Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

Тоді C1 (x) cos xdx sin x ,

C2

(x)

sin 3 x

dx

1 cos2 x

d (cos x)

1

cos x .

cos2

x

cos2 x

1

cos x

cos x

sin x

*

Y

(x)

sin x

cos x

sin x

cos x

cos x

cos x sin x

sin x

sin x cos x

tgx

2

cos x

.

x

sin

1 cos

2

x

2

Розв'язок цієї системи має вигляд:

Y C

cos x

C

sin x

tgx

,

1

2

sin x

cos x

2

або

y1 C1 cos x C2 sin x tgx,

y2 C1 sin x C2 cos x 2.

Частинний

розв'язок

лінійної

неоднорідної

системи зі сталими

f1 (x)

І) Якщо

F

f2

(x)

, де

f

(x) P

(x)e x , і

P

– багаточлен

k

nk

nk

fk (x)

степеня nk ,

то частинний розв'язок системи будемо шукати не у вигляді

y *

1

xsQ (x)e x

*

(як для одного рівняння), а у вигляді Y * y2

, де

n

*

yn

y* (x) Q(k)

(x)e x ,(k 1,2,...,n) ,

(13.38)

k

n s

і Q(k )

(x) – багаточлен степеня

n s з невідомими коефіцієнтами

n s

dy

2e x ,

1

y

2

0

0

1

2

Розв'язати систему: dx

Y

e x

.

або

Y

dy2

0

2

y1

x

2

,

1

0

x

dx

dy

1

y ,

dx

2

Розв'язання.

Відповідна

однорідна

система

і

dy2

y1,

dx

характеристичний багаточлен

1

2 1.

1

Характеристичне рівняння 2 1 0 має корені

1,2

1. Власні вектори

Y1(x) іY2 (x) ,

які відповідають власним числам

1 1

і 2 1,

згідно з

(13.31), знаходимо з наступних систем.

b1 b2

0,

b2 0b2

b1 , ( b1 – будь-яке).

При 1 1

b1

b1 b2

0,

Нехай b 1

1, Y (x)

1

b

e x .

1

2

1

1

При 2 1

b1 b2

0,

b2 b1 , (b1 – будь-яке).

b2

b1

0,

Нехай b 1

b

1, Y

1

(x)

e x .

1

2

2

1

1

1

y C e x C e x ,

Y (x) C

e x C

e x ,

або 1

1

2

1

2

y

C e x C

e x .

1

1

2

2

1

Подамо праву частину у вигляді

F (x)

2

0

F (x) F (x).

e x

e0x

0

2

1

2

x

Частинний розв'язок буде дорівнювати відповідно Y * (x) Y * (x) Y * (x) .

1

2

Для

першого

доданку

1

і

збігається

з

простим

коренем

характеристичного рівняння ( n1 0, n2 0, n max nk

0; s 1), згідно

з (13.38) Y * (x)

a x l

1

1

e x .

1

a2 x l2

Для

другого

доданку

0

і

не

збігається

ні

з

одним

коренем

характеристичного рівняння ( n1 0, n2

2, n max nk

2; s 0 ), отже

a

x2

l x d

Y * (x)

3

3

3

.

2

2

a4 x

l4 x d4

З огляду на принцип суперпозиції розв'язуємо дві системи:

Y

*

AY *

F

і Y *

AY * F

,

1

1

1

2

2

2

a

a x l

0

1 a x l

2

1

e x

1

1

e x

1

1

e x

e x ,

1

0

a2

a2 x l2

a2 x l2

0

a

a x l

a

x l

2

,

1

1

1

2

2

a

2

a

2

x l

2

a x l

0

1

1

a1x l1 a1

a2 x l2 2

a1x l1 a1 a2 x l2 2,

x l

a

a x l

,

a

x l

a

a x l .

a

2

2

2

2

2

1 1

2

1 1

a1 l1 l2

2,

2,a1

1,l1 l2

1,

( l1 – будь-яке).

l1 l2

2a1

a1

0,

Нехай l

0,l

1. Y *

(x)

x

2

e x .

1

1

x 1

2a

x l

0

a

x

2

l

x d

0

3

3

1

3

3

3

Для другої системи

розв'язок

2

2

2a4 x l4

1

0

a

x

l

x d

x

4

4

4

знаходимо аналогічно та отримуємо: Y *

x2 2

(x)

.

2

2x

Остаточно, загальний розв'язок системи

1

1

x

x2 2

Y (x) C

C

e x

e x

e x

1

2

2x

1

1

x 1

або

y C e x

C

2

e x xe x x2

2,

1

1

y

2

C e x

C

2

e x (x 1)e x

2x.

1

ІІ)

Якщо

f

k

(x)

P (x)e x cos x

або (й)

f

k

(x) P

(x)e x sin x ,

n

n

k

k

то частинний розв'язок системи шукаємо у вигляді

y

k

(x) e x Q(k1) (x) cos x Q(k2 )

(x) sin x ,

(13.39)

n s

n s

де s визначається так само,

як

і

у

випадку

(І), причому з коренями

характеристичного рівняння порівнюється число i .

Характеристичне рівняння 2 1 0,

i . Знайдемо розв'язок,

1,2

відповідний 1 i .

(1 i)b1

b2 0,

(1 i)b1

b2

0b2

(1 i)b1

(b1 – будь-яке).

(1

i)b2 0,

2b1

Нехай b1 1,

тоді b2 1 i . Власний вектор, відповідний 1 i , дорівнює

1

.

1

i

~

1

1

cos x i sin x

Y (x)

eix

(cos x i sin x)

1

i

1

i

cos x i sin x

i cos x sin x

cos x

sin x

i

.

cos x sin x

sin x cos x

cos x

sin x

Y (x)

, Y (x)

.

1

2

cos x sin x

sin x cos x

cos x

sin x

Y (x) C

C

.

1

2

cos x sin x

sin x cos x

2sin x

F (x)

e0x

0

0 i збігається з

простим

коренем

характеристичного

рівняння.

Виходячи з (13.39), частинний розв'язок шукаємо у вигляді

Y

a x l

a

3

x l

3

* (x) 1

1

cos x

sin x.

a2 x l2

a4 x l4

Підставляємо до вихідного рівняння:

a

a x l

a

a

x l

1

cos x

1

1

sin x

3

sin x

3

3

cos x

a2

a2 x l2

a4

a4 x l4

1

1

a x l

a x l

2

2

1

3

3

cos x

x l

sin x

sin x.

2

1

a

2

x l