Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

або xu u v xv u u 2v2 ln x .

Визначимо функцію u так, щоб коефіцієнт при v дорівнював нулю:

За функцію u приймаємо частинний розв'язок рівняння при C 1. Тоді для визначення v одержимо рівняння

Кожному значенню С відповідає своя крива сім'ї, тобто на кожній кривій сім'ї параметр С зберігає постійне значення. Крива L називається обвідною однопараметричної сім'ї кривих, якщо у кожній точці вона дотикається

Приклад. Знайти обвідну сім'ї кіл

x C 2 y2 1,

F x, y,C x C 2 y 2 1.

204

Оскільки на y 1 F 2 y 0 , ці лінії є обвідними.

y

13.2.1. Особливі розв'язки диференціальних рівнянь

Теорема Коші для рівняння y f x, y стверджує, що якщо у

деякій області функції f x, y та f x, y неперервні, то через кожну точку

y

цієї області проходить лише одна інтегральна крива цього рівняння. Точки, в яких не виконуються умови теореми Коші, називаються особливими точками диференціального рівняння. Лінію, всі точки якої є особливими,

називають особливою лінією рівняння. Якщо особлива лінія є в той же час інтегральною для рівняння, то вона називається особливою інтегральною лінією або особливим розв'язком.

Про те, що відбувається в особливій точці, заздалегідь сказати нічого не можна: через неї може проходити декілька інтегральних кривих, може не проходити жодної.

Приклад. y xy .

Розв'язання. Загальний розв'язок диференціального рівняння має вигляд: y Cx . Це сім'я прямих, що проходять через початок координат.

рівняння і є особливою лінією. Через особливі точки, відмінні від початку

205

координат, не проходить жодна інтегральна крива, через початок координат проходить безліч інтегральних кривих.

Загальний розв'язок диференціального рівняння I порядку геометрично являє собою однопараметричну сім’ю плоских кривих y x,C .

Якщо ця сім'я має обвідну, то ця обвідна також є інтегральною кривою. Насправді, у будь-якій своїй точці обвідна дотикається деякої інтегральної кривої. Але тоді в кожній своїй точці обвідна має ті ж координати x та y і той же кутовий коефіцієнт y , що і деяка інтегральна крива в цій же точці. Тому числа x, у та y в будь-якій точці обвідної задовольняють диференціальному рівнянню, звідки випливає, що обвідна сама є інтегральною кривою.

Але в кожній її точці порушуються умови теореми Коші, бо через кожну точку обвідної проходять, принаймні, дві інтегральні криві. Отже,

206

інтегрувати рівняння (13.5) іншими методами. Одним з таких методів є метод введення параметра. Він полягає в тому, що розглядувані змінні виражаються через параметр і розв'язок шукається в параметричній формі. Особливо цей метод є зручним у тих випадках, коли рівняння (13.5) розв'язано або відносно у, або відносно х.

Щоб знайти друге співвідношення, помітимо, що ця рівність перетворюється на тотожність, якщо х та у вважати розв'язком диференціального рівняння в параметричній формі x p , y p .

Тотожність можна диференціювати:

Прирівнюючи обидва вирази для dy , отримаємо диференціальне рівняння, що зв'язує х і р:

207

Це рівняння розв'язане відносно dpdx . Якщо ми зуміємо проінтегрувати його, то одержимо загальний інтеграл x, p,C 0 .

Розв'язання. Вводимо параметр y p . Перше рівняння, що зв'язує у та р, має вигляд:

Після інтегрування знайдемо: x 12 ln 2 p ln p C .

Сукупність одержаних рівнянь визначає загальний розв'язок диференціального рівняння в параметричній формі:

208

Загальний розв'язок у параметричній формі має вигляд:

Параметр можна виключити та одержати загальний інтеграл рівняння:

x2 3 y C 2 3 a2 3 .

Проте не завжди рівняння вдається проінтегрувати в квадратурах. Але є рівняння, для яких метод введення параметра може бути доведений до кінця. До таких рівнянь належать рівняння Лагранжа та Клеро.

209

13.2.3. Рівняння Лагранжа та Клеро

Рівнянням Лагранжа називається рівняння F x, y, y 0 , якщо воно лінійне відносно х та у, тобто може бути представлено у вигляді:

A y x B y y C y 0 .

Розв'яжемо це рівняння відносно y B y 0 : y x y y . Вводимо параметр y p . Тоді y x p p .

Диференціюючи і виключаючи у за допомогою співвідношення dy pdx ,

одержимо

pdx p dx x ' p dp ' p dp або p p dx x ' p ' p dp . 1. p const dp 0 ,

p p dpdx x ' p ' p .

Одержане рівняння є лінійним диференціальним рівнянням I-го порядку. Інтегруючи його, знайдемо: x x p, C . Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа в параметричній формі має вигляд:

рівняння.

Розв'язок y x p0 p0 не входить у загальний розв'язок і є особливим розв'язком рівняння Лагранжа.

3. p p 0 . У цьому випадку ми одержуємо рівняння Клеро: y xy y .

Розв'язуючи його так само, як і рівняння Лагранжа, одержуємо y xp p ,

pdx xdp pdx p dp

або x p dp 0 .

1) dp 0 p C .

Загальний розв'язок рівняння Клеро має вигляд: y Cx C . Це однопараметрична сім'я прямих ліній.

210

2) dp 0 x p 0 .

Одержуємо ще один розв'язок рівняння Клеро, що не входить до

y xp p ,

загального. Його параметричні рівняння: x p .

Одержаний розв'язок є особливим. Графіком цього особливого

y Cx C ,

розв'язку є обвідна однопараметричної сім'ї прямих: 0 x C .

Приклад 1. y x y 2 y .

Розв'язання. Задане рівняння є рівнянням Лагранжа. Для його розв'язання застосовуємо метод введення параметра: y p . Тоді

y xp2 p ,

dy p2 dx x2 pdp dp .

Виключаючи dy за допомогою рівності, одержуємо диференціальне рівняння, що зв'язує х та р:p p2 dx 2xpdp dp .

1. p const dp 0 .

Маємо лінійне диференціальне рівняння I-го порядку

211

визначає особливий розв'язок рівняння. Виключаючи параметр p ,

одержимо y x2 . Це обвідна одно-параметричної сім'ї прямих.

4

13.3. Рівняння, що допускають зниження порядку

Розглянемо окремі типи рівнянь другого порядку

F(x, y, y , y ) 0 .

1. Рівняння не містить явно шуканої функції: F(x, y , y ) 0 . Зниження порядку такого рівняння досягається введенням нової функції

213