Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

.pdf

Скачиваний:

172

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

6.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

dy
	1	y		y ,
dx		y		y ,
dx			2		3
			2		3

Приклад 2.	dy2	y1		y3 ,
Приклад 2.		y1		y3 ,
dx
dy
	3	y		y	2	.
		y		y		.
			1
dx

dy
	1	y		y ,
dx		y		y ,
dx			2		3
			2		3

(13.49)	dy2	y1		y3 ,
(13.49)		y1		y3 ,
dx
dy
	3	y		y	2	.
		y		y		.
			1
dx

Застосуємо для розв'язання схему прикладу 1.

d 2 y

2 y

(13.50)

dx2

d 3 y

2 y

dx3

y2 y3 ,

Розглянемо систему

d 2 y1

2 y1 y2 y3.

Одержана система не може бути розв'язна відносно y2 ,y3 , бо основний визначник системи 11 11 0 .

Проте з першого рівняння вихідної системи можна відразу знайти y2 y3 , і, підставивши це значення в рівняння (13.50), одержимо

d 2 y		dy
1	2 y	1	.

dx2	1	dx

Це рівняння зі сталими коефіцієнтами, його характеристичне рівняння:

k 2 k 2 0 з коренями k		1,k		2		2 .
1				2
Тоді загальний розв'язок рівняння
		y C e x C								2			e2x .
		1		1						2
Для знаходження y2 ,y3		скористаємося												інтегрованою комбінацією.
Віднімемо з другого рівняння системи (13.49) третє рівняння:
	d ( y2 y3 )	( y	2		y			3	) , y			2		y	3	C	3	e	x	.
	dx	( y			y				) , y					y		C		e		.


Враховуючи значення y , одержимо						y	2		y		3			C e x			2C				2	e2x .
1							2				3					1					2

Отже, загальний розв'язок системи має вигляд:

254

y1 C1e x C2e2x ,

y2 12 C1e x 12 C3e x C2e2x , y3 12 C1e x 12 C3e x C2e2x .

Контрольні питання і приклади до гл. 13

Перш ніж приступити до виконання індивідуального розрахункового завдання, читачеві пропонується разом з нами розв'язати декілька типових

завдань, замінюючи знак необхідними числами і виразами.

Приклад 13.1. Розв'язати диференціальне рівняння:
	ey 1 x2		dy 2x 1 ey dx 0, y 0 0 .
Розв'язання. Відокремлюємо змінні
	* dy	2xdx ;		d *		d 1 x2	; ln * ln * lnC .
1 ey				1 ey
		*			*
Загальний інтеграл 1 ey			C * .		Загальний розв'язок y * .

Виходячи з умови y 0 0, знайдемо C : 0 ln(C 1), C * . Частинний розв'язок: у ln * .

Приклад 13.2. Розв'язати диференціальне рівняння:

	x
y	x	1 y2 .
y	y	1 y2 .
	y
Розв'язання. Відокремлюємо змінні:

	ydy	xdx ,	* 0 . Загальний інтеграл	*	x2	C . Особливий розв'язок

*				2

y * .

Приклад 13.3. Розв'язати диференціальне рівняння: xy y x cos2 xy .

255

Розв'язання. Задано рівняння вигляду	y		y	. У такому випадку
		f

		x

використовується заміна y * , звідси

y * u (x) * .

Підставляємо у вихідне рівняння x2 u x u * x cos2 * ;

x u cos2u ;

0 . Інтегруючи, знайдемо tgu ln

lnC .

Загальний інтеграл tg * ln * .

Якщо cos u 0 , тоді y

k x .

Чи є це значення розв'язком вихідного диференціального рівняння? y * . Підставляючи до рівняння, одержимо

x * * x cos	2
x * * x cos			k .
		2

Приклад 13.4. Розв'язати задачу Коші:

e1 / x ,

y(1) 0 .

Розв'язання. І спосіб

1) Розв'язуємо однорідне диференціальне рівняння: y'

* .

, ln

* lnC ,

C e* .

(y* )' * e1 / x

2) y* * e1/ x ,

* .

Підставляємо до вихідного рівняння

* e1 / x

C(x) e1 / x

e1/ x ,

C' (x) * ,

C(x) * ,

y* x * .

Загальний розв'язок:

y* e1 / x * .

За умови y 1 0 , одержимо

0 e(1 C) ,

C * .

Частинний розв'язок:

y e1 / x * .

ІІ спосіб

256

y(x) u(x) v(x) , y' (x) u' (x) v(x) u(x) v' (x) .

Підставляємо до вихідного рівняння

u' (x) v(x) u(x) v' (x)

u(x)v(x)

u(x) v(x)

u' (x) v(x)

u(x) v' (x) *

З першого рівняння системи

u e1 / x .

e1 / x .

u * 0

З другого рівняння системи e1 / x v' e1/ x ,

v' 1,

v x C .

Загальний розв'язок:

y e1 / x * .

За умови y 1 0 , одержуємо

0 e(1 C) ,

C 1.

Частинний розв'язок:

y e1 / x * .

Приклад 13.5.

2x y" y' .

y" * ,

2x * * ,

Розв'язання. y z x ,

2dz

2ln

lnC ,

y C1 * dx C2 .

y' C1 * ,

z C1 * ,

Загальний розв'язок: y C1 * C2 .

Приклад 13.6. 2 yy" 1 ( y')2 .

y ,

y" * .

Розв'язання. y P

Підставляємо до рівняння

* dP

ln * ln

lnC

1 P2 * ,

P * ,

1 P2 *

P y' ,	dy	dx ,
	*

Загальний розв'язок:

2
2	C1y 1		* C2 .

C1
C1
	1		*	2
y	1		*

	C	1	4		.
	1

257

Приклад 13.7. y'" y" 6y' 0 .

Розв'язання. Характеристичне рівняння: k3 k 2 6* 0 .

k1 3,	k2 * ,	k3 2 .
y e* ,	y 1,	y e* .
1	2	3
Загальний розв'язок:				C e3x * * .
Загальний розв'язок:			y	C e3x * * .
			1
Приклад 13.8.				y" 2y' 5y 0 .

Розв'язання. Характеристичне рівняння: k 2 2 * 5 0 ,

k1 1 i ,

k2 1 i .

y1 * cosx ,

Загальний розв'язок:

Приклад 13.9.

e x * .

y e x ( * * ) .

y IV y 0 .

Розв'язання. Характеристичне рівняння:

k 4 k 2 0 ,

k 2 (k 2 1) 0 .

k1 0 ,

k2 * ,

k3 1,

k4 * .

y 1,

y * ,

y ex ,

y * .

* C * C ex

C * .

Загальний розв'язок:

Приклад 13.10.

y" 3y' 4y x e x e4x .

Розв'язання. f (x) x e x , f

(x) * .

1) Розв'язуємо відповідне ЛОДР: y" 3y' 4y 0 .

k 2 3* 4 * 0 .

k1 1,

k2 * ,

y ex ,

* .

Загальний розв'язок однорідного рівняння:

C ex C * .

2) Частинний розв'язок ЛНДР шукаємо у вигляді:

y* y1 * y2 * ,

де y1 * – частинний розв'язок рівняння з правою частиною f1( x ) ; y2 * – частинний розв'язок рівняння з правою частиною f2( x ) .

258

а)	y * Ax B * ;	(y )' A e x e x ;
	1	1

(y1*)" * (Ax B)e x .

Підставляємо до рівняння:

e x ( 2A (Ax B) 3A 3(Ax B) 4(Ax B)) xe x ; A 6(Ax B) * .

x0 A 6B *

x1 6 A *

A *	B	1	. Тоді y * * e x .
A *	B		. Тоді y * * e x .
		36		1
		36
	б) y * D * e4x ;			(y )' De4x e4x
	2			2

(y2*)' 4De4x (1 4x) De4x * De4x *

Підставляємо до рівняння:

e4x D( 8 16x 3 12x 4x) * ;

5D * ,	D * , тоді	y * * x e4x .
		2
Загальний розв'язок:		y C ex * * e x
			1
Приклад 13.11.			4y sin2x .
Приклад 13.11.		y	4y sin2x .

Розв'язання.

1) Відповідне ЛОДР y" 4y 0 .

De4x * ;

* e4x .

k 2 4 * 0 ,	k 2i ,	k	2	* .
	1		2
y1 cos2x ,	y2 * .

Загальний розв'язок однорідного рівняння: y C1cos2x C2 * . 2) Враховуючи, що e2ix cos2x isin2x , sin2x * (e2ix ).

Розв'язуємо рівняння: y" 4 y e2ix .
Розв'язок шукаємо у вигляді y * A* e2ix .
						1
						* ,
y1 * Ae	2ix	A *	Ae		2ix

y1 * " Ae2ix 2i(1 2ix) Ae2ix * Ae2ix * .
Підставляємо до рівняння:
Ae2ix ( * 4x) e2ix ;			A	1			i	.

				4i		4

259

y1*

x e2ix

або y1*

x cos2x *

cos2x .

y * – розв'язок

4y sin2x

– отримуємо як

y* Im(y *) ; y*

x * .

Загальний розв'язок вихідного рівняння:

y* C cos2x C *

x * .

Лабораторна робота 13. Розв'язок диференціальних рівнянь за допомогою системи Maple

Для отримання аналітичних, наближених і числових розв'язків звичайних диференціальних рівнянь застосовується команда dsolve, причому у всіх випадках використовується єдиний формат команди

dsolve(eqn, var, opt);

тут eqn – диференціальне рівняння або система диференціальних рівнянь щодо невідомих функцій var. Для розв'язку задачі Коші в рівняння eqn потрібно включити початкові умови, а для краєвої задачі – краєві умови. Додаткові умови opt дозволяють вказати спосіб розв'язку (type=_) і використовуваний метод (method=_). Наприклад, для отримання числового розв'язку як opt задається type=numeric, степеневі розвинення будуються при type=series, за умовчанням вважається type=exact, тобто MAPLE прагне знайти аналітичний вираз шуканої функції в явному вигляді, при неможливості виразити розв'язок в явному вигляді, воно виводиться в неявному. Для застосування методу Рунге–Кутта–Фельберга для числового інтегрування потрібно задати method=rkf45.

У рівняннях для позначення похідної застосовується команда diff, а

	функція позначається як y x . Наприклад,							y

шукана					рівняння	y	x

повинно	бути записано як	eqn : diff y x , x	y x	.	При розв'язанні

			x

системи рівнянь початкові або краєві умови записуються через коми і беруться у фігурні дужки.

260

У MAPLE є спеціальний пакет DEtools, команди якого призначені для перетворення диференціальних рівнянь, пошуку точних розв'язків, числового розв'язку задачі Коші і візуалізації результатів розрахунків. Команда odeadvisor(eqn) надає інформацію про тип даного рівняння або системи. Наприклад, “separable” – рівняння з відокремлюваними змінними, “homogeneous” – однорідне рівняння, “linear” – лінійне, “Bernoulli” –

рівняння Бернуллі, “Clairaut” – рівняння Клеро і т.д.

Завдання 1. Розв'язати диференціальні рівняння: а) x2dy ydx 0;

x y 1

2 x2

1 x y

б)

y 1

xy; в) y

x y 3

; г)

2xy 2x e ;

д)

y 2xy x3 y3; е) y xy y 2 .

Виконання. При виконанні цього завдання диференціальні рівняння позначатимемо eqn1, eqn2, eqn3.., а початкові умови до них cond1, cond2, cond3. У розв'язку, що виводиться, константи інтегрування мають вигляд

_ C1,_ C2...

а) Оскільки в MAPLE немає стандартних позначень для диференціалів, то перетворимо рівняння до вигляду, що містить позначення похідної x2 y y 0 .

> with(DEtools):

> eqn1:=diff(y(x),x)*(x^2)+(y(x))=0;


eqn1:		y x x2	y x 0;
	x

> odeadvisor(eqn1);

separable ;

> dsolve(eqn1,y(x));

y x _ C1 e x ;

б) > eqn2:=diff(y(x),x)*(1+x^2)+y(x)*sqrt(1+x^2)=x*y(x);odeadvisor(eqn2);



eqn2 :	y x 1		x2 y x			1 x2	xy x ;
eqn2 :	y x 1		x2 y x			1 x2	xy x ;
x
_ separable ;
>dsolve(eqn2,y(x));

y x		_ C1		1 x2	;


		x	1 x2

261

в)> eqn3:=diff(y(x),x)=(x-y(x)+1)/(x+y(x)-3); > dsolve(eqn3,y(x));

eqn3 :

y x

x y x 1

;

x y x 3

y x 2 x 1 _ C!

2 x 1 2 _ C12 1

;

_ C1

г)> eqn4:=diff(y(x),x)+2*y(x)*x=2*x^2*exp(-x^2); odeadvisor(eqn4);

2xy x 2x

2e x

;

eqn4 :

y x

_ linear ;

>dsolve(eqn4,y(x));

;

y x

_ C1 e x

д)> eqn5:=diff(y(x),x)-2*y(x)*x=2*x^3*(y(x))^3;

odeadvisor(eqn5);

eqn5 :

y x

2xy x

x3 y x 3;

_ Bernoulli ;

> dsolve(eqn5,y(x));

y x 2

, y x

;

2 4x2 4e 2x2

_ C1

2 4x2 4e 2x2

_ C1

е)> eqn6:=y(x)=x*diff(y(x),x)+diff(y(x),x)^2; odeadvisor(eqn6);

eqn6 : y x x

y x

y x ;

_ Clairaut ;

> dsolve(eqn6,y(x));

y x

, y x _ C1 x _ C12 .

Для рівняння Клеро програма відразу видає і загальний, і особливий розв'язки.

Завдання 2. Знайти розв'язок задачі Коші:

							1
			y
			y
а)	xy y 1	ln		; y	x1	e	2 ;
а)	xy y 1	ln				e	2 ;

			x

262

б) y y tgx

; y

cos x

Виконання

а)> eqn1:=x*diff(y(x),x)=y(x)*(1+ln(y(x)/x));odeadvisor(eqn1);

y x

eqn1: x

y x

y x 1

;

_ homogeneous ;

> cond1:=y(1)=exp(-1/2);

cond1: y 1 e

2 ;

> dsolve(eqn1,y(x));

(знаходимо загальний розв'язок рівняння);

y x e _ C1x x ;

> dsolve({eqn1,cond1},y(x));

(знаходимо частинний розв'язок рівняння);

y x e

x ;

б) > eqn2:=diff(y(x),x)-y(x)*tan(x)=1/cos(x);odeadvisor(eqn2);

eqn2 :

y x y x tan x

;

cos x

_ linear ;

> dsolve(eqn2,y(x));

(знаходимо загальний розв'язок рівняння);

y x

x _ C1

;

cos x

> cond2:=y(0)=0;

cond 2 : y 0 0 ;

> dsolve({eqn2,cond2},y(x)); (знаходимо частинний розв'язок рівняння);

y x

cos x

Завдання 3. Розв'язати диференціальні рівняння вищих порядків

0; в) y

11y

6y 0;

а) y

; б)

2 y

г) y

x2 ; д)

y x cos x sin x;

е) y 2y ex x2 x 3 , y

x0 1, y

x0 1.

263

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб49Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб238Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc