Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

yV 3yIV 2 y 0 .

Розв'язання.

Характеристичне рівняння 5 3 4

3 ( 2 3 2) 0 .

Корені характеристичного рівняння

.pdf

Скачиваний:

172

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

6.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 243 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Приклад 2. yy 2( y )2 0 .

Розв'язання. Задане рівняння не містить явно x . Тому раціонально

виконати таку заміну:	y Z ( y), y Z			dZ	yZ	dZ	2Z 2	0 .

				dy		dy
а) Z 0. Тоді	y	dZ	2Z . Отримано рівняння з відокремлюваними

		dy

змінними.

dZZ 2 dyy Z C1 y 2 .

Замінюючи Z на y , знову одержуємо рівняння першого порядку:

y C1 y 2 .

Відокремлюючи змінні і інтегруючи, знайдемо загальний розв'язок даного рівняння:

dy	C dx y	1		;
	C dx y			;
y 2	1	C x C
y 2		C x C	2
		1	2

б) Z 0 y 0 y C , але цей розв'язок міститься в загальному

(при C1 0 ).

13.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння вигляду

	y (n) a1 (x) y (n1)			... an1 (x) y an (x) y 0 ,			(13.7)

де ai (x) (i 1, n) – деякі функції, називаються лінійними							однорідними
диференціальними рівняннями n-го порядку (ЛОДР).
Фундаментальною системою розв'язків рівняння (13.7) називають
будь-які n лінійно незалежних розв'язків.
Нехай y1(x), y2 (x),...,yn (x)					розв'язок диференціального рівняння
n-го порядку. Визначник
				y1	y2	yn
				y1	y2	yn

		W (x)		y1	y2	yn
		W (x)
			y(n1)		y(n1)	y(n1)
			1		2	n

називається визначником Вронського (або Вронскіаном).

214

Якщо Вронскіан W(x), складений для розв'язків y1(x), y2 (x),...,yn (x) , тотожно рівний нулю, то ці розв'язки лінійно залежні. Якщо W(x) не обертається в нуль ні в одній точці, то це означає, що розв'язки лінійно незалежні. Будь-яке лінійне однорідне рівняння має фундаментальну систему розв'язків.

Теорема. Якщо y1(x), y2 (x),...,yn (x) – фундаментальна система розв'язків лінійного однорідного рівняння, то його загальний розв'язок має вигляд:

y(x) c1 y1(x) c2 y2 (x) ... cn yn (x) ,

(13.8)

де c1,c2 ,...cn – довільні сталі.

13.4.1. Розв'язання ЛОДР зі сталими коефіцієнтами

Оскільки y і y(i) (i 1, n) входять до рівняння (13.7) лінійно, будемо шукати розв'язок у вигляді y e x , де – дійсне або комплексне число (всі похідні цієї функції відрізняються від неї лише сталим множником:

y(k ) k e x ).
Підставимо	e x			в	рівняння	(13.7),			враховуючи,	що
ai (x) ai const (i		1, n		) . Тоді одержимо
	e x		n a n 1 ... a			a	n	0 .
					1	n 1	n
Тому що	e x 0			і	коефіцієнти	a const,			то знаходження
						i

фундаментальної системи розв'язків рівняння (13.7) зводиться до операцій алгебри, а саме до розв'язку наступного алгебраїчного рівняння n-го степеня:

n a1 n 1 ... an 1 an 0 .

Це рівняння називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння.

Характеристичне рівняння, як алгебраїчне рівняння n-го степеня, має n коренів (дійсних або комплексних)

1, 2 ,..., n .

При розв'язанні характеристичного рівняння можливі випадки:

215

1. Корені характеристичного рівняння 1, 2 ,..., n – дійсні та різні,

тоді диференціальне рівняння (13.7) має n лінійно незалежних частинних розв'язків y1 e 1x , y2 e 2x ,...,yn e n x .

Загальний розв'язок диференціального рівняння (13.7) має вигляд: y(x) c1e 1x c2e 2x ... cne n x .

Приклад 1. Знайти загальний розв'язок ЛОДР y 6y 11y 6y 0 .

Розв'язання. 3 6 2 11 6 0 – характеристичне рівняння. Корені характеристичного рівняння 1 1, 2 2, 3 3 – дійсні

та різні. Тоді лінійно незалежні частинні розв'язки диференціального рівняння мають вигляд:

y1(x) e x , y2 (x) e2x , y3 (x) e3x ,

а загальний розв'язок диференціального рівняння є y(x) c1e x c2e2x c3e3x .

2. Корені характеристичного рівняння дійсні, але серед них є кратні. Нехай 1 2 ... k , тобто – дійсний корінь кратності k, інші корені характеристичного рівняння k 1, k 2 ,..., n – дійсні і різні.

Тоді дійсному кореню кратності k відповідає k частинних лінійно незалежних розв'язків диференціального рівняння (13.7):

y1 e x , y2 xe x ,...,yk xk 1e x .

У цьому випадку загальний розв'язок диференціального рівняння (13.7) має вигляд:

y(x) c1e x c2 xe x ... ck xk 1e x ck 1e k 1x ... cne n x .

Приклад 2. Знайти загальний розв'язок ЛОДР:

4 1, 5 2 – дійсні числа. Дійсний корінь 0 є коренем 3-ї кратності. Цьому кореню відповідають 3 лінійно незалежних частинних розв'язки диференціального рівняння вигляду:

y1 1, y2 x, y3 x2 .

216

Іншим кореням характеристичного рівняння 4 1, 5 2 відповідають лінійно незалежні частинні розв'язки вигляду: y4 ex , y5 e2x .

Загальний розв'язок диференціального рівняння є:

y(x) c1 c2 x c3 x2 c4ex c5e2x .

3. Серед коренів характеристичного рівняння, окрім дійсних, є і комплексно-спряжені корені, але немає кратних.

Нехай 1 i , 2 i . Цим комплексно-спряженим кореням відповідають два частинних лінійно незалежних розв'язки диференціального рівняння:

y1 e x cos x, y2 e x sin x .

У цьому випадку загальний розв'язок диференціального рівняння (13.7) має вигляд:

y(x) c1e x cos x c2e x sin x c3e 3x ... cne n x .

Приклад 3. Знайти загальний розв'язок ЛОДР: y IV 2 y 4y 2y 5y 0 .

Розв'язання. Характеристичне рівняння 4 2 3 4 2 2 5 0 .
4 1 2 3 2 4 2 4 0 ,
2 1 2 1 2 2 1 4 2 1 0 ,	2 1 2 2 5 0 .
Корені характеристичного рівняння:

1 1 2i, 2 1 2i ( 1, 2), 3 1, 4 1.

Парі комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння відповідають два частинних лінійно незалежних розв'язки:

y1 e x cos2x, y2 e x sin 2x .

Дійсним кореням характеристичного рівняння відповідають наступні два частинних лінійно незалежних розв'язки: y3 e x , y4 e x .

Загальний розв'язок диференціального рівняння:

y(x) c1e x cos2x c2e x sin 2x c3e x c4e x

або y(x) e	x c cos 2x c	2	sin 2x c		3	e x c	4	e x .
	1
4. Серед коренів характеристичного рівняння є кратні комплексно-
спряжені корені.
Нехай	1 i і	2		i		– пара комплексно-спряжених
коренів характеристичного		рівняння			кратності k. Такій парі коренів

217

кратності k відповідає 2k лінійно незалежних частинних розв'язків диференціального рівняння:

y		e x cos x, y	2	e x sin x,
1
y	3	xe x cos x, y		4	xe x sin x,

...
y2k 1 xk 1e x cos x, y2k xk 1e x sin x,
іншим кореням		характеристичного рівняння відповідають n 2k

частинних лінійно незалежних розв'язків вигляду

y2k 1 e 2k 1x ,..., yn e n x .

У цьому випадку загальний розв'язок диференціального рівняння (13.7) має вигляд:

y(x) c1e x cos x c2e x sin x x c3e x cos x c4e x sin x ...

xk 1 c2k 1e x cos x c2k e x sin x c2k 1e 2k 1x ... cne n x .

Приклад 4. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння: y IV 4 y 8y 8y 4 y 0 .

Розв'язання. Характеристичне рівняння

2 2 2 2 0 .

Корені характеристичного рівняння	1	2 1 i	та 3 4 1 i
1, 1 комплексно-спряжені	2-ї	кратності.	Частинні лінійно

незалежні розв'язки диференціального рівняння:

y1 e x cos x, y2 e x sin x, y3 xe x cos x, y4 xe x sin x .

Загальний розв'язок диференціального рівняння:

y(x) c1ex cos x c2ex sin x x c3ex cos x c4ex sin x .

13.5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння 2-го порядку:

y a1(x) y a2 (x) y f (x)	(ЛНДР).	(13.9)
Відповідне йому лінійне однорідне диференціальне рівняння 2-го
порядку:
y a1 (x) y a2 (x) y 0	(ЛОДР).	(13.10)

218

Теорема про структуру загального розв'язку ЛНДР. Загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння n-го порядку

y(n) a1(x) y(n1) ... an1(x) y an (x) y f x має вигляд: y(x) c1 y1(x) c2 y2 (x) ... cn yn (x) v x ,

де y1(x), y2 (x),...,yn (x) – фундаментальна система розв'язків відповідного лінійного однорідного рівняння; v(x) – який-небудь частинний розв'язок даного неоднорідного рівняння; c1,c2 ,...cn – довільні сталі.

За теоремою загальний розв'язок диференціального рівняння 2-го порядку (13.9) має вигляд:

y(x) c1 y1(x) c2 y2 (x) v(x) ,	(13.11)
де y1(x) і y2 (x) – лінійно незалежні частинні розв'язки диференціального

рівняння (13.10), а v(x) – який-небудь частинний розв'язок

диференціального рівняння (13.9); c1,c2 – довільні сталі.
Для відшукання загального розв'язку ЛНДР (13.9) розглянемо метод
варіації довільних сталих (у формі Лагранжа).
1.	Знаходимо загальний розв'язок ЛОДР (13.10)
	y(x) c1 y1 (x) c2 y2 (x) ,	(13.12)
де y1(x)	і y2 (x) – лінійно незалежні частинні розв'язки диференціального
рівняння (13.10), c1,c2 – довільні сталі.
2.	Запишемо загальний розв'язок ЛНДР (13.9) у формі (13.12):
	y(x) c1(x) y1(x) c2 (x) y2 (x) ,	(13.13)

де c1(x) і c2 (x) – невідомі функції. Функції c1(x) і c2 (x) підберемо так,

щоб функція

y(x) ,

що

визначається

співвідношенням (13.13) була

розв'язком диференціального рівняння (13.9).

3. Для визначення c1(x) і c2 (x) необхідно розв'язати систему

лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь:

c1 (x) y1 (x) c2 (x) y2 (x)

(13.14)

c1 (x) y1 (x) c2

(x) y2 (x) f (x).

Із системи рівнянь (13.14)

c1(x)

і c2 (x) визначаються єдиним чином, бо

визначник системи

W y1(x), y2 (x)

y1(x)

(x)

y1(x) y2

функції y1 (x)

і y2 (x)

лінійно незалежні.

219

Нехай

2 (x) .

c1(x) 1(x)

і c2 (x)

Тоді

c1(x) 1(x)dx c1

і c2 (x) 2 (x)dx c2 ,

де

c1 і c2

– сталі

інтегрування.

4. Знайдені c1(x) і c2 (x) підставимо в співвідношення (13.13) і

одержимо загальний розв'язок ЛНДР (13.9).

y(x)

(x)dx c

y (x)

(x)dx c y

(x)

або

y(x) c1 y1(x) c2 y2 (x) y1(x) 1(x)dx y2 (x) 2 (x)dx .

(13.15)

У співвідношенні (13.15)

c1 y1(x) c2 y2 (x) –

загальний

розв'язок

ЛОДР (13.10), а функція v(x) y1(x) 1(x)dx y2 (x) 2 (x)dx – частинний розв'язок ЛНДР (13.9).

Приклад. Знайти загальний розв'язок ЛНДР

(x 0) .

Розв'язання.

1. Знайдемо загальний розв'язок ЛОДР:

x 0 ,

ln c1 ,

звідси

y(x)

c1 ln

–

загальний розв'язок однорідного

y (x)

диференціального рівняння.

2. Загальний розв'язок вихідного ЛНДР шукаємо у вигляді

y(x) c1(x)ln

c2 (x) ,

де c1(x)

і c2 (x) – невідомі функції, що підлягають визначенню.

Для визначення цих функцій складемо систему рівнянь:

c (x) ln x c

(x) 1 0,

2 ,

c1(x)

(x)

ln x . Інтегруючи, одержимо:

звідси знаходимо c1

c2 (x)

c1(x) ln x c1,

220

(x)

ln x

ln 2

c2 .

4. Підставимо знайдені

c1(x)

і c2 (x)

у співвідношення для

загального розв'язку, тоді одержимо загальний розв'язок вихідного ЛНДР:

				y(x) ln		c ln								ln		2		x
																2
					x				x											c					,



						1										2						2
						1										2						2

або
				y(x) c ln			x	c			2		1		ln 2				x		,
													1

				1								2
			c									2					v(x)						1	ln 2
де	c ln	x		– загальний розв'язок						ЛОДР;																x	– частинний


	1		2																			2
																						2

розв'язок ЛНДР.

Примітка. Метод варіації довільних сталих можна застосовувати і до ЛНДР більш високих порядків (n>2).

13.6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння 2-го порядку з сталими коефіцієнтами та з правою частиною спеціального вигляду. Метод невизначених коефіцієнтів

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з сталими коефіцієнтами:

y a1 y a2 y f (x) ,	(13.16)
де a1, a2 – дійсні числа. Відповідне йому ЛОДР:
y a1 y a2 y 0 .
Відомо, що загальний розв'язок ЛОДР має вигляд:
y(x) c1 y1 c2 y2 ,

де c1, c2 – довільні сталі, а y1, y2 – фундаментальна система розв'язків цього диференціального рівняння.

Загальний розв'язок ЛНДР (13.16) визначається формулою y(x) c1 y1 c2 y2 v(x) ,

де v(x) – який-небудь частинний розв'язок (13.16).

У попередньому параграфі був розглянутий загальний метод пошуку загального розв'язку ЛНДР – метод варіації довільних сталих.

221

v(x)

Якщо f (x) має спеціальний вигляд, то частинний розв'язок v(x) може бути знайдений методом невизначених коефіцієнтів.

I. Нехай права частина диференціального рівняння має вигляд:

				f (x) P (x)e x ,
				n
де	P (x) b		b x ... b xn – багаточлен степеня n,		– яке-небудь
	n	0	1	n
дійсне число.
	При цьому можливі такі випадки:
	1)	Якщо		не є коренем характеристичного рівняння, то
частинний розв'язок шукаємо у вигляді:
				v(x) Q (x)e x ,
				n
де	Q (x) A		A x ... A xn – багаточлен степеня n з невизначеними
	n	0	1	n

коефіцієнтами.

Щоб знайти ці коефіцієнти, підставимо функцію в диференціальне рівняння і в одержаній тотожності прирівняємо коефіцієнти зліва та справа при однакових степенях x . Отримаємо систему n+1 рівняння для визначення коефіцієнтів A0 , A1,...,An .

Приклад 1. Знайти загальний розв'язок ЛНДР: y y x3e2x .

Розв'язання. Pn (x) x3 n 3; 2 .

Розглянемо відповідне ЛОДР y y 0 .

Характеристичне рівняння 2 1 0 , корені цього рівняння 1 1, 2 1. Число 2 не є коренем характеристичного рівняння.

Частинний розв'язок ЛНДР шукаємо у вигляді:

v(x) ( A0 A1x A2 x2 A3 x3 )e2x .

Підставимо функцію v(x) та її похідну v (x) у дане диференціальне рівняння й отримаємо тотожність:

2A2 6A3 x 4(A1 2A2 x 3A3 x2 ) 4( A0 A1x A2 x2 A3 x3 )( A0 A1x A2 x2 A3 x3 ) x3 .

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x , отримаємо систему 4-х рівнянь:

222

x3			3A3 1,
x 2		12 A3 3A2 0,
x	1	6 A 8A 3A 0,
		3	2	1
x	0	2 A 4 A 3A 0.
		2	1	0

Звідси A	1	, A		4	, A		26		, A				80	, тоді
Звідси A		, A			, A				, A					, тоді
3	3	2		3	1	9				0		27
	3			3		9						27
								80			26			4		1
			v(x)									x			x2		x3	e2x .
			v(x)									x			x2		x3	e2x .
								27			9			3		3

Загальний розв'язок диференціального рівняння:

				80		26		4		1
y(x) c ex c		e x					x		x2		x3	e2x .
y(x) c ex c		e x					x		x2		x3	e2x .
1	2			27		9		3		3
				27		9		3		3
2) Якщо є	простим		дійсним				коренем			характеристичного
рівняння, то частинний розв'язок шукаємо у вигляді:
		v(x) x Q (x)e x .
					n
Приклад 2. Знайти загальний розв'язок ЛНДР
		y 2 y 3y 8xe x .
Розв'язання. Pn (x) 8x n 1; 1.
Розглянемо відповідне ЛОДР
		y 2y 3y 0 .
Характеристичне рівняння 2 2 3 0 , корені рівняння													1,	2	3.
												1		2

Таким чином, число 1 є простим дійсним коренем характеристичного

рівняння.
Частинний розв'язок шукаємо у вигляді:
v(x) x A A x						ex .
			1	0
Підставимо функцію v(x) та її похідні						і		у дане диференціальне
Підставимо функцію v(x) та її похідні				v (x)		і	v (x)	у дане диференціальне
рівняння та одержимо тотожність:
2A0 8A0 x 4A1 8x .
Звідси
			8A0 8,
x1			8A0 8,
x	0	2A 4A 0.
x			0	1
	A		1, A		1	.
	A		1, A			.
	0		1	2
				2

223

<<< < Предыдущая 1 23 / 243 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
01.03.2025705.3 Кб0Kultura_KhIKh_s1pravka-1.rtf
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc