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Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

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27.

а) y 3

C cos3 x 3sin x cos2 x ; б)

1 Cx ,

особливий

розв'язок y x ; в) exy

x2 y2 ex 3e y C ; г)

y x ln xy e 2 ;

x Cesin y 2 1 sin y ; е)

д)

y Cx 2

1 C 2 ,

особливий

розв'язок

; є)

особливий розв'язок x2 4 y ;

y 4 x2

5 p 2

5 y C 2

;

ж) y

x 2

; з) ln y C e x C

e x .

28. а) y 2 3xy x2 5x 5y C ; б) y x2 ln Cx2 ;

x 2 ln y y 1 Cy 2 ; г)

в)

1 x4 ; д) sin

Cx ; е)

особливий розв'язок y 2 20x ; є) y p

tg p,

;

x p tg p ln cos p C;

ж) y x – особливий розв'язок ; з)

y 2

C e x C

y xtgx 1

29. а) x y ln Cx , особливий розв'язок y 0 ;б)

в)

y sin 2 x 2 ln

sin

x 2 cos2

x Cy ; г)

y 1;

y Cx C5 ,

C ; cos x

д)

2x 2 y C ;

е)

y Cx

особливий

розв'язок

1 C 2

x 2 p ln p,

sin 2x

x2 3 y2 3

4 ; є)

; ж) y x

C1 sin x C2 ; з)

y p

p C;

C e

30. а)

y3 Ce x x 1; б)

; в)

y 1 ex

2 ;

2sin x

г) arcsin

2 y

2 ln Cx ; д) sin xcos y sin 2 x cos2

y C ;

p 1,

, особливий розв'язок y x ;

е)

; є) y

y ln p

C p 1;

2 2C

ж) y

x2 ; з) C y 1 3 2

3C1

x C

404

Завдання 3

	y C1 cos x C2 sin x cos x ln																																	x
																																		x
1.																																tg							4			.
1.																																tg										.
																																		2
2.	y C x e x C																			2		ln			x	xe x .
2.	y C x e x C																					ln			x	xe x .
				1
					6
3.	y								x 1 5 2 2 x 1 3 2																					C1 e x 2 x 1 3 2 C2 xe x .
3.	y				5				x 1 5 2 2 x 1 3 2																					C1 e x 2 x 1 3 2 C2 xe x .
					5
4.	y C						ln				cos x						e2x cos x C														2			x e2x sin x .
4.	y C						ln				cos x						e2x cos x C																	x e2x sin x .
				1
						x			2						x			2									2x							C			x ln x x xe 2x .
5.	y					x				ln x					x						C			e			2x								2
5.	y									ln x											C			e
							2									4							1
							2									4
	y C1 cos x C2 sin x sin x ln																																	x									2 .
																																		x
6.																															tg								4
6.																															tg
																																		2
																																						x
																2						x																x					x
7.	y C										4 x								e					C					arcsin										xe					.
7.	y C										4 x								e					C					arcsin										xe					.
					1																							2									2
																								1																									1
																								1																									1
8.	y C			e 2x C										xe 2x														e 2x . 9.								y C ln										x	e x C			xe x .
8.	y C			e 2x C										xe 2x														e 2x . 9.								y C ln										x	e x C			xe x .
			1										2											2x																			1					2	x
			1										2											2x																			1					2	x
																														1
10.		y	C						arctge x e x														C										ln 1 e 2x e2x .
10.		y	C						arctge x e x														C										ln 1 e 2x e2x .
					1																						2			2
11.		y C						C			2	e x		e x 1 ln e x 1 x .
					1						2
12.		y C1 cos x C2 sin x 2 cos x ctg x																																							1				.


																																								sin x

13.y C1 x e x cos x C2 ln sin x e x sin x .

14.y C1 x cos x C2 ln sin x sin x .

15.y C1 cos2x C2 sin 2x 2sin 2x ln tg x .

16.y C1 cos2x C2 sin 2x x cos2x sin 2x ln cos x .

17.y C1 ln cos x cos x C2 x sin x .

18.y C1 ln 2 e 2x e2x C2 4x e 2x 2 ln 1 2e2x e4x .

19.y C1 3x cos3x C2 ln sin 3x sin 3x .

20.y C1 C2e2x e x 3e2x ln e x 3 .

21.y C1 C2e 3x e 3x 1 ln e3x 1 .

22.y C1e 2x C2e 4x 12 e 2x 2e 4x ln e2x 2 .

23.y C1 2x cos2x C2 ln sin 2x sin 2x .

405

24.y C1 cos 2x C2 sin 2x sin 2x ln tg 4x .

25.y C1e 2x C2 xe 2x 21x e 2x .

26.y C1 cos2x C2 sin 2x x cos2x sin 2x ln cos x .

								x		2												x		2																C						x ln x x xe 2x .
27.	y							x			ln x											x				C							e 2x
27.	y										ln x															C							e 2x											2
									2														4							1														2
									2														4												ln e x 3 .
28.	y C							C				2		e2x										e x 3e2x											ln e x 3 .
			1									2							e x 1 ln e x 1 x .
29.	y C							C				2		e x					e x 1 ln e x 1 x .
			1									2		e 3x e 3x 1 ln e3x 1 .
30.	y C							C				2		e 3x e 3x 1 ln e3x 1 .
			1									2
	Завдання 5
1. а) y C				1			C				2		e x						2x 3 e x ,
				1							2
					x																					x													1										1										x
б) y C1e									cos3x C2e																		sin 3x															cos3x										sin 3x				xe				,
б) y C1e									cos3x C2e																		sin 3x												3			cos3x							6			sin 3x				xe				,
																																							3										6
																																						1																	9						2x
в)	y C1cos3x C2 sin 3x																															x								cos3x									3x								sin 3x e					.
в)	y C1cos3x C2 sin 3x																															x								cos3x									3x						5		sin 3x e					.
																																						10																	5
2. а) y C						1			e 5x						C						2		xe 5x							e 3x								,
						1															2
б)	y C e3x cos x C																								e3x sin x											1		xe3x cos x										,
б)	y C e3x cos x C																						2		e3x sin x													xe3x cos x										,
	1																						2												2
																																			2
																																2						6														4				33
в)	y C cosx C															2			sin x															x						cosx														x				sin x e x .
в)	y C cosx C																		sin x															x						cosx														x				sin x e x .
	1																										5										25															5					25
																											5										25															5					25
3. а) y C e3x C																				xe3x								4			x3e3x ,
3. а) y C e3x C																		2		xe3x											x3e3x ,
					1													2									3
																											3
б)	y C e 2x C																2		e x 0,1x 0,12 sin x 0,3x 0,34 cos x ,
		1															2
																																																			3
в)	y C e							2x cos2x C																			e 2x sin 2x cos2x																										sin 2x xe 2x .
в)	y C e							2x cos2x C																			e 2x sin 2x cos2x																										sin 2x xe 2x .
	1																									2																									4
																																																			4
																																													1						1
4. а) y C e 2x cos4x C																														e x sin 4x																	x2							e x ,
4. а) y C e 2x cos4x C																														e x sin 4x																	x2							e x ,
					1																						2																8							64
																																											8							64
б)	y C		cos x C																	sin x									1			x cos x									1		x2 sin x ,
б)	y C	1	cos x C														2			sin x												x cos x											x2 sin x ,
		1															2										4													4
																											4													4
в)	y C ex								C						e 5x ex sin x .
	1												2
5. а) y C e 5x C																				2		xe 5x x2e 5x ,
					1															2

406

б)	y C	1	e3x C				2	xe3x 3sin x 4 cos x e x ,
		1					2
в)	y C cos2x C										sin 2x							33		x cos2x								1	x2 sin 2x .
в)	y C cos2x C									2	sin 2x									x cos2x									x2 sin 2x .
	1									2							8										4
																	8										4
						7 x					1						7				x
6. а) y C1 C2e													x						e			,
6. а) y C1 C2e													x						e			,
											6				36
б)	y C		e x cos2x C											e x sin 2x									1			xe x sin 2x ,
б)	y C	1	e x cos2x C									2		e x sin 2x												xe x sin 2x ,
		1										2										4
																						4
																					1				1							1		1
в) y C1cos2x C2 sin 2x																						x					cos2x						x
в) y C1cos2x C2 sin 2x																					2	x			2		cos2x						x	4
																					2				2							4		4
7. а) y C ex C									e 2x			x 0,7 e3x ,
				1			2
б)	y C1cos x C2 sin x															1	x cos x							1		x sin x				,
б)	y C1cos x C2 sin x																x cos x									x sin x				,
															2							2
				4x								4x																			3				2x
в)	y C1e				cos x C2e										sin x						x cos x x											sin x e
в)	y C1e				cos x C2e										sin x						x cos x x										2	sin x e
																															2

sin 2x e2x

	4x		4x	1		3	1		2		4x
8. а) y C1e		C2 xe			x			x		e		,
8. а) y C1e		C2 xe		6	x		2	x		e		,
				6			2

б)	y C ex				C						e 4x 5sin x 7cosx e2x ,
	1								2
в)	y C cos4x C													sin 4x												1			x2 cos4x							33			xsin 4x .
в)	y C cos4x C												2	sin 4x															x2 cos4x										xsin 4x .
	1												2											16												64
																								16												64
9. а) y C				C						e7x							1				x3						6			x2			37		x ,
9. а) y C			1	C				2		e7x											x3									x2					x ,
			1					2								21								49								343
																21								49								343
б)	y C e x cos2x C																			e x sin 2x 8cos2x 2sin 2x ,
	1																	2
		2x																	2x																	1				2x
в)	y C1e					cos x C2e																	sin x 4cos x															sin x xe			.
в)	y C1e					cos x C2e																	sin x 4cos x													2		sin x xe			.
																																				2
10. а) y C					1		e 2x C									2		e 3x						5x2								20x e 2x ,
					1											2
б)	y C e4x						C				2	xe4x e4x cosx ,
	1										2
																										x		1
в)	y C1cos5x C2 sin 5x																														cos5x xsin 5x .
в)	y C1cos5x C2 sin 5x																											10			cos5x xsin 5x .
																									4			10
11. а) y C ex C													2	e 4x								xe 4x ,
				1									2
б)	y C ex				C								1		ex sin x cos x ,
б)	y C ex				C				2						ex sin x cos x ,
	1								2				2
													2
в)	y C cos6x C													sin 6x 3x2 cos6x																				35			xsin 6x .
в)	y C cos6x C												2	sin 6x 3x2 cos6x																							xsin 6x .
	1												2																			72
																																72

407

12. а)		y C e2x												C								e 4x								2xe 4x ,
					1															2
б)	y C			C						e 2x											2				e x 3sin x cos x ,
б)	y C		1	C				2		e 2x															e x 3sin x cos x ,
			1					2													5
																					5
в)	y C cos4x C																			sin 4x															1			x cos4x												1			x2 sin 4x .
в)	y C cos4x C																		2	sin 4x																		x cos4x															x2 sin 4x .
		1																	2														8																2
																																	8																2
												x												2x								1								2							x
13. а)		y C1e												C2e																							x				x e								,
13. а)		y C1e												C2e																		2					x				x e								,
																																2
б)	y C cos3x C																			sin 3x													1							cos x							1		xsin x ,
б)	y C cos3x C																		2	sin 3x																				cos x									xsin x ,
		1																	2														16													4
																																	16													4
	y C1e				2x			cos3x C2e																				2x			sin 3x													3	cos3x											1					2x
в)																																																										sin 3x xe				.
в)																																												2												6		sin 3x xe				.
																												x3																2												6
14. а)		y C e2x												C								e3x						x3										3x2						9x e2x ,
					1															2
б)	y C			e3x C														e 3x											1			6sin x cos x e3x ,
б)	y C		1	e3x C												2		e 3x										37				6sin x cos x e3x ,
			1													2

в)	y C cos2x C																			sin 2x														1			x2 cos2x															23			xsin 2x .
в)	y C cos2x C																		2	sin 2x																	x2 cos2x																		xsin 2x .
		1																	2														8																		16
																																	8																		16
		y C1e									x		C2e										3x						1								3			2x			2						1					3x
15. а)																																			x																	x e					,
15. а)																																			x														2			x e					,
																													3																				2
б)	y C			e x				C								e2x										1				sin x 3cos x ,
б)	y C		1	e x				C						2		e2x														sin x 3cos x ,
			1											2												10
																										10
																																												1
в)	y C e x cos3x C																										e x sin 3x																			cos3x sin 3x xe x .
в)	y C e x cos3x C																										e x sin 3x																			cos3x sin 3x xe x .
		1																						2																		6
																																										6
16. а)		y C				1			e			x				C					2			e		3x						1				e			2x		,

																																3


б)	y C e4x cos3x C																										e4x sin 3x 2xe4x sin 3x ,
		1																						2
в)	y C cos3x C																		2	sin 3x x 2 cos3x 6x 6 sin 3x ex .
		1																	2
17. а)		y C C													e x						3xe x ,
					1								2							0,1x 0,12 cosx 0,3x 0,34 sin x ,
б)	y C e2x C																ex			0,1x 0,12 cosx 0,3x 0,34 sin x ,
		1												2
																																																	3										1
в)	y C e 2x cos3x C																											e 2x sin 3x																										cos3x						sin 3x xe 2x .
в)	y C e 2x cos3x C																											e 2x sin 3x																										cos3x						sin 3x xe 2x .
		1																									2																						2										3
																																																	2										3
18. а)		y C							e x cos2x C																						e x sin 2x															1		xe x ,
18. а)		y C				1			e x cos2x C																					2	e x sin 2x																	xe x ,
						1																								2																2
																																														2
б)	y C e3x cos3x C																										e3x sin 3x xe3x sin 3x ,
		1																						2
в)	y C C						2		e 2x 2x 2 cosx x 2 sin x e 2x .
		1					2

408

19. а)

y C

e4x cos x C

e4x sin x x2 2 e4x ,

б)

y C ex cosx C

ex sin x 2xex cosx ,

в) y C C

e 4x

cos4x

xsin 4x e 4x .

20. а)

y C ex

e 3x

x3 2x2

e 3x ,

б)

y C

e x

e 2x

3sin 2x cos2x ,

в)

y C e x cos x C

e x sin x cos x

sin x xe x .

y C1e2x C2

x ,

21. а)

б)

y C cos3x C

sin 3x

xsin 3x ,

в)

y C e x cos4x C

e x sin 4x

8 x 1 cos4x x 2 sin 4x e 2x .

e 7 x

22. а)

y C e2x

x3 x2

x e2x ,

б)

y C

e x

e6x

7 cos x 5sin x ,

в)

y C1e

cos2x C2e

sin 2x

cos2x sin 2x xe

23. а)

y C1e

C2e

x e

б)

y C e x cos2x C

e x sin 2x 4 cos x 3sin x ,

в)

y C e3x cos2x C e3x sin 2x 3xe3x cos2x .

y C e x

24. а)

e3x

x e3x ,

б)

y C

e 4x

2 cos2x sin 2x ,

в)

y C e3x cos x C

e3x sin x

cos x

sin x xe 3x .

25. а)

y C e6x

e 2x

x3 x2

x e 2x ,

409

б)

y C

e5x C

e 2x

3cos x 2sin x ,

в)

y C e 3x cos2x C

e 3x sin 2x 2xe 3x sin 2x .

26. а) y C

2x ,

б)

y C e 2x cosx C

e 2x sin x 2x 2 cosx 2x 1 sin x ,

в)

y C e 3x cos3x C

e 3x sin 3x

cos3x 2sin 3x xe 3x .

27. а) y C1e

C2 xe

б)

y C

e x

e3x

e2x sin x ,

в)

y C1e

cos4x C2e

sin 4x

cos4x 2sin 4x xe

28. а) y C e4x cos3x C

e4x sin 3x

xe4x ,

б)

y C1cos2x C2 sin 2x

x sin 2x ,

в)

y C ex

e 6x

cos x

sin x e 5x .

29. а) y C e 2x

e x 4xe 2x ,

б) y C1 C2e x

x 1 cos x

x 1 sin x ,

в)

y C ex cos x C

ex sin x

3cos x 7sin x xex .

30. а) y C ex C

e 2x

x e 2x ,

б)

y C cos x C

sin x

sin x cos x e2x ,

в)

y C1cos5x C2 sin 5x

sin 5x x cos5x .

410

	Завдання 6
Корені характеристичних рівнянь:
1 – 8, 25 – 27
а)	1 2,	2,3 3 i ; б) 1 0, 2		3 1; в)			1 2	1, 3 2
9 – 16, 28 – 30
а)	1 1, 2,3 1 2i ; б)		1 2,		2	3	3 (9,11,13,15);		1 0 ,
2	3 1	(10,12,14,16); в) 1	2	1,	3	2 .
17 – 24
а)	1 2,	2,3 1 2i ; б) 1 3,		2	3 1; в) 1			1, 2 3 1.

Завдання 7

1.y1 C1cos x C2 sin x x cos x,y2 C1sin x C2 cos x x sin x.

	y			37		cos 2x			31		sin 2x C e2x	1	C		e x ,

2.		1		20				20			1	2		2
					43			19
	y						sin 2x			cos 2x C e2x C				e x.
			2
				20				20			1	2

3.y1 C1cos x C2 sin x x cos x,

y2 C2 C1 cos x C1 C2 sin x x sin x cos x .

4.y1 C1cos2x C2 sin 2x 2x 2,

y2 C1 2C 2 cos2x 2C1 C2 sin 2x 10x.y1 C1x C2 2 sin 2x,

y2 1 2C1x 2C 2 C1 sin 2x cos2x.

6.y1 C1cos x C2 sin x tg x,y2 C1sin x C2 cos x 2.

y1 C1cos x C2 sin x x cos x sin x cos x sin x ln cos x ,

y C C cos x C C sin x 2 cos x ln cos x 2x sin x.

2 1 2 1 25.

		y		1		e	x	sin 2x x 2C cos 2x 2C		sin 2x ,


8.		1		2				1	2
8.					1
	y				1	ex 2cos 2x x sin 2x 4C sin 2x 4C						cos 2x .
	y		2			ex 2cos 2x x sin 2x 4C sin 2x 4C					2	cos 2x .
			2	4				1			2
				4

411

	y		C		cos x C			sin x x sin x cos x ln					cos x	,
	y		C		cos x C			sin x x sin x cos x ln					cos x	,
9.	1			1			2
9.	1			1			2
	y	2	C			sin x C			2	cos x sin x ln	cos x	x cos x.
		2			1				2

10.y1 C1cos2x C2 sin 2x x,y2 C1sin 2x C2 cos2x 1.

11.y1 C1cos x C2 sin x,

y2 C1sin x C2 cos x sin x.

12.y1 C1cos x C2 sin x x,

y C sin x C cos x x2 1.

2 1 2

	y C					1			e3x C									2			xe3x x,
13.		1				1												2
13.				C1 C2 e																3x													3x
																				3x		C2 xe											3x	x.

	y2
	y C					1			e x		C				2					xe x				x2e x ,
14.		1				1									2
14.										x																			x					x			2
										x																			x					x			2
				C1e C2 x 1 e e 2x x .
	y2			C1e C2 x 1 e e 2x x .
	y			C		1			x C				2		2 cos x 3sin x,
		1				1							2
15.					1			C1				1		C1x										1								2 sin x.
	y2																										C2
	y2				4							2												2			C2
					4							2												2
	y			C					e x		C									xe x							5		cos x,
	y			C					e x		C									xe x									cos x,
16.		1				1									2											2
16.																																							5
	y			C e x							C										xe x C											e x 5 cos x							5	sin x.
	y		2	C e x							C						2				xe x C										2	e x 5 cos x								sin x.
			2					1									2														2							2
																																						2
	y C					1			e x		C				2					xe x				8e x x5 2 ,
		1				1									2
17.				C1e x C2 xe x																								1		C2e x					8e x x5 2 10e x x3 2 .
	y2																											1
	y2
																										2
	y xex x2 2																						1		ex C ex										C	e x		,
	y xex x2 2																								ex C ex										C	e x		,
18.		1																				2											1		2
18.							3
	y						3			ex x ex 2x C ex																									C	e x .
	y		2							ex x ex 2x C ex																									C	e x .
			2			2																											1		2
						2
	y			C		1			e x		C				2				e2x					cos x 2 sin x,
		1				1									2
19.				C1e x										2		C2e2x 2 cos x 2 sin x.
	y2													2
	y2													3
														3

412

	y C		1	e x C			2	e3x	xe x e4x ,
20.	1
					x				3x x	x	4x

		C1e				C2e			e xe 2e .
	y2

21.y1 C1 2C2e x 2e x ln e x 1,

y2 2C1 3C2e x 3e x ln e x 1.

y1 e x 7ex C1e 4x C2e 7 x ,

22.y2 2e x ex 1 C1e 4x C2e 7 x .

	y 2e2x C ex C e x																									,
23.		1										1										2
23.				9e2x 3C ex C e x.
		y		9e2x 3C ex C e x.
			2										1										2
			2										1										2
	y xex C ex C e x ,
24.		1										1								2
24.				ex xex C ex 3C e x.
		y		ex xex C ex 3C e x.
			2														1									2
			2														1									2
	y C						1		e x		C		2		e2x						e x ,
25.		1					1						2
25.											x											2x					x
				2C1e							x			3C2e								2x				2e	x	.
	y2			2C1e										3C2e												2e		.
	y C						1		e x		C		2		e3x						x 2,
26.		1					1						2
26.											x									3x
											x									3x
				C1e C2e																			2x 1.
	y2			C1e C2e																			2x 1.
	y			C			1		e x		C		2		e x							sin x,
27.		1					1						2
27.										x									x
				C1e						x	3C2e								x				sin x cos x.
	y2			C1e							3C2e												sin x cos x.
	y			C			1		e x		C		2		e3x						e x 2 cos x sin x ,
28.		1					1						2
28.										x								3x							x	3cos x sin x .
				C1e						x	C2e							3x				e			x

	y2
	y				9		e3x C ex										C						e x ,
	y						e3x C ex										C						e x ,
29.		1		4								1										2
29.						7
	y					7		e3x C ex 3C																e x.
	y		2					e3x C ex 3C																e x.
			2	4								1											2
				4
	y C						1		e x C						2		e3x x,
		1					1								2
30.				C1e x										1		C2e3x .
	y2													1
	y2												5
													5

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