2

1 y

ж)

2x ;

з) y

1 y ( y )

0 .

13.1.21.

а)

ln x

cos x

б)

yctgx e

sinx ;

2 y

в)

8xy

2 dx e

12x

4 dy 0

;

г)

y cosln

;

д)

2xdx ydy yx

dy xy

dx,

y 0 0 ;

е)

y 3xy

;

7( y )

є) y y ln y ;

ж) xy

(1 2x

) y

;

з) y

y 2 0, y 2 2 .

13.1.22.

а)

2y sin x y cos x y3 sin 2 x ;

271

б) cos x y y sin xy 6 dx cos x y x sin xy 1 dy 0 ;

в)

xdy ( y x ctg

)dx 0 ;

г)

xdy y y 2 dx 0,

y 1 1 2 ;

д) 2e

x y

е)

y xy

;

є)

sin y

;

( y )

x y

cos y

ж) 2 y

6x y

y 2 0, y

4 yy

2 2 ;

з) 3( y )

13.1.23.

а) e

dx xe

0 ;

2 y

б)

;

в) ctg xdy y 2 dx 0 ,

x 1 0 ;

2 y

г)

tg x cos x ;

y xy 1

д) dy y tg x

0 ;

е)

;

cos x

є) ye

2 y

;

ж)

2 yy

2xy y

( y )

з) 1 ( y )

13.1.24.

а) (x y

)dx 2xydy 0 ;

б)

x ln x x ln

x ;

y 1 0 ;

г) 2xy2

2 y dx 2x2 y 4 x dy 0 ;

в)

1 y2 dx ydy 0,

y y ln

д) xy

;

е) y x( y )

( y )

;

є) y tg y

;

ж) 1 x

2xy

x ;

з) y

2yy

( y )

0, y 0 1, y

0 1.

13.1.25.

а)

(x2 y3

xy) 1;

б) sin x 2cos x sin y dx cos y 2sin y cos x dy 0 ;

в)

y 2 dx x2 dy xydy ;

г)

x x cos y cos y ,

2 1 e ;

y ln y

д)

x2 e

;

е)

y x

;

є) x( y )

2xy

0 ;

ж) 2

;

з) yy

0 .

( y )

13.1.26.

x y

2e x

в) xy dx x y 2 dy ;

а) xy

x y ln

;

б) y

x x3 ;

272

г)

;

д)

ln y y

1 dx x

ln x

dy 0 ;

1 dy

2xy

0, y 0

1 ;

е)

y xy

;

1 y

є) 2y x ln y

x 2

y , y 1 5

ж)

2 y

, y

;

з) ( y )

13.1.27.

а)

y y 4 cos x y tg x ;

б) xy y

y2 x2 ;

в)

yexy 2xy2 ex

xexy 2x2 y 3ey dy 0 ;

г)

y e 1;

д) x

x cos y sin 2y ;

y y 1 x y x 1 ,

x x

е) y xy

є) 5y

2 1 y

( y )

ж)

1 ln x

x y

ln x, y 1 2

, y 1 1

з) yy

( y )

ln y

13.1.28.

2 y

а) (2x 3y 5) (3x 2y 5) y

б) y

y ;

в) 2x y dy ydx 4 ln ydy ;

y 1 0 ;

г)

1 y2 dx ydy 0,

y xy

y arctg

д)

xdy y x tg

dx 0 ;

е)

;

є)

;

( y )2

ж)

ln y , y 0

0, y

0 1;

з) ( y )

13.1.29.

а) 2x3 y y 2x2 y 2 ;

б) y y tg x x ;

в) y tg x 2 y tg2 x y 2 ;

г)

x y ln y ,

д)

2 dx

dy 0 ;

е) y xy

1 y 2 ;

є) x

ln y

;

sin 2x ;

y 1

2 .

ж)

tg x

з)

( y )

4 , y

13.1.30.

e2x

а)

3 y

3y 2 ;

б)

y ctg x sin x ;

273

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
01.03.2025705.3 Кб0Kultura_KhIKh_s1pravka-1.rtf
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc